精品解析：四川绵阳市2025年秋季九年级上学期学业监测数学

2025秋九年级数学（上）学业监测 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，答题卡共6页．满分：150分．考试时间：120分钟． 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题的四个选项，只有一个符合题目要求． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴n=2，m-3≠0， 即，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程． 2. 二次函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式求顶点坐标，再代入求值． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴二次函数开口向上，最小值在顶点处，最小值为， 故选：A． 3. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这个图形就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，即可作答． 【详解】解：是中心对称图形，但不是轴对称图形 故选：B 4. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 5. 下列说法：①若有方程，则这个方程的解之和为；②在等圆中，等弧所对的圆周角（锐角）相等；③两个全等的正方形不可能位似；④点在函数上，且这三个点共圆．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，位似的定义，二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ 对于方程 ，若，方程为一元二次方程，且,一元二次方程有两实根，则两根之和为，而题目并没有说明，∴ 说法①错误． ∵ 在等圆中，等弧所对的圆周角相等，与角度大小无关，∴ 说法②正确． ∵ 两个全等的正方形可能位似，例如中心重合且对应边平行时，∴ 说法③错误． ∵ 点 在函数 上，且为抛物线的顶点，∴ 不在函数 上，∴ 说法④错误． ∴ 正确说法有1个． 故选：A． 6. 假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（ ） A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体．根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可． 【详解】解：尾， 即鱼塘大约有7350尾鲢鱼． 故选：A 7. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由点D为的中点即可求得其坐标，从而求得反比例函数的比例系数k，再由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得结果． 【详解】解：点A的坐标为，且边的中点为， ， 则， 由反比例函数比例系数的几何意义知：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，掌握这一几何意义是解题的关键． 8. 如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内心和外心，连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、，由内心和外心，可得平分，平分，平分，是的中点，则， ，，得到四边形是正方形， ，则，，根据列方程解得，即可得到， ，最后根据计算即可． 【详解】解：连接，，，过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∵在中，， ∴， ∵点分别是的内心和外心， ∴平分，平分，平分，是的中点， ∴，， ∵过向三边作垂线，垂足分别为、、， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系， 由已知根代入方程变形可以得出是方程的一个根，由此得出结合条件，再根据新方程两根之和为，由此求出新方程的另一根为， 【详解】解：∵ 方程 有一个根为 ， ∴ ， 两边同乘 得： ， 即 ． ∴是方程的一个根， 设方程的另一个根为，则：， 又∵ ， ∴ ， ， ∴． ∴， ∴方程的两根为和， 故选B． 10. 如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ） A. 1.25 B. 1.125 C. 1.1 D. 1.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 11. 如图，在等边中，点P为内部一动点，满足，点Q为的中点，的延长线交于，的延长线交于E，连接、，则下列选项错误的是（ ）． A. B. C. D. 为定值 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，可通过角角证明，即可判断A；对于B，过作于， 于，通过等量代换可证明，从而证明，则，根据三角形面积公式可得，结合，可判断B；对于C，过作于，可证明，则，根据比例中项的计算可得，，结合四边形内角和可证明，则，可判断C；对于D，延长至点，使得，连接，，容易证明四边形是平行四边形，，若为，则是等边三角形，此时，反之，当时，比例不成立． 【详解】解：①对于A， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； ②对于B，如图，过作于，于， 于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故B正确； ③对于C， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ④对于D，如图，延长至点，使得，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴，此时点为定点， 而在的运动过程中，一直在改变，即不是定值，故D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． 12. 如图，在边长为4的正方形内有一动点P，且．连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．连接，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，如图，连接、，证明，得到，在以为圆心，为半径的圆上，在上取，连接，，求得，再证明，得到，则，的最小值为5．最后得到的最小值为． 【详解】解：如图，连接、， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段． ∴， ∴，， ∵边长为4的正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上， 在上取，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为5． ∴的最小值为， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 一元二次方程有一个根为1，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义，将代入列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得，． 故答案为：5． 14. 已知点与点关于原点对称，则a-b的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：∵点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质及求代数式的值，正确得出a，b的值是解题的关键． 15. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 16. 如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数（x＜0）交于M，N，与坐标轴交于点A，点B，以OM、ON为邻边作平行四边形OMPN．若平行四边形OMPN的面积为6，则k的值为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】解方程组得到，，，，过作于，过作于，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：解得，， ，，，， 过作于，过作于， 在平行四边形中．平行四边形的面积为6， ， 点，在反比例函数上， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17. 如图，是⊙的直径，E为⊙上的一点，是弧上的一个动点（不与两点重合），连接并延长至点与的延长线相交于的延长线相交于点．给出下列结论：①若，则是的切线；②若平分，则；③在②的条件下，弧的长；④无论点D怎样移动，为定值．其中正确的结论有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据各项的已知，逐项判断即可：①证明，即可；②证明，对应边成比例即可判断；③求出长度即可判断；④证明，得，再求出即可判断． 【详解】解：①∵是⊙的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线，故①正确； ②∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③连接，如图： ∵在②的条件下，，， ∴的长为，故③不正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、相似三角形的判定及性质、弧长计算、解直角三角形等知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，会观察、证明圆中的相似三角形． 18. 如图，在矩形中，且，，点E在上，满足，点G在延长线上，若，则的长度是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、斜边中线定理，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 延长至点，使得，则，，根据矩形的性质得到，由得到，，进而证出，得到，再利用斜边中线定理即可求出的长度． 【详解】解：如图，延长至点，使得， 则， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：3． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查公式法和因式分解法解一元二次方程； （1）用公式法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴， 20. 如图，有四张正面标有数字，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字． （1）第一次抽到数字2的卡片的概率是 ； （2）设第一次抽到的数字为，第二次抽到的数字为，点的坐标为，请用树状图或列表法求点在第三象限的概率． 【答案】(1)；(1) 【解析】 【分析】(1)直接利用概率公式求解即可求得答案； (2) 列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】(1) ∵数字-2，3，-1，2四个数中，只有一个2， ∴第一次抽到数字是2的概率为； (2)列表如下： 第一次 第二次 3 2 3 2 可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同， 点在第三象限有两种可能结果，， ∴． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设蓉宝每套售价定为元时，求该商品销售量（套）与之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了一次函数的应用，根据“该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出解析式，即可求解． （2）本题主要考查了二次函数的实际应用，根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，即． 【小问2详解】 解：由题知， ，二次函数开口向下，有最大值， 即当时，最大，最大利润为元， 故每套售价定为元时，每天销售所获利润最大，最大利润是元． 22. 如图1，在中，分别为的中点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接交于点，交于点，且，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别为的中点， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） ①证明：∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 设， ∴在中，，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，求得，推出四边形是平行四边形，得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）①设，，在中，， ，得到，根据菱形 到现在得到，，推出，得到，求得，于是得到； ②根据相似三角形的性质得到，求得，设，得到，推出，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去负值）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． （1）若，求反比例函数的表达式； （2）试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； （3）如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 【答案】（1） （2）是定值 （3） 【解析】 【分析】（1）由A、B两点坐标结合线段平移的性质得到点E的坐标，然后由反比例函数的定义求出k值即可． （2）证明，可得，进而求出和关于n的表达式，即可得出结论． （3）先由待定系数法求出直线的表达式，然后结合反比例函数表达式求出点E的坐标也是线段的中点，进而求出直线关于m、n的表达式，再通过构造，利用相似比求出点G的坐标，再代入直线的表达式，结合求出m和n的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：当，时，，． 根据线段平移的性质，． ∴点E坐标为． ∵由反比例函数表达式得． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点C作x轴的垂线交x轴于点P． ∴轴． ∴, ∴． ∵． ∴． ∵点E在反比例函数的图象上，同理（1）可得点E的坐标为． ∴． ∴， ∴． ∴． ∵． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． 故的值为定值． 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为，把A、B两点坐标代入得： ， 解得． ∴直线的表达式为． 由于反比例函数表达式为，与直线函数表达式联立得： ． 整理得． ∴． ∴，． ∴点F的坐标为也是线段的中点． 根据线段平移的性质可得点E坐标为，则． 同理，由两点坐标根据待定系数法求得的解析式为：． 过点E作轴，垂足为I，过点O作与延长线交于点G，再过点G作轴，垂足为H， ∵， ∴． 在和中，， ． ∴． ∴． ∴ ∵点G在直线上， ∴， 代入和得：， 整理得：． 又∵，则，代入上式得． ∴． ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，图象平移的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点．综合性性强，难度大，通过“一线三等角模型”构造相似三角形，以此应用夹角的条件是解答本题的难点． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 【答案】（1） 证明：∵点是弧的中点， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2） 证明：连接交于点．如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明，又由，，即可证明； （2）连接交于点．由得到，由圆周角定理得到，已知，得到，则．由点是弧的中点得到半径，则半径，即可证明是的切线； （3）设的半径为．证明，．．求出，则．由得到．根据勾股定理得到，则，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵点是的中点， ∴点是的中点． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 【点睛】此题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 25. 已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； （3）如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分为和两种情况分别画图，求出直线解析式，联立直线和二次函数的解析式求解即可； （3）设点，可以求出直线，然后求出，，然后分别作，则，进而得到代入求值即可． 【小问1详解】 由已知，知点， 且对称轴为直线则 解得 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 如图，①当时，，则 设直线为， 将代入得解得， 所以直线， 因为，所以直线为：， 联立抛物线与直线得 即， 解得（舍去）； ②当时，， 作， 由，对称轴为直线， 则， 所以， 所以， 作，则， 设得，点， 直线为：，联立抛物线与直线， 解得（舍去） 综上所述点D的横坐标为或者． 【小问3详解】 如图，设点， 因为直线经过点， 所以，直线 联立直线与直线，解得① 联立直线与抛物线得 即 由韦达定理得② 如图分别作，则， ， 所以， 将及①②代入得， 设， ，因为若的值与k无关， 解得，或． 当时，P与Q重合，不合题意，故舍 ． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025秋九年级数学（上）学业监测 本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷共6页，答题卡共6页．满分：150分．考试时间：120分钟． 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每个小题的四个选项，只有一个符合题目要求． 1. 若方程是关于的一元二次方程，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 二次函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 4. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法：①若有方程，则这个方程的解之和为；②在等圆中，等弧所对的圆周角（锐角）相等；③两个全等的正方形不可能位似；④点在函数上，且这三个点共圆．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（ ） A. 7350 B. 7500 C. 7650 D. 7800 7. 如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在中，，点分别是的内心和外心，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. D. 9. 已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（ ） A. 1.25 B. 1.125 C. 1.1 D. 1.2 11. 如图，在等边中，点P为内部一动点，满足，点Q为的中点，的延长线交于，的延长线交于E，连接、，则下列选项错误的是（ ）． A. B. C. D. 为定值 12. 如图，在边长为4的正方形内有一动点P，且．连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段．连接，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上． 13. 一元二次方程有一个根为1，则________． 14. 已知点与点关于原点对称，则a-b的值为________． 15. 小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是______． 16. 如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数（x＜0）交于M，N，与坐标轴交于点A，点B，以OM、ON为邻边作平行四边形OMPN．若平行四边形OMPN的面积为6，则k的值为_____． 17. 如图，是⊙的直径，E为⊙上的一点，是弧上的一个动点（不与两点重合），连接并延长至点与的延长线相交于的延长线相交于点．给出下列结论：①若，则是的切线；②若平分，则；③在②的条件下，弧的长；④无论点D怎样移动，为定值．其中正确的结论有________． 18. 如图，在矩形中，且，，点E在上，满足，点G在延长线上，若，则的长度是________． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，有四张正面标有数字，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字． （1）第一次抽到数字2的卡片的概率是 ； （2）设第一次抽到的数字为，第二次抽到的数字为，点的坐标为，请用树状图或列表法求点在第三象限的概率． 21. 2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，让四川成为了全世界年轻人关注的焦点，其中大运会吉祥物蓉宝也广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套42元的价格购进一批蓉宝．若该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． （1）设蓉宝每套售价定为元时，求该商品销售量（套）与之间的函数关系式； （2）求每套售价定为多少元时，每天销售所获利润最大，最大利润是多少元？ 22. 如图1，在中，分别为的中点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接交于点，交于点，且，连接，． ①求证：； ②若，求的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，平移线段得线段，连接，反比例函数的图象经过点E，交直线于C，D两点． （1）若，求反比例函数的表达式； （2）试探究的值是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由； （3）如图2，取线段的中点F，连接，若，求所在直线的表达式． 24. 如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，． （1）求证：； （2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线； （3）求的半径． 25. 已知，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在第二象限的抛物线上作点D，连接交直线于点E，若与相似，求点D的横坐标； （3）如图2，经过点的直线交抛物线于两点（M在第三象限，N在第一象限），直线交线段于点Q（不与重合），若的值与k无关，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $