精品解析：天津市武清区梅厂中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试卷

高三数学 一、单选题（共9个小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 7. 已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论： （1）； （2）它的图象关于直线对称； （3）它的图象关于点对称； （4）若，则； 则上述结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 10. i是虚数单位，则复数___________. 11. 在的展开式中，的系数为______________.（用数字作答） 12. 圆：与圆：的公共弦长为______. 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为_____. 14. 在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则__________；若，，则的最小值是__________. 15. 函数，关于x的方程有且只有2个解，则k的取值范围______． 三、解答题（共5道题，每题15分，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 18. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 19. 若为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和． （3）记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点； （i）求的取值范围； （ii）不等式恒成立，试求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（共9个小题，每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全集和集合可求出，再由交集运算性质即可求解. 【详解】由题意得，，又则， 因为，所以， 故选：A. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】在中，， 由，可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项. 【详解】， 定义域为，关于原点对称， 由， 所以为奇函数，排除BD； 当时，，因为为上减函数，为上的增函数， 则为上的减函数，且当，，则当， ，故，排除A. 故选：C. 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意得：，， ，且， 故. 故选：C． 6. 双曲线的离心率为，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，（为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知该双曲线是等轴双曲线，故渐近线方程是，而抛物线的准线方程为，由题设可得，则，所以（为坐标原点）的面积为，应选答案C． 7. 已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的半径，再由正弦定理求出，设球的半径为，所以，最后由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为的面积为，设的半径为，则，解得， 又，所以为等边三角形，则，所以， 设球的半径为，所以， 所以球的表面积. 故选：C 8. 将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论： （1）； （2）它的图象关于直线对称； （3）它的图象关于点对称； （4）若，则； 则上述结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可. 【详解】解：由题意得： ，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数. 对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即 ，解得，故，所以（1）错误； 当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确； 当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确； 若，则，所以 因此在上的取值范围是，故（4）正确； 由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个. 故选：C 9. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围. 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 10. i是虚数单位，则复数___________. 【答案】 【解析】 【分析】对复数进行分母实数化即可化简. 【详解】 11. 在的展开式中，的系数为______________.（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式， 令，得， 所以的系数为. 故答案为：40 12. 圆：与圆：的公共弦长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】联立， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的模、单位方向向量、数量积运算、距离公式运算即可得解. 【详解】解：由题意，，， 则 ∴的单位方向向量， 又∵，∴， ∴点到直线的距离为 . 故答案为：. 14. 在中，为的中点，，过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，设，，若用、表示，则__________；若，，则的最小值是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出关于、的表达式，再由已知条件可得出，可得出关于、的表达式，求出、关于、的表达式，根据可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则， 因为，则， 因为，，则， ， 因为、、三点共线，则， 所以，存在实数使得，即， 所以，，消去可得，即， 所以，， 因为过点任作一条直线，分别交线段、于、两点，且， 则，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，的最小值是. 故答案为：. 15. 函数，关于x的方程有且只有2个解，则k的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】画出及的图象，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数的图象相切或与的图象相切的特殊位置，从而可得实数k的范围． 【详解】因为关于的方程有且只有2个不同的解， 所以的图象与直线有两个不同的交点， 又及的图象如图所示： 当， 的图象与直线相切时， 设切点为，从而，解得，． 所以，当时， 的图象与直线有两个不同的交点，只需满足. 当，的图象与直线相切时， 设切点为，从而，解得，． 所以，当时， 的图象与直线有两个不同的交点，只需满足. 综上，． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点． 三、解答题（共5道题，每题15分，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出，再由二倍角公式及两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由正弦定理，所以； 【小问3详解】 由余弦定理， 所以， ， 所以. 17. 如图，且，且且平面． （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长． 【答案】（1） 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 因为，而平面， 所以∥平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的方法证明线面平行； （2）根据二面角的定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后求余弦值； （3）根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后根据求线段. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点作于点， 因为，，所以，则共面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面，平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， ，，，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 取中点，连接，， 因为为中点，，，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， ，，，所以，， 所以线段的长为. 18. 已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，若直线：上存在点Q，使得是以为底边的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用抛物线方程可求出，再由短轴长可求出，进而求得的值，可写出椭圆的方程； (2)将直线分三种情况讨论：斜率不存在时，斜率为时和斜率存在且不为时，再利用是以为底边的等腰直角三角形进行求解即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为， 椭圆的左焦点为，即， 椭圆的短轴长为，，即，， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，， 当直线的斜率不存在时，：， 此时M，N分别为椭圆的上、下顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，不合题意； 当直线的斜率为时，：， 此时M，N分别为椭圆的左、右顶点，不妨设，， 要使是以为底边的等腰直角三角形，则， ，，，满足题意； 当直线的斜率存在且不为时，设：， 由，得， ，， ， 设的垂直平分线方程为， 由，得， 是以为底边的等腰直角三角形， ， ， 化简得，，或(舍)，：， 综上，直线的方程为或. 19. 若为等差数列，为等比数列，． （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和． （3）记的前项和为，且满足对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.，， ，分别利用“ ”法和“ ”法求解. （2）由（1）知当n为奇数时，， 当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可. (3)把恒成立转化为求最大值问题,作差比较大小,应用单调求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 因为，， 所以， 解得d=1. 所以的通项公式为. 由， 又，得， 解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有， ① 由①得 ② 由①②得， ， ， 所以. 所以. 所以数列的前2n项和为. 【小问3详解】 因为,且, 而,故 即,可得,对于恒成立 令, 当时, ,即,所以, 当时, ,即 所以,所以 20. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点； （i）求的取值范围； （ii）不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）结合给定函数并求导，再利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）（i）结合题意求导后，转化为二次函数问题，再根据判别式得到参数范围即可； （ii）先用分离参数法得到，再结合给定条件消去变量，构造新函数，利用导数判断单调性，即可得到的范围，再求参数范围即可. 【小问1详解】 当时，，故. 故，又，则切点为， 故函数图象在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）， 因为函数在上有两个极值点， 所以需满足在上有两个不等的根， 由得， 则，故此时解得； （ii）由韦达定理结合求根公式得， 则可得到， 由不等式恒成立，则， 因为是的极值点，所以，即， 而， 因为，所以原式， ， ， 令，则， 因为， 又.所以，即时，单调递减， 所以，即， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题. （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $