精品解析：云南宣威市第一中学2025-2026学年上学期期中考试高三年级数学试卷

2025-2026学年上学期期中考试试卷 高三年级数学 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 2. 已知集合则= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10. 即B＝{1,4,7,10}． 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. 3. 已知，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A：可得在时单调递减；对B：的定义域为，故为非奇非偶函数；对C：结合偶函数定义与单调性定义判定即可得；对D：可得不是偶函数. 【详解】对A：当时，单调递减，故A错误； 对B： 的定义域为，故为非奇非偶函数，故B错误； 对C：是定义域为的偶函数，且当时，， 即在上单调递增，故C正确； 对D：的定义域为，但， 故不是偶函数，故D错误. 故选：C. 5. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围. 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 7. 已知向量若则（     ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直关系可以得到数量积等于0，算出，再利用模的坐标公式进行求解，即可得到答案 【详解】由已知，因为，所以，，所以． 故选C． 8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数恰有两个零点，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分段函数解析作出图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】的大致图象如图所示： 由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误； 在定义域内不单调，故B错误； 若，则或，即不等式的解集为，故C正确； 令，则， 原题意等价于与有2个交点，则， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：CD. 10. 设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. 当时， B. C. 当时，为等差数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等比数列的前n项积为，结合已知等式可得的值，利用等比数列通项公式、等比数列的性质、等差数列的定义、基本不等式逐项判断即可得结论. 【详解】公比为q的等比数列的前n项积为， 由可得，则，故B正确； 当时，，所以，故或，故A不正确； ， 当时，，则不为常数，故不为等差数列，故C不正确； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项. 【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数， 令，则恒成立， 所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D， 当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是偶函数，则的最小正值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数定义及正弦函数性质可得当时，，则，.给赋值，即可求得的最小正值. 【详解】由于是偶函数，所以，， 故，，所以当时，取最小正值，最小正值为． 故答案为：. 13. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简，结合已知可得，求解即可. 【详解】， 因为为实数，所以，解得. 故答案为：. 14. ，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知变形得，令，则，利用导数法并利用分离参数得对于恒成立，最后利用反比例函数的性质求解最值即可得解. 【详解】不妨设，则， 由可得，所以， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 因为在上单调递减，所以. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值. 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解. （2）利用换元法，令，将转化为二次函数 再求解. 【详解】（1）因为 所以 解得或 所以函数的定义域为 （2）令 可转化为 当 即时， 即的最大值为，无最小值. 【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16. 某种昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：）有关；科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度 8 10 11 12 14 产卵数 6 11 14 经计算得产卵数y与温度的相关系数，可以判断产卵数y与温度线性相关性很强，又进一步通过最小二乘法求得关于的线性回归方程是 （1）已知，分别求样本数据中温度及产卵数的方差； （2）若，分别求的值. 附：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；（2）求出，样本中心代入方程进而得到，得到联立解题. 【小问1详解】 ， ， 又由，得：， 解得：. 【小问2详解】 , 由得：①. 又由得. 即：②. 联立①，②得： 17. 在中，角对应的三边分别是，且 （1）求角的值; （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，即可得解； （2）根据可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得边长即求出面积. 【小问1详解】 根据题意由正弦定理可得， 整理可得， 即， 所以， 可得，又，所以， 又，因此； 【小问2详解】 由（1）得， 由可得，解得或， 当时，， 又，所以两角均为钝角，不合题意， 因此，， 又，可得，同理， 由正弦定理可得， 可得，， 因此的面积为. 18. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1， AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解． 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE. (2)＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)， 则,即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)． 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量． 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝， 故二面角B1－CE－C1的正弦值为. (3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)， ∴AM＝. 19. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，C在点A，B处的切线交于点P，且当时，. （1）求C的方程； （2）记直线PA，PB，PQ的斜率分别为，，，证明：； （3）设直线PA，PB与x轴的交点分别为M，N，若四边形ABNM的面积是28，求k的值. 【答案】（1） （2）证明：联立消y整理得， 所以， 设，，则，， 由，得， 所以， 且C在点A处的切线方程为， 即，化简整理得， 同理可得C在点B处的切线方程为， 联立，解得， 所以， 又，所以， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）写出准线方程，根据焦半径公式得到； （2）联立直线方程与抛物线方程，消去得关于的一元二次方程，利用韦达定理得与的值，设出，，写出C在点A，B处的切线方程，联立得，整理即可得证； （3）由（2）写出四边形的面积并整理化简，运用换元法求导可得参数的值. 【小问1详解】 因为C的准线方程为， 点A在C上，且当时，， 所以，解得， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 令，得，同理得， 不妨设点A在y轴右侧，则，，且，， 所以四边形ABNM的面积 ， 由，得， 即， 令，则上式等价于，， 令，， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，所以当且仅当， 即时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期中考试试卷 高三年级数学 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合则= A. B. C. D. 3. 已知，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知向量若则（     ） A. B. C. 2 D. 4 8. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. 不等式的解集为 D. 若函数恰有两个零点，则的取值范围为 10. 设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（ ） A. 当时， B. C. 当时，为等差数列 D. 11. 如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是偶函数，则的最小正值为______． 13. 已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________. 14. ，，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______． 四、解答题 15. 已知函数定义域为. （1）求定义域； （2）当时，求的最值及相应的的值. 16. 某种昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：）有关；科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度 8 10 11 12 14 产卵数 6 11 14 经计算得产卵数y与温度的相关系数，可以判断产卵数y与温度线性相关性很强，又进一步通过最小二乘法求得关于的线性回归方程是 （1）已知，分别求样本数据中温度及产卵数的方差； （2）若，分别求的值. 附：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为. 17. 在中，角对应的三边分别是，且 （1）求角的值; （2）若，求的面积. 18. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1， AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 19. 已知抛物线的焦点为F，直线与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，C在点A，B处的切线交于点P，且当时，. （1）求C的方程； （2）记直线PA，PB，PQ的斜率分别为，，，证明：； （3）设直线PA，PB与x轴的交点分别为M，N，若四边形ABNM的面积是28，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $