河南方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，全集，则的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 3．在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A． B． C． D． 4．直线被圆截得的弦的长是（   ）. A． B．3 C． D．4 5．设首项为1的数列．足，则的个位数字为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 6．某圆台形容器有上底，无下底，若该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm，则该容器的容积为（该容器壁与底的厚度忽略不计）（    ） A． B． C． D． 7．函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列关于的二项展开式，说法正确的是（   ） A．展开式共有10项 B．展开式的二项式系数之和为1024 C．展开式的常数项为8064 D．展开式的第6项的二项式系数最大 10．已知为椭圆：上一动点，的左、右焦点分别为，，定点，则下列选项正确的是（    ） A．的周长为定值10 B．面积的最大值为 C．的最大值为 D．若直线与椭圆交于，两点，且的中点为，则的斜率为 11．对于函数和，则下列说法正确的有（    ） A．与有相同的最小正周期 B．与有相同的最小值 C．与的图象有相同的对称轴 D．与的图象有相同的对称中心 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．有6张卡片，分别标有数字．现从这6张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为 ． 13．函数在上有且仅有个零点，则实数的取值范围是 ． 14．一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形，现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，上方的小四棱锥的高为 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．在中，角的对边分别为，，，． (1)求； (2)若为上一点，且，求． 16．已知数列的前n项和，数列是等差数列，满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证. 17．某工厂生产甲产品，该产品需要经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级（不是A等级就是B等级）．对于每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，两道工序的加工结果都为B级时，产品为三等品，其余情况均为二等品．已知第一道和第二道工序的加工结果为A级的概率分别为，． (1)求生产出的甲产品分别为一等品、二等品、三等品的概率； (2)若对于甲产品，一件一等品、二等品、三等品的利润分别为40元、30元、10元，设一件甲产品的利润为X元，求X的分布列及期望． 18．已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 19．已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. (1)求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； (2)（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2026届高三上学期11月第1周周考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D A C D BD ABC 题号 11 答案 AB 1．B 【分析】先求出集合的补集，再与集合求并集，即可得到元素个数. 【详解】由题可得，于是，共4个元素. 故选：B. 2．B 【分析】利用共轭复数的定义、复数运算以及复数相等可得出的值. 【详解】因为复数，则， 故. 故选：B. 3．A 【分析】根据平均数，极差的定义求解. 【详解】根据题意，这组数据的平均数，极差为. 故选：A. 4．C 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，然后由可得. 【详解】将圆化为标准方程，得圆心，半径， 因为圆心到直线的距离， 所以. 故选：C 5．D 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，，则，结合， 可得：，取，，同理可得：， 所以，解得：， 因此，，，…，， 累加得， 故，所以的个位数为5． 故选：D． 6．A 【分析】根据圆台表面积公式，结合圆台体积公式和圆台的几何性质进行求解即可. 【详解】设容器的下底面的半径为， 因为该容器的表面积为，上底面的半径为5cm，母线长13cm， 所以有， 设容器的高为，如图所示： ， 所以该容器的容积为. 故选：A 7．C 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 8．D 【分析】内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 9．BD 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10．ABC 【分析】根据椭圆的方程求出，再结合椭圆定义与椭圆的几何性质即可分别判断正误求解. 【详解】∵椭圆C方程为：， 的周长为，∴A正确； ∴面积的最大值为，此时位于短轴的端点，∴B正确； 对C，由椭圆，所以，又，所以， 所以，当三点共线取最大值，故C正确； 对于D：直线与椭圆交于，两点， 设，且的中点为， 因为，所以， 则，，所以 ，则的斜率为，D选项错误. 故选：ABC 11．AB 【分析】根据正余弦函数的周期，最值，对称轴，对称中心逐一分析即可. 【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故A正确； 的最小值为的最小值为，故B正确； 令，解得，所以的图象的对称轴为直线，； 令，解得的图象的对称轴为直线，， 所以与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 令，解得，，所以的图象的对称中心为. 令，解得，，所以的图象的对称中心为， 故与的图象一定不存在相同的对称中心，故D错误. 故选：AB. 12．/0.15 【分析】利用古典概型求法，结合列举即可得到概率. 【详解】由， 因为抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3， 所以抽出的3张卡片上的数字之和应该为， 由得， 抽出的3张卡片上的数字之和比剩余的3张卡片上的数字之和小3的概率为， 故答案为：. 13． 【分析】求出函数的零点，根据范围列不等式组即可． 【详解】令，则函数的零点为，， 所以函数在轴右侧的四个零点分别是，，，， 函数在上有且仅有个零点， 所以，解得． 故答案为：． 14． 【分析】将四棱锥补成平行六面体，利用棱柱和棱锥的体积公式逐项分析即可. 【详解】如图将四棱锥补成平行六面体，设平行四面体的体积为， 根据分别为棱的中点，设棱锥高为，体积为， 则四边形的面积为，而三棱柱与平行六面体的高相同， 所以，    根据四棱锥与平行六面体底和高均相同，则，则， 易知，所以， 图甲中上方的小四棱锥高为,则， 又，所以上方的小四棱锥的高为. 故答案为：.      15．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求得的值. （2）先利用余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后利用勾股定理的逆定理求出，再求解. 【详解】（1）中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. （2）在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 16．(1)，. (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系，求的通项公式，再求等差数列的基本量得解； （2）利用错位相减法求和，进而证明. 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以当，时，. 又时，，符合，所以. 因为数列是等差数列，且，， 则公差， 所以. 故，. （2）由（1）得：， 数列的前n项和为① 所以② 由得：， 则. 又因为，所以. 17．(1)，， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率公式，以及事件的意义，即可求解； （2）首先确定的取值，再根据（1）的结果，列分布列，代入期望公式，即可求解. 【详解】（1）生产出的甲产品为一等品的概率为； 生产出的甲产品为二等品的概率为； 生产出的甲产品为三等品的概率为． （2）由题意得X的取值可能为40，30，10． 由（1）得，，． X的分布列为 X 40 30 10 P 故． 18．(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性； （2）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可； （3）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证在恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. （3）分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时，且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 19．(1)证明见解析 (2)（i）过定点，定点坐标为； （ii）. 【分析】（1）设出点，坐标，利用点差法计算即可. （2）（i）利用斜率之积等于-1得到，进而得到以线段为直径的圆过定点. （ii）设出中点坐标并表示出，，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式化简计算即可. 【详解】（1）由题意设，，因为，两点在椭圆上， 所以，，将两式相减得， 即，整理得， 又，， 所以直线的斜率与直线斜率之积为定值. （2）（i）当直线过点时，可知直线方程为， 且由（1）可得直线的斜率，所以直线为. 可求得直线与直线交于点. 则，又，所以， 所以以线段为直径的圆过定点. 故以线段为直径的圆过定点，该定点坐标为.    （ii）当直线斜率存在时，设点，则，. 由题意可得，且，故. ，消y并整理得， 令可得， 设，，则，， 所以 ， 又，得， 两边平方得. 又因为①，将①代入，得， 将①代入， 整理得 因为，所以， 即， 展开整理得， 当直线斜率不存在时，易得点或满足上式， 故若，点的轨迹方程为. 答案第4页，共12页 答案第5页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $