第二十六章反比例函数单元检测 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十六章《反比例函数》单元检测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在反比例函数的图象上，有一系列点，，，，，，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，，，，，作轴与轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，，，，，则（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 5．已知P为函数的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P的个数为（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 6．定义运算“※”为：，如：，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 8．如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 9．如图，正方形在平面直角坐标系中的点和点的坐标为、，点在双曲线上.若正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点恰好落在该双曲线上，则的值是(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图是台阶状的折线示意图，每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为，若反比例函数的图象与该折线有公共点，则k的整数值有 个． 12．如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ． 13．如图，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为 ． 14．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 15．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．    （1）的值为 ； （2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ． 16．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点，都在该反比例函数图象上； ①当，且点和点关于原点成中心对称，求点的坐标； ②当，时，求的取值范围． 18．（6分）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值． (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． (3)一次函数与函数的图象在第一象限的交点为点A，且与x轴交于点B，点C在函数位于第一象限的图象上，若，直接写出点C的横坐标． 19．（8分）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 20．（8分）如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动且托盘上放置了一个空牛奶盒．已知，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下 表中的实验数据． 实验次数 第次 第次 第次 第次 第次 总质量（牛奶盒+水） 的距离 (1)你认为表中哪次数据是明显错误的； (2)你认为与满足怎样的函数关系___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），求出关于的函数表达式； (3)某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量． 21．（10分）综合与实践 问题情境：如图，这是学生的注意力指标数y随时间x（单位：分钟）的变化规律的图象，其中是线段，为双曲线在第一象限内的一部分． 问题解决： (1)求线段和双曲线所表示的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围． (2)我们知道，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随时间的变化而变化，学生的注意力指标数越大，注意力就越集中．通过计算对比上课后的第3分钟和第30分钟，学生注意力哪个更加集中． (3)已知老师要讲一个重要知识点；为了使学生听课效果更好，要求学生的注意力指标数不得低于40，老师希望在学生的注意力达到所需状态下讲完，请直接写出老师讲解这个知识点最好安排在什么时间段．（默认为在时间段内能讲完） 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． (1)的值为 ； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 23．（12分）如图1，已知反比例函数，点A，B在x轴正半轴上（点A在点B的左侧），过点A，B分别作．轴，轴，交反比例函数图象于点D，C，连接． (1)填空：_______； (2)求证：； (3)如图2，直线交于点F，交延长线于点G．点在线段上． ①若点E是的中点．证明：四边形为平行四边形．并求出此时的值； ②如图3，连接．试判断的形状，并说明理由． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．A 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 2．D 解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 3．B 解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 4．A 解：点、、、、、在反比例函数的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2， 又点的横坐标为2， ，，坐标为． 由题图象知，，， ， ， ， ，2，3，， ， ． 故选：． 5．B 解：设，则根据题意，得 ， 解得． ∴符合条件的点有2个． 故选：B． 6．C 解：当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为， 图象大致为 故选：C． 7．A 解：， ∴在每个象限内，随的增大而减小， ， 当时最大， 即， ， ， ， ∴在每个象限内，随的增大而增大， ， 当时最小， 即， ， ， 解得：， ， 故选：A． 8．C 解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 9．B 过点作轴的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交于. ，，，. 又，，， 点坐标为 将点坐标为代入，可得=4. 与同理，可得到，， 点坐标为，正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点坐标为 将点坐标为代入，可得=2. 故选B. 10．C 解：反比例函数的图像过第二象限， ， 当时，， ， 抛物线的开口向下，对称轴为， 抛物线的对称轴为直线， ， 依据题意得， ， ， 即， 故选：C． 二．填空题 11．4 解：∵每级“台阶”的高和宽都是1，“台阶”的最高点为， ∴、、、、、， 如图，当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点，直到反比例函数图象过点C为止， ， ∴k取3，4，5，6， ∴k的整数值有4个， 故答案为：4． 12． 解：如图所示，过点作于点， ∵正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点的坐标关于原点对称，即， ∵，，， ， ， ∴， ∴ ∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故答案为：． 13．6 解：点、在反比例函数的图象上， 设，， 又点、在反比例函数的图象上，轴， ，， 由题意得，，， ，， 与的距离为5， ， ， 解得：． 故答案为：6． 14． 解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 15． 2或或 解：（1）过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 而， ． （2）当点，关于点对称，即点为线段的中点， ，， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 当点，关于点对称，即点为线段的中点， ， ， ， 代入得，， 解得：， 综上所述，的值为2或或． 故答案为：；2或或． 16． 解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，， ∵和均在反比例函数上， ∴，， 解得：、，、， 当时，； 当时，， ∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或， 设一次函数与x的轴相交于点C， 当时，，即， ∴点C的坐标为：， ∴， 如图所示：， 故答案为：． 三．解答题 17．（1）解：∵反比例函数，点，都在该反比例函数图象上， ∴，解得， ∴； ∴反比例函数的解析式为：； （2）解：点，都在该反比例函数图象上，点和点关于原点中心对称， ∴， ∵，则，解得， ∴， 将代入得解得， ∴； ②∵，则， ∵， ∴，点在第三象限， ∴， ∴． 18．（1）解：∵， ∴在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， ∴当时，最小值为， 当时，最大值为， 由①，②得：． （2）∵到y轴的距离大于3， ∴或， ∵， ∴或； （3）解，得，， ∴． 解，得， ∴， ∴ ∴ ①当点C在A点的右侧 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ②当点C在A点的左侧， 设，过A，C分别关于x轴作垂线交于点M、N， ∵， ∴， ∴（舍），， 所以点C的横坐标为3或． 19．（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得反比例函数解析式为, 点代入得 解得， ∴, 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴, ∴． （3）证明：∵轴， ∴， ∵, ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．（1）解：天平要达到平衡，总质量越小越大，与第，次相比，第次总质量小，反而小， 第次数据是明显错误的； （2）与满足的函数关系为反比例函数， 故答案为：反比例函数； 设关于的函数表达式为， 则， ∵当时，， ∴， ∴关于的函数表达式为； （3）设空牛奶盒的质量为， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：这个空牛奶盒的质量为． 21．（1）解：设线段的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为． 设曲线的函数表达式为，将代入，得， ∴曲线的函数表达式为． （2）把代入，得， 把代入，得． ∵， ∴学生上课后的第3分钟比上课后的第30分钟注意力更加集中． （3）解：当，解得， 当，解得， 结合图象，要求学生的注意力指标数不得低于40，则x的取值范围是， ∴安排在第5分钟至第25分钟． 22．（1）解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， （2）①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（1）解：； 故答案为：1； （2）证明：点C，D在反比例上， ， ， ， （3）解：①设点． 是线段的中点， ． 点C在反比例上， ． ． 解得． 点A在点B的左侧， ． 点，点． 设直线的解析式为， ． 解得：． 直线的解析式为． ， ． 轴，轴， ． 四边形为平行四边形． 由（2）得：，点，点， ． ②是直角三角形，理由如下： 设点， 则点． ． ， ． ． ． 同理，设点， 则点． ，． ． ． 设直线交x轴于点H，连接． 令，则． 点． 点， 轴． ． ． ， ． ， ． ． ， ． 是直角三角形． 24．（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到 ，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $