精品解析：广西壮族自治区百色市2025-2026学年高二上学期学校期末教学质量调研测试数学试题

2025年秋季学期学校期末教学质量调研测试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列为等差数列，首项，公差，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式计算即可； 【详解】因为数列为等差数列，首项，公差， 所以. 故选：D. 2. 椭圆的短轴长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆方程直接求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，∴，则短轴长为. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量模长的坐标公式直接计算即可. 【详解】. 故选：D. 4. 双曲线的顶点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 5. 已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式直接计算即可. 【详解】因为数列为等比数列，首项，公比，前n项和， 所以，整理得，∴. 故选：C. 6. 已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离与半径比较大小，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以直线和圆的位置关系为相交， 故选：A 7. 在平面中，，，则平面的一个法向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面的一个法向量为，由列式求解即可. 【详解】设平面的一个法向量为，则，∴， ∴，令，得. 故选：B. 8. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 10. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的离心率为 C. 的周长为8 D. 的最大值为9 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到椭圆的的值，即可求得AB选项，C选项中的周长应为，结合椭圆的定义即可求解，D选项使用基本不等式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，，∴，则，，， 对于A，焦距，故A错误； 对于B，离心率，故B正确； 对于C，，， 则的周长为，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是单调递减数列 B. 中的最大项只有 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数列的通项公式知数列为等差数列，进而分析数列的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题可知，数列为等差数列，首项，公差， A，公差，则数列是单调递减数列，A正确； B，当时，当时，则中的最大项为或，B错误； C，，，C正确； D，当时，当时， ，D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知抛物线经过点，则抛物线的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】将点坐标代入抛物线方程，求得，得解. 【详解】把点代入抛物线方程得， ∴，则抛物线的标准方程为. 故答案为：. 13. 已知数列前n项和，则数列的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 经检验，符合上式，∴. 故答案为： 14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线：，：，其中m为实数. （1）当，求实数m的值. （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【小问1详解】 ∵， ， 解得 ; 【小问2详解】 当时，直线的方程为：， ∴，解得， ∴两条直线的交点， 又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为， 将代入可得，解得， ∴直线方程. 16. 已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题列出的方程组，求出，进而求得和； （2）由（1）得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 依题意，有，即， 又，解得， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1），， ∴ . 17. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：因为，所以, 因为平面，平面，所以， 因为，且平面 平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直定理证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的法向量，再根据数量积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示建立空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， ∴，即，令，得， 设直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求该圆弧所在圆的方程. （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 【答案】（1） （2）4辆 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可求得圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【小问1详解】 由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上， 设圆心为，设该圆的半径为r米，又， 则，∴， ∴， ∴圆弧所在的圆的方程为. 【小问2详解】 设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米， ∴，∴ 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 故该隧道不能并排通过5辆该种汽车， 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为， 则该隧道可以并排通过4辆该种汽车， 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. 19. 已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】（1） （2）是定值 （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据和过点可求结果； （2）设，所以，，从而得到． （3）先联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得出，再求点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 由题意，可得， 解得， 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 是定值.理由如下： 由题意得点B坐标为， 设，∵P在椭圆C上，∴， ∵直线和的斜率都存在且不为0，则，， ∴， 所以直线AP和BP的斜率之积是为. 【小问3详解】 如图， 设直线l的方程为，设，， 由，得， ∴，则， 且，， 则， 点A到直线MN的距离为， 则， 当且仅当，即时面积最大，且最大值为， 此时直线l的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期学校期末教学质量调研测试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列为等差数列，首项，公差，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 椭圆的短轴长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 3. 已知，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 双曲线的顶点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 7. 在平面中，，，则平面的一个法向量（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的离心率为 C. 的周长为8 D. 的最大值为9 11. 已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是单调递减数列 B. 中的最大项只有 C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知抛物线经过点，则抛物线的标准方程为_______. 13. 已知数列前n项和，则数列的通项公式为______. 14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知直线：，：，其中m为实数. （1）当，求实数m的值. （2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）令，求数列的前n项和. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求该圆弧所在圆的方程. （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 参考数据： 19. 已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍. （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $