精品解析：安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学9.26周测试题

阜阳三中数学周末作业9.26 一、单选题 1. 在长方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 3. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（ ） A. 直线BF与直线所成角余弦值为 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D. 当点在线段AB上运动时，的最小值为 三、填空题 12. 已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为______. 13. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________． 14. 如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________． 四、解答题 15. 已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. （1）求的长； （2）求的值. 16. 直线经过，，直线经过点，． （1）若，求m的值； （2）若，求m的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小； （3）若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳三中数学周末作业9.26 一、单选题 1. 在长方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果. 【详解】如下图示，. 故选：C 2. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 3. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 4. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 5. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 6. 如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值. 【详解】设线段的中点为，连接， ，为的中点，则， ，则，，同理可得，， ，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，所以，为等边三角形，故为的中点， 平面，平面，则， ，，平面， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 则、、、， 由于点在平面内， 可设， 其中，且， 从而， 因为，则， 所以，， 故当时，有最大值，即， 故，即有最大值， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 11. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（ ） A. 直线BF与直线所成角余弦值为 B. 在三棱柱中，点的曲率为 C. 过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D. 当点在线段AB上运动时，的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于B根据曲率的定义计算点的曲率即可判断，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断A，取的中点为，连接，即证平面平面，计算平面的面积即可判断C，设，利用向量求，，设，转化为点到点的距离和点的距离之和，点关于轴对称的点为，则，利用两点距离公式即可求解. 【详解】设,在直三棱柱中,,由点的曲率为, 所以,所以,又,所以, 所以点的曲率为,故B正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意有，， 对于A：，所以， 所以直线BF与直线所成角余弦值为，故A错误； 对于C：取的中点为，连接，由且，所以四边形为平行四边形， 所以，又为的中点，所以，又，所以，又， 所以，又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以截面为平面，可知四边形为梯形， 又，， 则点到直线的距离为， 所以梯形的面积为，故C错误； 对于D：， 设， 所以， ， 所以，， 所以， 设，则表示点到点的距离和点的距离之和， 则点关于轴对称的点为， 所以， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12. 已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】求向量的坐标，再求在法向量上的投影向量的模即可. 【详解】由已知， 又在上的投影向量的模为，， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 13. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由求出点坐标后可得线段的长． 【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， ，则是靠近的线段的三等分点，， ，， 在平面上，设，则， 由AP⊥平面MBD1，得，解得， 所以，． 故答案为：． 14. 如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论． 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为． 图1 图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 . 【小问2详解】 由，得， 所以 . 16. 直线经过，，直线经过点，． （1）若，求m的值； （2）若，求m的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【小问1详解】 由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； 【小问2详解】 若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直接坐标系，求出平面的法向量为，由即可证明； （2）由线面角的空间向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，因为平面， 所以是平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18. 设中，角所对的边分别为，． （1）求A； （2）已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． 【小问2详解】 由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 19. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小； （3）若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 【答案】（1） 法一：设，连结，， 矩形中是线段的中点，是线段的中点， 所以，，所以为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直， 面面，，面，所以面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设面的法向量为，则由，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 则，又平面，所以，从而面. （2）； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行； （2）应用向量法求二面角的大小即可； （3）设，其中，进而得到，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，，面的一个法向量为， 设面的法向量为，则，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，因为为锐角，所以， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 因为点在线段上，而， 设，其中，则，从而， 于是，而， 由知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $