精品解析：天津市蓟州区第一中学2026届高三第一学期期末试卷数学试题

2025~2026学年度第一学期期末试卷 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义直接计算即可得解. 【详解】由题可得. 故选：C 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，若，则，因此不能推出； 当时，若，则，因此不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义和依次排除选项即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数是偶函数，其函数图象关于轴对称，故排除选项C，D；又，故排除选项B. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数及正弦函数性质比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 已知直线与平面、，若，，则. D. 已知随机变量服从二项分布，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，根据百分位数的概念计算. 选项B，根据正态分布的图像和概念. 选项C，根据线面垂直，面面垂直的性质. 选项D，根据二项分布的期望公式计算. 【详解】选项A，数据：1， 2， 2， 3， 5， 8， 15， 20(共8个)， 计算位置， 向上取整为第5个数5，选项A错误. 选项B，，正态曲线关于对称， ，则， ，选项B错误. 选项C，由，在内作直线 因，故，又，所以. 选项C正确. 选项D，，则 解得. 选项D错误. 故选；C 6. 等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求出通项公式，再由与的关系求出通项公式，进而得到数列的表达式，最后利用等比数列求和公式求解. 【详解】由题意：，，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以， 故前8项和为. 故选：A. 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出示意图，根据球的性质确定球心，利用数量关系列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 8. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得,又B、P关于原点对称， 故， 则， 因为，所以， 所以， 化简可得，所以，， 因为，所以， 所以，即，即 ， 所以，所以渐近线方程为. 故选：D. 9. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调求出，再根据得到函数在时取最值， 再根据函数在上有且仅有三个极值点，结合正弦函数图象列出不等式，求出， 进而求出的取值范围. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在上单调，所以，即； 又因为，且，所以函数关于直线对称， 所以函数在时取最值（最大值或最小值），又因为函数在上有且仅有三个极值点， 则有，即，又因为所以，即，解得， 则的取值范围为. 故选：D． 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将复数转化为的形式，然后得到其共轭复数，进而得出的虚部. 【详解】因为，所以； 所以的虚部为. 故答案为：. 11. 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【解析】 【分析】各项二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题知设圆心为 且，利用圆心到直线：距离为，求得，所以再利用弦长公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设圆心为 ，且， 所以， 因为圆心到直线：距离为， 所以， 因为，所以.所以， 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：. 13. 某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为______；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合公式和条件概率公式进行计算. 【详解】从人中随机抽取2人的总组合数为种， 从3名课程设计组成员中选1人，有种选法 ，从5名技术研发组成员中选1人，有种选法， 所以根据分步乘法原理可得，恰好有1名课程设计组成员的选法共有种， 根据古典概率公式可得：抽取的2人中，恰好有1名课程设计组成员的概率为， 从5名技术研发组成员中选2人的组合数为种， 所以没有课程设计组成员的概率为， 则至少有1名课程设计组成员的概率为， 设事件为“抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员”，事件为“抽取的2人中至少有1名课程设计组成员”，则所求概率为， 根据条件概率公式可得：， 又因为，所以， 则. 故答案为：； 14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得到，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】设 如图，因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 向量在上投影向量的模的最小值为 故答案为：，. 15. 若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、、、、，结合导数研究单调性、函数的零点个数确定参数范围. 【详解】由题设，则函数的定义域为， ，则，此时， 所以，故在上单调递增， 所以， 若时，此时恒成立，无零点， 若时，此时在定义域上恰有一个零点， ，则，此时且， 所以在上单调递增，则， 所以恰有一个零点， ，则， 若，则， 所以（在上单调递减）， 所以在上单调递增，则， 若，则，显然区间内单调递增， 所以，且时， 综上，若，则上无零点，上存在一个零点， 若，则存在一个零点， 若，则上存在一个零点，上无零点， 所以在定义域上恰有一个零点， ，且定义域为， 若，则，所以，则在上单调递增且， 若，则，显然区间内单调递增，而且时， 所以在定义域上恰有一个零点， ，则， 若，则， 所以（在上单调递减）， 显然，则上，上， 所以在上单调递增，上单调递减，而， 若，则，显然区间内单调递增且， 所以在定义域上无零点， 综上，. 故答案为： 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合条件可得，即可求解； （2）根据余弦定理可得；利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （ⅰ）因为，即， 化简，解得（舍），. 所以. （ⅱ）由， 则， 则，， 所以 . 17. 已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直于平面的法向量即可. （2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算. （3）利用点到面距离的向量的公式计算. 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以 易知平面的一个法向量为， 则，故， 又因为平面，故平面. 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为， 则，不妨设， 因为， 设平面的法向量为 则，不妨设， 则 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 点到平面的距离 因为，为的中点 所以， 所以三棱锥的体积. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程去求解； （2）设角平分线所在直线与轴的交点为，利用点到直线的距离公式求出点坐标即可求出； （3）设直线：，联立椭圆方程，根据韦达定理求证即可. 【小问1详解】 依题意知：，解得，，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题可得，，因为点在第二象限且轴， 所以，解得：或（舍去），则点 所以， 则直线的方程为：，即 设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然， 则，解得：； 所以，则， 所以角平分线所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线：，，， 联立，得， 则，，. 则 ， 得：，则. 故直线与直线关于直线对称. 19. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点，，其中，则 （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）求得，利用导数分析函数的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （ii）方法一：分析可知，通过构造函数，并利用导数分析函数的单调性，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 方法二：构造函数，并利用导数分析函数的单调性，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 由题设，，则， 且，， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题意知即有两个不等根，，且， （ⅰ）令，，则，得， 当，；，， 则在上单调递增，在单调递减. 所以， 因为；，；，； 时，所以 （ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知，且， 过点和的直线方程为， 构造，， 因为，所以，，， 所以. 设方程的根为，则，且， 过点和直线方程为， 构造，， 因为，所以在单调递增， 所以则， 设方程的根为，则，且， ∵， ∴， 方法二：由（ⅰ）可知且， 构造， 则， ∵，∴，. ∴，∴. ∴是上的增函数，∴，∴， ∵，∴. ， ∵，，是上的增函数， ∴，∴. 要证：（利用放缩）， 只需证：， 只需证：（参数替换）， 只需证：， 只需证：， ∵，∴，， ∴，∴. ∴，∴得证. 20. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用.设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）素数（也叫质数）是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数.设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系； （3）设，数列的前项积为，数列的前项积为.若不等式对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由欧拉函数的定义，求和的值. （2）利用欧拉函数的定义，结合素数的性质求出，并推理证明. （3）由（2）的结论求出，进而得到与，再分别求出与，然后将其代入不等式，通过构造数列求其最大值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 不超过6且与6互素的正整数有1，5，所以， 不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则， 不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则， 所以. 【小问2详解】 在不大于的正整数中，只有的倍数不与互素，而的倍数有个， 因此. 由，是两个不同的素数，得，， 在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，是的倍数有1个， 由容斥原理，与不互素的正整数有个， 所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）得. 不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立. 设，则， 所以 ， 又，所以， 所以数列单调递增，则， 所以，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末试卷 高三数学 第Ⅰ卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据1，2，2，3，5，8，15，20的第60百分位数为4 B. 设且，则 C. 已知直线与平面、，若，，则. D. 已知随机变量服从二项分布，若，则 6. 等差数列满足，，数列的前项和满足，则数列的前8项和为（ ） A. B. C. D. 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 直线过双曲线：的右焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上单调，且满足，若函数在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知复数（其中为虚数单位），则其共轭复数的虚部为______. 11. 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆心到直线：距离为，且圆心的纵坐标大于3，则直线被圆截得的弦长为______. 13. 某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人.为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组.抽取的2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为______；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，其中恰好有1名课程设计组成员的概率为______. 14. 在中，，，，为与的交点，记，，则用，表示______；向量在上的投影向量的模的最小值为______. 15. 若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为______. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角，，所对的边分别为，，.满足 （1）求角的大小； （2）设， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 已知直三棱柱中，，，，分别为，的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求三棱锥体积. 18. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点为椭圆上一点且在第二象限，若轴，求的角平分线所在直线的方程； （3）过的直线与椭圆交于，，求证：直线与直线关于直线对称. 19. 已知函数，. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点，，其中，则 （ⅰ）求实数取值范围； （ⅱ）求证：. 20. 随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有、、等，不同算法密钥长度也不同，其中的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在加密算法中的应用.设，是两个正整数，若，的最大公约数是1，则称，互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记为. （1）试求，的值； （2）素数（也叫质数）是指大于1的自然数，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数.设，是两个不同的素数，试用，表示，并探究与和的关系； （3）设，数列的前项积为，数列的前项积为.若不等式对任意恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $