精品解析：四川省成都市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二期末试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（ ） A. 选择足球的女生比选择篮球的女生多 B. 选择篮球的女生比选择足球的男生多 C. 选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D. 选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 4. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，则的横坐标为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件互为对立 C. 事件与事件相互独立 D. 6. 已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在正四面体中，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 掷一枚质地均匀的骰子次，得到一组样本数据：，则（ ） A. 众数可能为 B. 极差可能为 C. 若，则方差为 D. 第百分位数恒为 10. 在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点分别是直线与轴的交点，则（ ） A. 面积的最小值为1 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则 D. 的取值范围为 11. 如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ） A. 过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B. 存在实数，使得直线与平面垂直 C. 直线平面，则 D. 点到直线的距离的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 13. 已知圆与圆外切，则______． 14. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过两点． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程． 16. 为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． （1）求的值： （2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （3）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 17. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，，将沿翻折至． （1）设，三棱锥的各个顶点都在球的表面上． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）求球的半径； （2）求平面与平面夹角的最大值． 19. 已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． （1）证明：点在直线上； （2）若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末试卷 数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将一般方程化为斜截式方程，得出斜率即可得出倾斜角. 【详解】直线可化为，则斜率，即 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据方程求直线的倾斜角，属于基础题. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线方程求渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故选：D． 3. 为了加强学生身体素质，一学校拟开展篮球、乒乓球、足球三个项目的体育活动．经调查得知全年级有1000人参与该活动，且选择这三个活动项目的学生占比的饼状图如图①所示，各项目中男女生占比的条形图如图②所示，则下列结论正确的是（ ） A. 选择足球的女生比选择篮球的女生多 B. 选择篮球的女生比选择足球的男生多 C. 选择足球的男生和选择乒乓球的男生一样多 D. 选择乒乓球的同学比选择篮球的男生多 【答案】C 【解析】 【分析】从饼图中算出各项目的总人数，再结合条形图中的男女比例，分别计算每个选项中的具体人数，从而判断对错. 【详解】全年级有1000人参与该活动，由饼状图可知： 选择篮球的学生有： 人， 选择乒乓球的学生有： 人， 选择足球的学生有： 人， 由条形图可知： 选择篮球的学生中，女生 人，男生 人， 选择乒乓球的学生中，女生 人，男生 人， 选择足球的学生中，女生 人，男生 人. 故选：C． 4. 已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，则的横坐标为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义直接计算即可． 【详解】解：设的横坐标为， ，解得， 的横坐标为， 故选：B． 5. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件互为对立 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出相关事件，结合独立事件概率乘法公式即可判断． 【详解】事件正,正正,反，事件正,正反,正， 事件正,正反,反，事件正,正， ， ， 事件与事件相互独立． 故选：C． 6. 已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，由，然后根据题意分析最小值的位置即可得出结论. 【详解】如图所示： 由 ， 由题意知， 所以， 由图可知当为椭圆短轴的顶点时， 取最小值，所以的最小值为． 故选：B． 7. 在正四面体中，点分别是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 8. 已知双曲线的中心为点，一个焦点为．点在双曲线上，点在以为直径的圆上，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位线性质以及圆上点到定点距离最值问题，结合双曲线定义可得，即可求得离心率. 【详解】不妨设双曲线的左、右焦点分别为的中点为，连接，如下图所示： 由的最小值为可得，因此 因为分别为的中点，所以，因此， 即，得， 所以离心率. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 掷一枚质地均匀的骰子次，得到一组样本数据：，则（ ） A. 众数可能为 B. 极差可能为 C. 若，则方差为 D. 第百分位数恒为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据众数的定义判断选项A，利用极差的定义分析得出选项B，先求平均数再求方差即可得出选项C，先排序根据计算百分位数的方法分析得出选项D. 【详解】由题意知， 由样本数据可以得出众数可能是，故A选项正确； 由样本数据可知，极差大于等于，故B错误； 当时，样本数据为， 此时平均数为， 所以方差为： ， 故C正确， 计算， 则该组样本数据的第百分位数为从小到大排序后第二个数， 若，则样本数据排序为， 则第百分位数为， 若，则样本数据排序为或或 或，不管怎么排序，第二个数均为， 则第百分位数为， 综上所述第百分位数恒为，故D选项正确， 故选：ACD． 10. 在平面直角坐标系中，点是曲线上一动点，点分别是直线与轴的交点，则（ ） A. 面积的最小值为1 B. 的最大值为 C. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定曲线的图形，再求出两点坐标，然后根据直线与圆的位置关系、三角形面积公式、向量数量积公式等逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：等价于，即曲线为单位圆的上半圆（包括端点）， 当点为时，的最小值为，故A正确； 选项B：取最大值时，与曲线相切， 设直线 的斜率为 ，方程为 ， 圆心到直线的距离 ，解得 . 此时，又的最大值为，故B正确； 选项C：直线与曲线有且只有一个交点时， 直线与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，解得 （ 舍去） 直线过点 时 ，过点 时 ， 直线与半圆只有一个公共点时，，故C错误； 选项D：设点（），则 ，， 因为 ，所以 ， 代入得 即 ，故D正确； 故选：ABD． 11. 如图，在长方体中，，，若是的中点．则（ ） A. 过三点作长方体的截面，则截面为菱形 B. 存在实数，使得直线与平面垂直 C. 直线平面，则 D. 点到直线的距离的范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合面面平行的性质分析判断；对于C：连接交于点，根据平面的性质可知，结合几何性质分析判断；对于BD：建系并标点，利用空间向量结合垂直关系判断B；利用空间向量求点到直线的距离，进而判断D. 【详解】对于选项A：因为平面与平面平行， 则平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 取的中点，连接，则四边形为平行四边形， 又因为， 所以截面为菱形，故A正确； 对于选项C：连接交于点，连接， 因为平面平面，则， 可知，则， 所以，故C正确； 对于选项BC：以为坐标原点，所在直线分别为轴建系， 则，，， 可得， 若直线与平面垂直，则，解得， 所以存在实数，使得直线与平面垂直，故B正确； 因为， 则， 又因为，则，，可得，故D错误； 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由空间两向量平行坐标表示得出，再利用模的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知圆与圆外切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先找出两个圆的圆心和半径，根据两个圆的位置关系建立方程解出即可. 【详解】设圆，圆， 则圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 圆心距为， 由圆与圆外切，则 即，由，解得， 故答案为：． 14. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，若该椭圆与该双曲线的四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据焦点相同可得，再由椭圆以及双曲线对称性代入交点坐标，联立方程即可得结果. 【详解】由题知其焦点均在轴上，又因为焦点相同，即， 因为四个公共点恰好是一个正方形的四个顶点，利用椭圆以及双曲线对称性可知四个交点均在直线上， 不妨设第一象限的公共点为，则有且， 消去得，即， 解得， 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过两点． （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心为，又圆经过两点，由圆心到两点的距离相等且为圆的半径建立方程解出，然后求出圆心和半径即可； （2）①当直线的斜率不存在时，求出直线方程联立直线与圆方程解出相关的值，分析得出结论，②当直线的斜率存在时，设为，利用几何法建立弦长、半径、点到直线距离关系式，再结合点到直线距离公式，得出相应的等式解出直线的斜率即可. 【小问1详解】 因为圆心在直线上，所以设圆心为， 又因为圆经过两点， 所以圆心到两点的距离相等且为圆的半径， 即， 解得，所以圆的圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时， 直线为，代入圆中： 解得：或， 此时，满足题意； ②当直线的斜率存在时， 设为：即， 因为， 所以圆心到直线的距离为： ， 又圆心到直线的距离， 所以，即，解得， 此时直线为， 综上所述：直线为或． 16. 为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图． （1）求的值： （2）求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （3）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率． 【答案】（1） （2）中位数为，平均数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中的频率和为1求解即可； （2）先根据图求出每个区间的频率，分析出中位数所在的区间，设为，建立方程解出即可，然后根据频率分布直方图的平均数计算方法求解即可； （3）先利用分层抽样方法在区间，分别抽取相应的人数，按照选取办法写出样本空间和满足条件的样本，然后根据古典概型概率求解即可. 【小问1详解】 由， 解得. 【小问2详解】 由图可知，成绩在区间的频率分别为， 因为， 所以中位数位于区间内，设中位数为， 则有，解得中位数分， 这500名同学数学成绩的平均数为： 分； 【小问3详解】 由区间的人数为：人 区间的人数为：人 人数比为，所以在区间应抽取2人，设为， 在区间应抽取4人，设为， 设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”， 由样本空间， ，得， 由事件，得， 所以． 17. 在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，且该平面上的动点满足：，设点的轨迹为． （1）求的标准方程； （2）若直线交轨迹于两点，且的面积为1，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出的标准方程. （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求出三角形面积关系，再解方程即得. 【小问1详解】 由，知， 因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆， 即，即，又，则， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 不妨设两点的坐标分别为， 由消去得， ，得， ， ， 又原点到直线距离， 因此， 解得，所以. 18. 如图，在平行四边形中，，将沿翻折至． （1）设，三棱锥的各个顶点都在球的表面上． （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）求球的半径； （2）求平面与平面夹角的最大值． 【答案】（1） （ⅰ）， 又，且平面， 平面，又平面，平面平面； （ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）要证明面面垂直，需要证明线面垂直，即证明平面；（ii）根据垂直关系确定为外接球的直径，进而可求得球的半径. （2）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面与平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面夹角的表达式，进而确定最值. 【小问1详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知平面平面，， 又在平行四边形中，，， 翻折后垂直关系不改变，， 又平面平面，平面平面，平面， 又平面，， 结合可得为外接球的直径， 又，外接球的半径为. 【小问2详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 由及，可得， 不妨令， 则，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 设平面的一个法向量为，则 取，得，， 设平面与平面的夹角为，则， 又，即， 平面与平面夹角的最大值为． 19. 已知直线与抛物线交于两点，不同于的直线与交于两点，设直线与的交点为． （1）证明：点在直线上； （2）若的中点为． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】（1） 与的交点为， 由得 点在直线上； （2）（ⅰ）0；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据两直线方程求得其交点坐标为，即可得出结论； （2）（ⅰ）设，利用分别求得的坐标为，再结合韦达定理即可求得斜率为0； （ⅱ）利用中位线性质以及三角形相似可得四边形的面积为，求出其面积表达式再由二次函数性质即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）不妨设，由（1）知点的坐标为，如下图所示： 又，即为的中点，点的坐标为， 又点在曲线上，， 整理得， 同理可得， 是关于的方程的两根， ， 又， 点的坐标为，即， 直线的斜率； （ⅱ）设四边形的面积为， 为的中点，为的中点，， 又由（ⅰ）知：直线平行于轴或与轴重合， ， 又，， ， 可得四边形面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $