精品解析：福建省泉州市永春县 2024—2025学年上学期九年级期末质量监测数学

2024年秋季九年级期末质量监测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的） 1. 若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式有意义求出的取值范围，然后判断即可．熟知被开方数为非负数是解题的关键． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得， 所以的值不可能是， 故选：A． 2. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行计算，即可解答．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 3. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．利用因式分解法解方程判断即可． 【详解】解： ， 或， ∴，， 故选：C． 4. 在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ） A. 9个 B. 19个 C. 25个 D. 38个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，已知概率求数量．大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．已知概率后，再根据概率公式即可计算数量． 【详解】解：∵摸到蓝色球的频率稳定在左右， ∴每摸一次，摸到蓝色球的概率为， ∴口袋中蓝色球个数最接近：（个）， 故选B． 5. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，过点B的直线分别交、于点D、E．若，，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出．灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：， ，即， 解得：， ， 故选：D． 6. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用配方法将原方程变形即可．熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 配方得：， 即， 故选：A． 7. 如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值大于0时，图象为x轴上方部分，即可得出自变量x的取值范围． 【详解】解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为， ∴根据二次函数的对称性，可得到图象与轴的另一个交点坐标为， 又函数开口向下，x轴上方部分， ． 故选：B． 8. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴． 故选：D． 9. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理的应用，利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ， ，是的中点，， ， ． ， 故选：B． 10. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为（ ）． A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．先利用根与系数的关系得到，则二次函数可变形为，然后解方程得到二次函数的图象与轴的交点坐标． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ，，即， 二次函数可变形为， 即， 当时，， 解得：，， 二次函数的图象与轴的交点坐标为、． 故选：D． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. ______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，利用了开方运算，注意一个正数只有一个算术平方根． 【详解】解：， 故答案为：7． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，则坡角的度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的概念得、利用特殊角的三角函数值解答即可. 【详解】解：∵坡的坡度为， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 13. 若实数x满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值．将，整理得，代入中即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入中得． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，为边上一点，、交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由菱形的性质得，，由，得，则，再证明，得，即，于是得到问题的答案，证明是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 15. 中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，根据题意列出抽取两本书的所有可能，再求概率即可．找出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：把《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》分别记为：、、、、， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的结果有2种， 抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是． 故答案为：． 16. 如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长与的延长线交于，过点作于点，先分别求出，，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，，证明和相似，利用相似三角形的性质，设，则，，然后根据，由此解出即可得出的长． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点，过点作于点， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， 在和中， ，， ， ， ， ， 设，则， ，， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得：， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 三、解答题．（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘除法，计算零指数幂，然后再利用二次根式的性质化简，最后再计算加减法． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用因式分解法解出方程．掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解： 或 ，． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】20元 【解析】 【详解】设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40-x）元，每天可以售出（10+x）件， 由题意，得（40-x）（10+x）=600， 即：（x-10）（x-20）=0， 解，得x1=10，x2=20， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元. 20. 某批发商从节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数见下表： 每盒中混入的节能灯数 1 2 3 4 5 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，求该盒中混入的节能灯不超过2个的概率． 【答案】（1）平均每盒混入2个3的节能灯 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和概率公式，解题的关键是掌握平均数的定义． （1）根据平均数的定义列式计算即可； （2）由题意直接根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（个）, 答：平均每盒混入2个节能灯． 【小问2详解】 不超过2个的有盒． P（不超过2个的概率）． 21. 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得，，， （1）求的长度； （2）求光线从空气射入水中的折射率n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）过D作于G，则四边形是矩形，可得， ，求解 ，，再代入计算即可. 【小问1详解】 解： ，，， ， 【小问2详解】 解：过D作于G，则四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， 折射率. 22. 如图，在中，平分线交于点D． （1）请在边上求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点即可； （2）证明，再利用相似三角形的判定与性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 23. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程的两个实数根分别为与，且a、b为正整数，求证：能被4整除． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，因式分解的应用，把握根的判别是解答关键． （1）先求出，再根据方程有两个相等的实数根，列出方程求解； （2）根据题意得到，进而得到与均为奇数，推出a、b均为偶数，能被4整除，再将方程整理为，即可解答． 【小问1详解】 解：方程有两个相等的实数根 ， 解得； 【小问2详解】 解： 方程两个根分别与， ， 又a、b为正整数且225为奇数， 与均为奇数， a、b均为偶数， 能被4整除， 由， 整理得， 与104均能被4整除且11与4互质， 能被4整除． 24. 如图1，在中，，，， （1）①求证：； ②求的长； （2）如图2，点M、N、P分别在、、上，点P与点A关于对称，若与相似，求满足条件的值． 【答案】（1）①见解析；② （2）或． 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）①证明：采用反证法，假设，根据等角对等边会得出，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，从而证得． ②过点C作于D，根据直角三角形的性质得到，，，最后根据勾股定理得到； （2）根据相似三角形的性质得到或，根据轴对称的性质得到，，求得，①当时，推出，根据相似三角形的性质得到；②当时，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：①假设由等角对等边，得， 这与已知条件矛盾所以假设不成立，故， ②过点C作于D，， ， ， ， ， 又， ； 【小问2详解】 解：设，则， 点P与点A关于对称， ， 若与相似，由①知， 则只要考虑或， ①当时，， 则，， 又， ， 即， 解得 ② 当时 ， ， ， ， 又， ， ， 由得， 即， 解得， 综上，满足条件BP的值为或． 25. 如图，是抛物线上一点． （1）求n的值； （2）直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点（点A在点B的右侧），、分别交y轴于点C、D，M是抛物线与y轴的交点． ①求线段的取值范围； ②试问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）①；②是，4 【解析】 【分析】（1）直接把代入抛物线即可得到答案； （2）①由直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点，当时，，可得，联立解析式可得，此时方程有两个不相等的实数根，求解，可得，解方程可得，，再进一步结合勾股定理可得答案； ②设直线为， 求解直线解析式为：，直线解析式为：，可得点，点，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：把点代入， 得 【小问2详解】 解：①抛物线与y轴的交点为 且直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点，当时，， ， 由， 整理得：， 此时方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴解方程得：， 点A在点B的右侧 ， ， ②由①知直线与y轴左侧的抛物线交于，两点 又∵点， 设直线为， ∴， 解得：， 直线解析式为：， 同理可得：直线解析式为：， 同理可得：点，点， 又抛物线与y轴的交点 为定值． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，一元二次方程的解法以及根的判别式的应用，勾股定理的应用，求解一次函数的解析式，本题的计算量大，细心的计算是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季九年级期末质量监测 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：（本题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合要求的） 1. 若二次根式有意义，则x的值不可能是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 已知实数a，b满足，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 3. 一元二次方程的两根分别为（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ） A. 9个 B. 19个 C. 25个 D. 38个 5. 如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，过点B直线分别交、于点D、E．若，，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 6. 一元二次方程，用配方法变形可得（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则二次函数的图象与x轴的交点坐标为（ ）． A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. ______． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡度为，则坡角的度数为______． 13. 若实数x满足，则的值为______． 14. 如图，在菱形中，为边上一点，、交于点，若，则______． 15. 中国古代的“五经”是指《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，若从这5部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《诗经》和《尚书》的概率是______． 16. 如图，正方形中，，点E在边上，，F是的中点，点G在边上，，则的长为______． 三、解答题．（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 计算：． 18. 解方程：． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件，若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价多少元？ 20. 某批发商从节能灯厂购进了50盒额定功率为的节能灯．由于包装工人的疏忽，在包装时混进了的节能灯．每盒中混入的节能灯数见下表： 每盒中混入的节能灯数 1 2 3 4 5 盒数 14 25 9 1 1 （1）平均每盒混入几个的节能灯？ （2）从这50盒中任意抽取一盒，求该盒中混入节能灯不超过2个的概率． 21. 光线从空气射入水中会发生折射现象，发生折射时，满足的折射定律如图1所示：折射率（代表入射角，代表折射角）．小明为了观察光线的折射现象，设计了如图2所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块．图3是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，测得，，， （1）求的长度； （2）求光线从空气射入水中的折射率n的值． 22. 如图，在中，的平分线交于点D． （1）请在边上求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 23. 已知关于x的方程． （1）若方程有两个相等实数根，求m的值； （2）若方程的两个实数根分别为与，且a、b为正整数，求证：能被4整除． 24. 如图1，在中，，，， （1）①求证：； ②求的长； （2）如图2，点M、N、P分别在、、上，点P与点A关于对称，若与相似，求满足条件的值． 25. 如图，是抛物线上一点． （1）求n值； （2）直线与y轴左侧的抛物线交于A、B两点（点A在点B的右侧），、分别交y轴于点C、D，M是抛物线与y轴的交点． ①求线段的取值范围； ②试问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$