精品解析：山东省菏泽市单县第一中学2025-2026学年高二上学期1月学情检测数学试题

24级高二1月份学情检测数学试题 时间：120分钟；分值：150 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据倾斜角求出斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线倾斜角为，故斜率为， 则直线方程为，即. 故选：B. 2. 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出公差即可得出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，所以， 则. 故选：B. 3. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解. 【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为， 点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为， 点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为， 所以点关于y轴对称点的坐标为. 故选：C. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解. 【详解】，，由中点坐标公式，得， 所以. 故选：A 5. 已知椭圆的左，右焦点为，离心率为，又点是椭圆上异于长轴端点的两点，且满足，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据椭圆离心率求出椭圆方程，再根据已知得出，结合椭圆的定义得出在上、下顶点处，设，得出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，即可求出． 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，，椭圆方程为， 因为， 所以点共线， 因为，则， 设，由椭圆的定义得， 又因为，， 所以，解得，即， 所以在上、下顶点处，不妨设， 则， 联立，解得或， 则， 因为， 所以， 故选：C． 6. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得直线与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可. 【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3）， 当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为， 当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为， 故选：B 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设对称点的坐标，由对称的定义建立等量关系，将求得的对称点坐标代入解析式，求得关系，由基本不等式求得最小值. 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 8. 如图，正四面体的长为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以、、为基底表示，然后利用向量的数量积计算公式计算即可. 【详解】 . 故选：D 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为30 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，即可判断. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.，故C错误； D.因为数列的公差为，所以数列单调递减，且，所以的最大值为，故D正确. 故选：AD 10. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据两个双曲线方程分别求出再分别判断选项. 【详解】由双曲线可知,所以实轴长为 焦距为,离心率为,渐近线为 再由另一个双曲线可知，， 所以实轴长为焦距为，离心率为， 渐近线为所以A,B,C选项正确，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用数量积的定义和运算律，结合图形，即可求解. 【详解】如图所示： 因为底面，所以垂直于平面内的任何一条直线， 因为四边形是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形， A. ，故A错误； B. ，故B正确； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前n项和为，且，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质可求解. 【详解】由，得．因为，所以． 故答案为： 13. 设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________. 【答案】14 【解析】 【分析】利用椭圆的几何性质求解即可. 【详解】如图所示 由椭圆的性质可得，， 所以的周长， 当最小时，最大，又当轴时最小， 此时， 所以的最大值为14， 故答案为：14 14. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱的中点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， 又由正八面体的棱长都是，且各个面都是等边三角形， 在中，由，可得，所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果； （2）利用垂径定理可求得圆心到直线距离，由此可构造方程求得，进而得到直线方程. 【小问1详解】 由圆的方程知：圆心，半径， 与圆相切，圆心到直线的距离，解得：. 【小问2详解】 ，设圆心到直线的距离为， ，解得：， ，解得：或， 直线的方程为或. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，以D为原点，以射线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以，， 所以， 所以，故． （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明，故． （2）利用空间向量法，利用向量的夹角公式求异面直线EF与所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以． 因为，且， 所以． 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可求得数列的通项公式； （2）将表示为分段的形式，分和两种情况讨论，结合等差数列求和公式可求得. 【详解】（1）由，可得， 时，， 对也成立，可得； （2）当时，，即有． 当时，，， 即有． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点.请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：平面； （2）当长为多少时，平面与平面的夹角为. 【答案】（1） 因为平面，平面，平面， 所以，，又， ∴以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设平面的一个法向量为， 则，则且， 令，则，， ∵，∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用可证平面； （2）设，求出平面的一个法向量，根据求出，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 设，则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，得， 所以， 所以，解得， 即长为. 19. 已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. 【小问1详解】 依题意可得， 解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 联立，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高二1月份学情检测数学试题 时间：120分钟；分值：150 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 经过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（ ） A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 3. 在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知椭圆的左，右焦点为，离心率为，又点是椭圆上异于长轴端点的两点，且满足，若，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 16 8. 如图，正四面体的长为，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为30 10. 双曲线与有相同的（ ）. A. 实轴长 B. 焦距 C. 离心率 D. 渐近线 11. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前n项和为，且，，则______． 13. 设､是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为___________. 14. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱的中点，则__________. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： （1）求证：； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值. 17. 已知是数列的前项和，且． （1）求； （2）求数列的前项和为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点.请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：平面； （2）当长为多少时，平面与平面的夹角为. 19. 已知是椭圆的左顶点，且经过点. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，且，求弦的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $