精品解析：黑龙江省绥化市第七中学2026届高考模拟卷数学试题（一）

2026届黑龙江省绥化市第七中学高考模拟数学（一） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列已知数列的前项和，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 6. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 10. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 13. 已知，，，则______． 14. 平面向量，，若，则______. 15. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_____． 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 18. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 19. 定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作长轴的垂线交其“伴随圆”于点在同一象限内，称点为点的“伴随点” 已知椭圆：上的点的“伴随点”为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，当最小时，求点的坐标. 20. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届黑龙江省绥化市第七中学高考模拟数学（一） 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，代入即可求模长. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加减和向量积的坐标表示，根据向量夹角余弦值坐标公式求值即可. 【详解】根据题意知，可知. 故选：D. 3. 设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列已知数列的前项和，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式的形式设出，等比数列的求和公式的形式，结合已知条件，得到可得，，，，从而得到所求. 【详解】由等差数列的求和公式，可设前项和为， 由公比不为的等比数列的求和公式，可设前项和为， 由数列的前项和， 可得，， 可得，，，， 则. 故选：C. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得或，所以， 又因为，所以． 故选：B． 5. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】优先处理特殊元素“宫”，根据“宫”的位置分类讨论即可求解. 【详解】当“宫”在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为； 当“宫”不在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为， 所以一共可以排成不同音序的种数为． 故选：B． 6. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切化弦后，结合二倍角正余弦公式可构造方程求得，由可求得结果. 【详解】由得：， ，，，解得：， . 故选：D. 8. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和古典概型的概率公式计算可得. 【详解】的展开式共11项，通项公式为， 当时该项的系数为负数， 所以在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断四边形为平行四边形，结合对角线相等可得四边形为矩形，可判断A；根据点到直线距离公式可判断B；利用双曲线定义求出内切圆的圆心横坐标可判断C；假设点关于点对称的点在上，导出矛盾可判断D. 【详解】由双曲线可得，，， 对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，由题意知的渐近线方程为， 则右顶点到直线的距离为，故B错误； 对于C，如图所示， 设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，， ，由，可得， 即，所以，又， 所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确； 对于D，假设点关于点对称的点在上， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，则， 由，两式相减得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾， 即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由周期公式求解判断；对B，由，可得，所以的最小值为一个周期，求解判断；对C，由，可得，结合得解；对D，由当时，，有3个零点，可得，得解. 【详解】对于A，当时，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由的最大值为1，又由，有. 又由，可得函数的最小正周期为，可得的最小值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 又由所得函数为奇函数，有，可得， 又由，取，可得的最小值为，故C正确； 对于D，当时，， 由函数在区间上有3个零点，有，可得，故D正确. 故选：ACD. 11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ） A. 点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B. 曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C. 若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D. 画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程． 【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB， 则，， 则， 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以△OAB面积的最大值为6，故A正确； 对于B，半圆上的点到点的距离都是， 半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为， 所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确； 对于C，是椭圆的两个焦点， 在△PAB中，，由余弦定理知： ， 当且仅当时取等号， 所以cos∠APB的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为 此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是__________. ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 13. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由得，联立得，进而得，计算得，结合角的范围即可求解. 【详解】由， 又，所以， 所以， 所以， 又，所以，所以. 故答案为： 14. 平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直得出，再由坐标运算及模长公式计算求解. 【详解】由，得，解得. 则，. 故答案为：. 15. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_____． 【答案】## 【解析】 【分析】构造利用导数可得当时，，由基本不等式可得，当时，等号成立，故由可知，即得. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当两个不等式等号同时成立时， 即等号成立，得 故答案为： 【点睛】关键点点睛，本题由的最小值为，，故，进而确定，进而可得. 四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） 已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2） 由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3） 定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）或． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明如下： ，， 令，， 则，，且， ∴， 令，则， ∴，； 要证，即证， 即证时，， 令，则， 当时，，单调递增，， ∴时，，不等式得证． 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点，即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解； （2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确定a的取值范围； （ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明时，，从而得证. 【17题详解】 当时，，， 设切点为， ∴函数在处的切线方程为， 将点代入切线方程得， ，解得或1， ∴曲线在点处的切线为，在点处的切线为； 【18题详解】 （ⅰ）， ∵有2个极值点，∴方程有2根，， 令，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 当时，，当时，， ，当时，， ∴a的取值范围是； （ⅱ）略 18. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 【答案】（1）连接，设与相交于点，连接. ∵，分别为，的中点，∴， 在正四棱锥中，平面， 又∵平面，∴， 又底面为正方形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，可得，证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，妨设，求出平面的一个法向量和的坐标，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）以及题意可知，在中，，. 在中，，，∴. 又∵，，， ∴以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则，，，. ∵在棱上，∴不妨设， 则，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，则. 设与平面所成的角为， 则，当且仅当时等号成立. ∴当与平面所成角取得最大值时，. 19. 定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作长轴的垂线交其“伴随圆”于点在同一象限内，称点为点的“伴随点” 已知椭圆：上的点的“伴随点”为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，当最小时，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆上的点的“伴随点”为，根据“伴随点”的定义列出和的等式，计算得到和的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）由直线过点，利用点斜式设出直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去并整理得到的一元二次方程，由韦达定理得到，，利用弦长公式求出，由点斜式求出直线的方程，求出，求出，从而得到点的坐标. 【小问1详解】 因为椭圆上的点的“伴随点”为， 所以， 解得，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线过点， 设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， 因为直线的方程为，即， 为直线上任意一点， 代入得到， ，， ， ， 当且仅当时，等号成立， 此时直线的方程为或， 当时，或. 则点的坐标为或 20. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门. （1）请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案； （2）证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； （3）如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】（1）应该换门，理由如下： 如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，故应该换门. （2）证明：假设山羊门数为（），如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门比不换门中奖概率更高. （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【小问1详解】 应该换门，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元时值得的，须有：. 整理得：. 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $