精品解析：云南省罗平县第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年上学期期末考试试卷 高一年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由题设. 故选：B 2. 设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A． 考点：本题考查充分、必要、冲要条件． 点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，所以选A．这种做法比分析中的做法更形象、更直观． 3. 已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆心角转化为弧度制，然后根据扇形的弧长公式计算即可. 【详解】圆心角为20°，即圆心角为，又扇形的半径为6， 由弧长公式得，该扇形的弧长为， 故选：B 4. 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 【详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 5. 已知角的终边上有一点（– 1，2），则的值为 （ ） A. B. C. D. – 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：角的终边过，，. 考点：任意角三角函数的定义. 6. 已知定义在上的函数满足，当时，.则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出周期，再利用周期代入即可求值. 【详解】因为，所以, 所以的周期为4，则，又，令得：， 因为当时，，所以，所以. 故选：D 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式即可求得的最大值. 【详解】，∴， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 8. 设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据为奇函数和为偶函数得出对称轴及对称中心，再化简得出周期，最后应用已知函数值即可求解. 【详解】为偶函数，, 为奇函数，,, , , . 故选:C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若a，b均为正实数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，，，则， 当且仅当，时取等号，又当，时，， 故等号能取到，则的最小值是2，故B错误； 对于C，，b均为正数，且满足， ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值是4，故C正确； 对于D，观察知. 故， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称， C. 的对称轴为直线， D. 方程在内恰有4个互不相等的实根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象得出，再由即可求解出，判断A；由，整体代入法即可求解对称中心和对称轴，判断BC；根据正弦型函数的图象即可判断D． 【详解】由图象可得，由得， 因为，所以，即，故， 又因为，所以，A错误； 由题意得， 由得，故关于点对称，B正确； 由得，故的对称轴为直线，C正确； 作出函数在上的图象，问题转化为函数的图象与直线在内有4个不同的交点， 由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根时，，D正确. 故选：BCD． 11. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 当时，函数的值域是 C. 函数满足 D. 函数的单调减区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得函数，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，幂函数的图象经过点， 可得，解得，即， 由，可得函数的图象过，所以A正确； 由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 又由，所以，所以函数的值域为，所以B错误； 由，可得C错误； 根据二次函数的图象与性质，可得函数开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知“，”，令，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】解：设， 则，所以，即， 又因为，， 所以，， 所以 所以的取值范围为． 故答案为：． 13. 设，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求. 【详解】， 由，所以，所以， 因为，又，所以， 所以. 故答案为：. 14. 若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数和二次函数的单调性及端点值可画出分段函数的图象，若函数与直线恰有三个交点，则，由此可得出答案. 【详解】当时，，此时，在上单调递减； 当时，，此时，在上单调递增； 当时，，对称轴为， 故在上单调递增，又，画出函数的图象如图所示： 由图象可知，若函数与直线恰有三个交点，则，即. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题知，是方程的两个解，根据韦达定理列出方程，解出即可； （2）化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或, 所以，是方程的两个解，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知原不等式为， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质结合题意列方程可求参数的值； （2）利用对数的运算性质转化题设不等式，结合换元法可求不等式的解. 【小问1详解】 因为，所以的定义域为R，关于原点对称， 又， 因为是偶函数， 所以对任意R恒成立， 所以对任意R恒成立， 则 恒成立，因此； 此时，， 所以是偶函数，满足题意，故； 【小问2详解】 若，则， 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以或. 所以满足题意的的取值范围是或. 17. 已知函数的一个零点为． （1）求a的值及在上的值域； （2）若存在唯一一组实数，使得，求m的取值范围． 【答案】（1），值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）由零点计算可得，再由三角恒等变换利用整体代换计算可得在上的值域； （2）分别求出时所有满足题意的解集，再结合唯一性可知m的取值范围． 【小问1详解】 易知，解得； 所以 ； 因为，所以； 所以，； 故在上的值域为. 【小问2详解】 因为在R上的值域为， 所以若使得，则与同为2或同为； 若，可得，解得； 若，可得，解得； 由题可知若，则 若，则 由唯一性，当且仅当，时合题，故 18. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【小问1详解】 已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，，， 可得， 解得， 所以至少需要等待. 【小问3详解】 设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要， 显然，则， 所以经过后，此时壶中水的温度是. 19. 若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”. （1）若函数是“型函数”，求的值； （2）若函数是“型函数”，求和的值； （3）已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义得出，结合指数运算可求得实数的值； （2）根据“型函数”的定义得出，可得出恒成立，即可得出实数、的值； （3）根据题意可知在的值域是的子集，求出，分析可知，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，然后对实数的取值进行分类讨论，求出函数在区间上的值域，根据集合的包含关系可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 已知函数是“型函数”， 根据“型函数”的定义，， 因为，所以，故，可得. 【小问2详解】 因为函数是“型函数”，所以，即. 由题意可知，所以恒成立， 所以，解得，. 【小问3详解】 因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以. 当时，； 当时，则. 当时，，在上单调递减. 故当时，，则在的值域为. 因为对任意时，都存在，使得， 所以在的值域是的子集， 根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意； 若函数在区间、上的值域为、，则，， 对任意的，则，则，且，即， 所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集， 当时，，其对称轴为. ①若，即，在上单调递增，， 此时为的真子集，不合乎题意； ②若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，且，， 由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有， 解得， ③若，即，在上单调递减，， 此时不是的子集，不合乎题意. 综上：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期末考试试卷 高一年级 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设则“且”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 3. 已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. 60 D. 120 4. 函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边上有一点（– 1，2），则的值为 （ ） A. B. C. D. – 2 6. 已知定义在上的函数满足，当时，.则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 7. 已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上函数满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若a，b均为正实数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于点对称， C. 的对称轴为直线， D. 方程在内恰有4个互不相等的实根，则 11. 已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 当时，函数的值域是 C. 函数满足 D. 函数的单调减区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知“，”，令，则的取值范围是______． 13. 设，当时，，则______. 14. 若函数与直线恰有三个交点，则的取值范围是___________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知不等式的解集为或 （1）求的值 （2）解不等式． 16. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数的一个零点为． （1）求a的值及在上的值域； （2）若存在唯一一组实数，使得，求m的取值范围． 18. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 19. 若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”. （1）若函数是“型函数”，求的值； （2）若函数是“型函数”，求和的值； （3）已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $