精品解析：福建省泉州市永春县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年秋季九年级期末质量监测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如果两个相似三角形的对应边长之比为，则它们的周长之比是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B，已知米，则这名滑雪运动员下降的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 7. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，若，，，则的长度是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 10. 为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由四块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则下列4个结论： ①；②米；③； ④长方形最大面积为225平方米． 其中结论正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：______． 12. 在平面直角坐标系中点关于x轴对称点坐标为______． 13. 如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 14. 如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______． 15. 元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百步，长较阔多七步．问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为_______． 16. 我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 三、解答题：（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 计算：． 18. 解方程：． 19. 某超市购进一批商品，一月份销售375件，二、三月份该商品销售量持续走高，且月平均增长率不变，三月份的销售量达到540件．求二、三月份的平均增长率． 20. 在四张完全相同的卡片正面写上数字2、3、4、5，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为a；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． （1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率； （2）若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由． 21. 关于x的一元二次方程两根分别为、． （1）若，，，求的值； （2）若a、b、c均为奇数，是否存在某个一元二次方程，使得它的两根、都是整数，若存在，求出a、b、c的值，若不存在，请说明理由． 22. 如图，在直角中，，点O为边上的中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，连接，若，求直角的面积． 23. 阅读材料，回答问题． 问题提出 小区物业收到政府“双碳”专项资金，要把一片长35米、宽6.3米的矩形草地改造成10个“同款”矩形新能源停车位． （1）按图示并列划定车位，经测量，，米，米，，是另一个车位的宽，以此类推，所有车位的长宽分别相同． ①尺寸验证：求车位的宽度的长度； ②容量验证：该草地能否正好放下10个车位？若不能，需要把至少延长到多少米（取整数）？ 问题应用 （2）如果场地受限制没办法向外扩充，而划定的车位数要尽可能多，请设计划定车位的方案，并简要说明理由．（参考数据：，，） 24. 已知抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知、是抛物线上的两个点（点D在点E的左边）， ①若线段与线段交于点F，且，求m的值； ②若，求证：． 25. 在中，， （1）如图1，于点D，求长度； （2）若，动点P从C开始沿运动，同时动点Q从点A开始沿运动，它们的速度均为每秒，当点P运动到A点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； ②如图2，连接，若，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期末质量监测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 2. 如果两个相似三角形的对应边长之比为，则它们的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边长之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴周长比为． 故选：B． 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据条件，通过比例的性质验证各选项，只有选项C与条件相符． 【详解】解：A、若，则，与条件不符，故选项A不符合题意； B、若，则，与条件不符，故选项B不符合题意； C、若，则，正确，符合题意， D、∵，∴，取，而故错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于零，解不等式即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴，即， ∴． 故选：B． 5. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行到B，已知米，则这名滑雪运动员下降的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 7. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线分别交、、于点D、E、F，若，，，则的长度是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，列出比例式将已知数据代入即可求解． 【详解】解： l1∥l2∥l3，，， ， ． 故选：B． 8. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，关键是根据简单概率公式列方程求解；根据频率估计概率，黑球的概率等于黑球数量与总球数的比值，据此列方程求解． 【详解】解：∵ 摸出黑球的频率稳定在0.4附近， ∴ 黑球的概率为0.4， 即 ． 解得： ． 经检验，符合题意． ∴的值为6． 故选：A． 9. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、中点，连接，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵E、F分别是边的中点， ∴且， 且， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 为了节省材料，某工厂利用岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由四块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则下列4个结论： ①；②米；③； ④长方形的最大面积为225平方米． 其中结论正确的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在几何图形中的运用，二次函数的最值，根据三个长方形的面积相等即可求出长方形的长与宽的数量关系，由此可推出长方形的长、宽、面积之间的关系，理解和掌握长方形的性质，一元二次方程的知识是解题的关键． 长方形，，的面积相等，且，根据图示（见详解）可知，则，设，则，根据面积相等，可以找出与的关系，由此即可求出答案． 【详解】解：如图所示，材料总长为80米，设，， ∵长方形，的面积相等，且高相等， ∴， ∵长方形，，的面积相等， ∴， 即， ∴， ∵材料总长为80米， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， 只有当，即时，， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵， ∴，， ∴米； 故结论②正确，符合题意； ∵，， ∴；故结论③正确，符合题意； ∵，， ∴长方形的面积是， ∴抛物线的顶点为， ∴， 故结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③； 故选：C． 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 在平面直角坐标系中点关于x轴对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质．直接利用关于x轴对称点的性质“关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标为：． 故答案为：． 13. 如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 利用中位线的性质计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 14. 如果将抛物线向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】将抛物线向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是． 故答案为：． 15. 元代数学家朱世杰的著作《算学启蒙》中有题“今有直田，积三百步，长较阔多七步．问长阔各几何？”，其大意是：一块矩形田地面积为300平方步，长比宽多7步，问长、宽各是多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设矩形田地的宽为x步，则长为步．结合这个矩形田地面积为300平方步，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵这个矩形田地的长比宽多7步，且设这个矩形田地的宽为x步， ∴这个矩形田地的长为步． 根据题意得：． 故答案为：． 16. 我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D，    ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 三、解答题：（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，原式分别根据绝对值的代数意义、算术平方根的运算法则以及零指数幂运算法则化简各项后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， 或 ， 解得：，． 19. 某超市购进一批商品，一月份销售375件，二、三月份该商品销售量持续走高，且月平均增长率不变，三月份的销售量达到540件．求二、三月份的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设月平均增长率为，根据一月份和三月份的销售量，列出方程，解方程得到，即平均增长率为． 【详解】解：设月平均增长率为，根据题意，， 解得，（不合题意，舍去）． 故二、三月份的平均增长率为． 20. 在四张完全相同的卡片正面写上数字2、3、4、5，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为a；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． （1）先抽取一张卡片，再摸一个球，求概率； （2）若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及概率的计算．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出共有12种等可能的结果，其中的结果有3种，再由概率公式求解即可； （2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中的结果有6种，再由概率公式求出甲获胜的概率和乙获胜的概率，得出这样的规则公平． 【小问1详解】 解：总共有4张卡片（数字2、3、4、5）和3个小球（标号1、2、3），所有可能的结果有12种，列表如下： a 2 1 0 3 2 1 0 4 3 2 1 5 4 3 2 其中的情况有3种：、、 ∴； 小问2详解】 解：规则公平，理由如下：的情况有6种：、、、、、， ∴； ， ∵， ∴ 规则公平． 21. 关于x的一元二次方程两根分别为、． （1）若，，，求的值； （2）若a、b、c均为奇数，是否存在某个一元二次方程，使得它的两根、都是整数，若存在，求出a、b、c的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用根与系数的关系直接求解； （2）通过根与系数的关系及奇偶性分析，推导出矛盾，从而证明不存在这样的方程． 【小问1详解】 解：当时，方程为一元二次方程， 根据根与系数的关系，； 【小问2详解】 解：不存在． ∵假设存在整数根，则，， 又∵a、b、c均为奇数， ∴和是奇数， ∴是奇数，是奇数， 若是奇数，则与为奇数， ∴为偶数，与是奇数矛盾， 故不存在某个一元二次方程，使得它的两根、都是整数． 22. 如图，在直角中，，点O为边上的中点，且，． （1）请用尺规作图在上作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求直角的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】（1）在延长线上截取，然后作的垂直平分线交于点D，即可解决问题； （2）连接，证明是的中位线，可得，解直角三角形可得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，， 由（1）可得， ∵点O为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，三角形的面积，三角形中位线定理，解直角三角形，线段垂直平分线的性质以及勾股定理等，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 23. 阅读材料，回答问题． 问题提出 小区物业收到政府“双碳”专项资金，要把一片长35米、宽6.3米的矩形草地改造成10个“同款”矩形新能源停车位． （1）按图示并列划定车位，经测量，，米，米，，是另一个车位的宽，以此类推，所有车位的长宽分别相同． ①尺寸验证：求车位的宽度的长度； ②容量验证：该草地能否正好放下10个车位？若不能，需要把至少延长到多少米（取整数）？ 问题应用 （2）如果场地受限制没办法向外扩充，而划定的车位数要尽可能多，请设计划定车位的方案，并简要说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）①车位的宽度的长度为米；②不能放下10个车位，需要把至少延长到39米 （2）车位按划定，可以划定11个车位数 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用，矩形的性质，理解题目意思是解题的关键． （1）①由题意可得，在中即可求得的长度； ②在中可求得的长，在中可求得的长，再计算出10个车位所需的总长即可求解； （2）由车位的长为5米，草地的宽为6.3米，则可以按车位的长与草地的长垂直规划，再根据草地长为35米即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，米， ∴（米）， ∴车位的宽度的长度为米． ②不能放下10个车位，理由如下： 在中，，米， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴10个车位需要的长为（米）， ∵， ∴不能放下10个车位，需要把至少延长到39米． 【小问2详解】 解：由题意得：草地的宽为6.3米，车位的长为5米， ∴车位可以按划定， ∴车位数为（个）， ∴车位按划定，可以划定11个车位数． 24. 已知抛物线的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知、是抛物线上的两个点（点D在点E的左边）， ①若线段与线段交于点F，且，求m的值； ②若，求证：． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）①m的值为；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的性质、一次函数，代数式的变形，解分式方程（化为一元二次），掌握知识点是解题的关键． （1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可将其代入抛物线方程，联立方程组求解a和b的值，从而得到抛物线的解析式． （2）①先求出直线的解析式，再根据D、E两点纵坐标相同，结合抛物线对称轴求出D、E两点的横坐标关系，最后根据求出m的值． ②先根据D、E两点纵坐标相同，结合抛物线解析式得到和的关系，再分别对等式两边进行化简，证明等式成立． 【小问1详解】 解：将分别代入抛物线，得 解得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①已知抛物线与y轴交于点C， 令，得， 即． 设直线的解析式为，将分别代入，得 解得， ∴直线的解析式为， ∵是抛物线上的两个点，且抛物线的对称轴为 ， ∴． ∵点F在直线上，且纵坐标为m， ∴F点的横坐标为． 又∵，且点D在点E左边， ∴，即， 把代入抛物线解析式中，得 即， 解得， ∵点D在点E的左边，且线段与线段交于点F， ∴， ∵点F在线段上，点D在点E的左边， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴m的值为． ②∵是抛物线上的两个点， ∴， 两式相减可得： ， 即， ， ， ， ∵， ∴， 即， 由，得， 则 ∴， 将代入可得： ， ∵等式左边等于等式右边， ∴， ∴． 25. 在中，， （1）如图1，于点D，求的长度； （2）若，动点P从C开始沿运动，同时动点Q从点A开始沿运动，它们的速度均为每秒，当点P运动到A点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒． ①当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； ②如图2，连接，若，求t的值． 【答案】（1）3 （2）①或；②t的值为 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）推导出为等腰直角三角形，且，得到，再根据勾股定理，得到，求出或（不符合题意，舍去），即可解答． （2）①先求出，，，分两种相似情况讨论：情况1： ，情况2：，逐个分析求解即可；②过点B作，交的延长线于点M，过点B作于点N，推导出，设，则，进而求出，证明，得到，求出，由，推导出，根据勾股定理，得到，则，化简求解即可． 【小问1详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴． 【小问2详解】 解：①如图 由（1）得，， ∴， ∴， ∵动点P、Q的速度均为，运动时间为， ∴， ∴， ∵是与的公共角， ∴分两种相似情况讨论： 情况1：，如图， ∵， ∴， 即， 解得； 情况2： ∵， ∴， 即， 解得． ∴或； ②过点B作，交的延长线于点M，过点B作于点N，如图 ∵ ∴ ∴，即，， 设，则， 由(1)，同理可得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∵， ， ∴ 即 ， ， ， ， ，(不符合题意，舍去)． 答：t的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $