精品解析：山东淄博市2025-2026学年度八年级第一学期期末教学质量检测 数学试题 （五四学制）

2025~2026学年度八年级第一学期期末教学质量检测 数 学 试 题 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷 规定位置，并核对条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改. 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记. 5.评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意. 1. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各组代数式中，没有公因式的是( ) A. ax+y和x+y B. 2x和4y C. a-b和b-a D. -x2+xy和y-x 【答案】A 【解析】 【分析】找公因式即一要找系数的最大公约数，二要找相同字母或相同因式的最低次幂． 【详解】A．两个没有公因式，正确； B．显然有系数的最大公约数是2，故错误； C．只需把b﹣a=﹣（a﹣b），两个代数式有公因式，故错误； D．﹣x2+xy=x（y﹣x），显然有公因式y﹣x，故错误． 故选A． 【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 3. 如图，长方形花园中，，花园中建有两条任何地方的水平宽度都一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，代数式表示，解题的关键在于将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积． 结合图形将不规则图形面积经过平移形成规则图形面积，再结合长方形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：长方形花园中，， 将可绿化部分平移到一起， 可得绿化部分的面积为， 故选：C． 4. 若a，b，c为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，等腰三角形的定义，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：且， ∴， ∴此三角形的形状为等腰三角形； 故选B． 5. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次进行证明即可． 【详解】解：，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， 故B符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能证明与相等，可与相等， 不能证明与平行， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 6. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. （0， 1） B. （1， -1） C. （0， -1） D. （1， 0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：由图形可知， 对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心． 故旋转中心坐标是P（1，-1） 故选B． 8. 关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求出的值，即可得到答案． 【详解】解：原分式方程可化为：， 两边同时乘以， 得：， 整理得：， 分式方程无解，， 故①整式方程无解，即， ； ②分式方程有增根，即， 把或分别代入， 解得或， 故m的值为或或， 故选C． 9. 如图，是等腰直角三角形，是过点C的直线，，，则与通过下列交换：①绕点C旋转后重合：②沿的中垂线翻折后重合：③沿方向平移后与重合：④绕中点M逆时针旋转90度，则与重合；⑤先沿方向平移，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则与重合．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转与平移的性质及轴对称．掌握无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的是解题的关键．根据全等三角形的判定定理得到，则，，连接，根据等腰直角三角形的性质得出； 结合平移与旋转的性质进行判断即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，是过点C的直线，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 连接， ∵是等腰直角三角形，为的中点， ∴； ①绕点C旋转后与不能重合，故①错误； ②沿的中垂线翻折后无法使与重合，故②错误； ③沿方向平移后不能与重合，故③错误； ④绕中点M逆时针旋转90度，则与重合，故④正确； ⑤先沿方向平移，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则与重合，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个，故B正确． 故选：B． 10. 如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由旋转的性质可得，，可判断②；结合可得，即，运用可证明，即可判断①；再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，由勾股定理可判断③错误、④正确． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴，，，即②正确； ∵， ∴，即， ∴，即①正确； ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即：，即③错误，④正确． 综上，正确的为①②④． 故选B． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形是_______边形． 【答案】九 【解析】 【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1260度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）•180=360×3+180， 解得：n=9． 故答案为：九． 【点睛】考查了多边形内角与外角，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程，然后将分式方程的增根代入求解即可． 【详解】解：关于的分式方程有增根， 解得， 分式方程有增根， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 15. 如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 三、解答题：本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据同分母分式加减运算计算，再约分即可； （2）根据异分母分式的加减运算法则先算括号，再算乘除即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在四边形中，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 18. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 【答案】（1）A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个 （2）最多可购进A型玩具25个 【解析】 【分析】（1）设型玩具的单价为元/件．依题意列出分式方程，进行求解； （2）根据题意列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 设型玩具的单价为元/件． 由题意得：， 解得： 经检验，是原方程的解 B型玩具的单价为元/个 ∴A型，B型玩具的单价分别是10元/个，15元/个． 【小问2详解】 设购进A型玩具个． 解得： ∴最多可购进A型玩具25个． 【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程或不等式． 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； （2） 解：如图，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于点O的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B绕点C顺时针旋转的对应点、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 【解析】 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； 【小问2详解】 略 21. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，求四边形EFGH的周长. 【答案】11． 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FGAD，EF＝GHBC，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC5． ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH＝FGAD，EF＝GHBC，∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC． 又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 22. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度； （2）补全学生心率频数分布直方图； （3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？ 【答案】（1）69，74，54； （2） 补全学生心率频数分布直方图如下： （3）大约有1725名学生达到适宜心率． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中B组所对应的扇形圆心角； （2）根据样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 将A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74， ∴中位数为； ∵74出现的次数最多， ∴众数是74； ， ∴在统计图中B组所对应的扇形圆心角是； 故答案为：69，74，54； 【小问2详解】 ∴C组的人数为30； 【小问3详解】 （人）， ∴大约有1725名学生达到适宜心率． 【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键． 23. 如图，已知，点在上，连接并延长交于点． （1）测量并猜想：线段与的数量关系为 ； （2）测量并探究：若将图中的绕点顺时针旋转，当小于时，得到图，连接并延长交于点，则（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：成立，理由如下： 延长到点，并使，连接，如图，设延长线交于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为． 【解析】 【分析】（）延长到点，并使，连接，证明，进而得到为等腰三角形，即可证明； （）延长到点，并使，连接，，同理（）证明即可求证； 本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：延长到点，并使，连接，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的数量关系为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度八年级第一学期期末教学质量检测 数 学 试 题 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷 规定位置，并核对条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案.严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改. 4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记. 5.评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意. 1. 数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. ①勾股树 B. ②分形树 C. ③谢尔宾斯基三角形 D. ④雪花 2. 下列各组代数式中，没有公因式的是( ) A. ax+y和x+y B. 2x和4y C. a-b和b-a D. -x2+xy和y-x 3. 如图，长方形花园中，，花园中建有两条任何地方的水平宽度都一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若a，b，c为三角形的三边，且满足分式的值为0，则此三角形的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 5. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ） A. （0， 1） B. （1， -1） C. （0， -1） D. （1， 0） 8. 关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或或 D. 或 9. 如图，是等腰直角三角形，是过点C的直线，，，则与通过下列交换：①绕点C旋转后重合：②沿的中垂线翻折后重合：③沿方向平移后与重合：④绕中点M逆时针旋转90度，则与重合；⑤先沿方向平移，使点E与点D重合后，再将平移后的三角形绕点D逆时针旋转90度，则与重合．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 因式分解：___________． 12. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍还多180°，那么这个多边形是_______边形． 13. 若关于的分式方程有增根，则的值是_______________． 14. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 15. 如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点______． 三、解答题：本题共8小题，共90分，请把解答过程写在答题纸上． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，于点，于点．若，求的度数． 18. “六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍． （1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？ （2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？ 19. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出关于点成中心对称的； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后的． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． （1）直接写出点A、点B的坐标； （2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 21. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，求四边形EFGH的周长. 22. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研究体育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟）分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中，A组数据为73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）A组数据的中位数是_______，众数是_______；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是_______度； （2）补全学生心率频数分布直方图； （3）一般运动的适宜行为为（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科项目研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？ 23. 如图，已知，点在上，连接并延长交于点． （1）测量并猜想：线段与的数量关系为 ； （2）测量并探究：若将图中的绕点顺时针旋转，当小于时，得到图，连接并延长交于点，则（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $