精品解析：北京市朝阳区北京中学2024-2025学年高一上学期期末模拟质量检测数学试题

北京中学第一学期期末模拟质量检测 高一数学 2024.12 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 若集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，, 所以, 故选C 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案. 【详解】解：由题意得： 全称量词命题的否定是存在性量词命题： 故，则 故选：C 3. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数性质，指对数先和0，1比较大小，再比较的大小. 【详解】由函数单调性可知，， ，， 所以. 故选：C 4. 已知集合，，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，，因为，且，所以，计算补集即可. 【详解】由，可得，即，所以； 由，可得，即，所以； 若，且，则有. 故选：D 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值. 【详解】因为，所以， 因为， 所以 故选：B. 6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解. 【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点， 所以，则. 故选：A. 【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，. 7. 已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出函数的值域，由在此值域内解不等式即可作答. 【详解】因函数的值域是，于是得函数的值域是， 因存在实数，使得，则， 因此，，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 8. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（ ） A. 10 B. 30 C. 100 D. 1000 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，把转化为对数运算即可计算． 【详解】由题意可得： 故选：D 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 9. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系，诱导公式，二倍角公式进行求解. 【详解】 故选：A 10. 设函数，若存在实数，满足当时，，则正整数的最小值为（ ） A. 505 B. 506 C. 507 D. 508 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦函数的性质，确定的最值，根据题中条件，得到尽可能多的取得最大值，即可求解. 【详解】因为，即，，所以，当与一个等于，另一个为时，取得最大值； 为使满足的正整数最小，只需尽可能多的取得最大值， 而， 所以至少需个，才能使， 此时，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据三角函数的性质，确定的最大值，得到中有项取得最大值时，即可求解. 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答. 【详解】因，则， 所以的值为. 故答案为： 12. 已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答. 【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 即有当时，，而当时，，当时，，则， 所以函数的最大值为，最小值为. 故答案为：； 13. 已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决. 【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标， 当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数， 在坐标平面内作出函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点， 所以实数的取值范围是：. 故答案为： 14. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数定义域可得，解不等式即可求解. 【详解】由， 则，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 15. 已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求解分段函数单调性的方法列出不等式关系，由此即可求解 【详解】由已知可得函数在R上为单调递增函数， 则需满足 ，解得， 所以实数a的取值范围为， 故答案为：． 16. 给出下列四个结论： ①函数奇函数； ②将函数图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象； ③若是第一象限角且，则； ④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断. 【详解】对于①，其中， 即为奇函数，则①正确； 对于②将的图象向右平移个单位长度， 即，则②正确； 对于③若令，，则，则③不正确； 对于④ ， 由题意可知，任意一个长为的开区间上至少包含函数的一个周期， 的周期为，则，即，则的最小值是4, 则④正确； 故答案为：①②④. 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1． （1）当a＝2时，求A∪B及A∩B； （2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围． 【答案】（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}； （2）{a|1＜a≤2}, 【解析】 【分析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得； （2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得. 【小问1详解】 ∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}， ∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}， 所以A∪B＝{x | x＞0}，A∩B＝{x |2＜x＜4}； 【小问2详解】 当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}， 因为C⊆B，所以，解得－1≤ a ≤2， 因为a ＞1，此时1＜a ≤2， 当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B， 综上，a 的取值范围为{a|1＜a≤2}． 18. 设函数，且. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）. 【答案】（1）；（2）在区间上为增函数，证明见详解；（2） 【解析】 【分析】 （1）将直接代入即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. （3）根据的单调性，即可得出结果. 【详解】（1）由，， 即，解得. （2）在区间上为增函数， 由（1）可知， 任取，且， 则 ， 由，，， 所以，即， 所以函数为增函数. （3）由，可知. 19. 已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件： ①；②的最小正周期为；③的图像经过点． （1）请写出你选择的条件，并求的解析式； （2）在（1）的条件下，求的单调递增区间． 【答案】（1）条件选择见详解， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出， 选择①②，由可求得的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出的解析式； 选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由可求得的值，进而得出的解析式； 选择①③，由可求得的值，再由结合可求得的值，进而可得的解析式； （2）解不等式可得出函数的单调递增区间． 【小问1详解】 依题意有 ， 选择①②， 因为，所以， 又因为的最小正周期为，所以， 所以； 选择②③， 因为的最小正周期为，所以，所以， 又因为， 所以， 所以； 若选择①③， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，又，所以， 所以． 【小问2详解】 依题意，令， 解得， 所以的单调递增区间． 20. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）4 （2）①证明见详解 ② 【解析】 【分析】（1）计算，令，即求. （2）①计算，由新定义即可证明. ②求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围. 【小问1详解】 由题意可得，，令，可得. 【小问2详解】 ①由，， ， 所以函数的图象关于点对称. ②，函数在上单调递增，所以， 不妨设在上的值域为，则， 因为时，， 所以，即函数的图象过对称中心， （i）当时，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增， 由，，所以，所以， 由，可得，解得； （ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得， 或， 因为，所以，， 易知，又，所以， 所以当时，成立； （iii）当时，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又，，则，由得， ，解得. 综上可知，实数的取值范围为. 21. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 【答案】（1），； （2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可写出与； （2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论； （ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解. 【小问1详解】 解：由题中定义可得，. 【小问2详解】 解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下： 因为，所以． 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 综上可得，集合具有性质； （ⅱ）设集合，不妨设． 因为为正整数，所以，． 因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且， 所以．所以． 因存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且， 所以，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 同理可知，，． 若，则，所以． 当时，若， 则取，可知不存在，使得， 所以，解得． 又因为，所以． 经检验，当、、、、时，集合符合题意． 所以的最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京中学第一学期期末模拟质量检测 高一数学 2024.12 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1 若集合，，则 A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则 （ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（ ） A. 10 B. 30 C. 100 D. 1000 9. 数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关．黄金分割常数也可以表示成，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若存在实数，满足当时，，则正整数的最小值为（ ） A. 505 B. 506 C. 507 D. 508 第二部分（非选择题共100分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，则的值为___________. 12. 已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________. 13. 已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________. 14. 函数的定义域为______. 15. 已知函数，满足对任意都有成立，那么实数的取值范围是________． 16 给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象； ③若是第一象限角且，则； ④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1． （1）当a＝2时，求A∪B及A∩B； （2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围． 18. 设函数，且. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）判断在区间上单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅲ）若关于的方程恰有三个实数解，写出实数的取值范围（不必证明）. 19. 已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件： ①；②最小正周期为；③的图像经过点． （1）请写出你选择的条件，并求的解析式； （2）在（1）的条件下，求的单调递增区间． 20. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 ①证明函数的图象关于点称； ②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 21. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $