精品解析：贵州省贵阳市华师一学校2026届高三上学期周测（九）数学试题

贵阳市华师一学校2026届高三年级周测（九）数学试卷 命题人：徐玉金 审题人：王海龙 2026.1.11 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数. 【详解】解：先求抽样比＝， 再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×＝30（人），乙校抽取5 400×＝45（人），丙校抽取1 800×＝15（人）， 故选：B. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数型函数的真数部分要大于0，据此可以列出不等式，求解即可.． 【详解】依题意，解得或， 所以的定义域为. 故选：C 5. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正弦定理求出． 【详解】在中，∴． 由正弦定理得， ∴ ． 故选A． 【点睛】解三角形时注意三角形中的隐含条件，如三角形的内角和定理，三角形中的边角关系等，解题时要灵活应用．同时解三角形时还要根据所给出的边角的条件，选择运用正弦定理还是余弦定理求解． 6. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D． 考点：双曲线的标准方程． 7. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 8. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【详解】由题设有， 令，则有即. 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题. 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义域即可判断A,根据对数的性质即可求解B，求导，根据上导数的正负即可求解C，根据单调性即可由极值点的定义求解D. 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边的中心为.，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设的边长为cm，表示出所得三棱锥的体积，利用导数求函数的最大值. 【详解】如下图， 连接交于点，设，，重合于点， 正三角形的边长为cm（），则. ， ， 三棱锥的体积. 设，则， 令，即，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以在时取得最大值. ∴. 【点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决. 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和严格增区间； （2）函数图像可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】（1），；（2）左移，上移． 【解析】 【分析】（1）首先利用二倍角公式以及辅助角公式可得，再由以及正弦函数的单调递增区间，整体代入即可求解. （2）利用三角函数的平移伸缩变换即可求解. 【详解】（1） ， 最小正周期， ， 解得， 所以函数严格增区间为. （2）的图象向左平移个单位可得 ， 再向上平移可得． 16. 在三棱锥中，平面平面，，， （1）若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为， 平面， 所以⊥平面， 体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，根据面面垂直，得到线面垂直，并利用锥体体积公式求出答案； （2）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求出，进而求出二面角的大小. 【小问1详解】 因为，所以⊥，，， 故， ，由勾股定理得， 又⊥平面， 三棱锥的体积； 【小问2详解】 由（1）知，⊥平面，平面， 所以⊥，⊥，又⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 又平面的一个法向量为， 故， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的大小为. 17. 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 【答案】(1) 双曲线方程为(2) 满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和 【解析】 【详解】试题分析：（1）由双曲线焦点可得值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到的关系式，解方程组可求得值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和O到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，求得直线方程 试题解析：（1）由已知及点在双曲线上得 解得；所以，双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为 由 得 设直线与双曲线交于、，则、是上方程的两不等实根， 且即且 ① 这时 ， 又 即 所以 即 又 适合①式 所以，直线的方程为与． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ （3）已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. 【答案】（1） （2）先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 （3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为， 因此有，从而，从而， 由可得，所以有， 这表明随增大而增大，随增大而减小，所以有， 另一方面，由， 可得，即， 注意到，所以有， 即， 因为，所以有， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物A，B能治愈疾病S的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； （3）由题意得出，利用作差法得出， ，再由累乘法得出，整理即可得证. 【小问1详解】 设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E， 则， 因为事件发生则事件必发生，故 . 【小问2详解】 设表示药物A能治愈疾病S的概率，表示药物B能治愈疾病S的概率. 则有， 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为， 则，，， 所以 . 同理得，， 则有. 从而有， 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市华师一学校2026届高三年级周测（九）数学试卷 命题人：徐玉金 审题人：王海龙 2026.1.11 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（　　） A. 30人，30人，30人 B. 30人，45人，15人 C. 20人，30人，40人 D. 30人，50人，10人 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 7. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 10. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. C. 在区间上单调递增 D. 为的极小值点 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边的中心为.，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和严格增区间； （2）函数图像可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 16. 在三棱锥中，平面平面，，， （1）若O是棱的中点，证明：平面，并求三棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 17. 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上. （1）求双曲线C的方程； （2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. （1）若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； （2）若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ （3）已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $