精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026届高三上学期模拟练习数学试题

方城县第一高级中学2026届高三上学期数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式得集合，求函数定义域得集合，然后根据交集的定义求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：C. 2. 已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算整理可得，即可得虚部. 【详解】因为，可得，即， 则， 所以z的虚部为. 故选：C． 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 1010 D. 2010 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得结果. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，切化弦并结合二倍角的正弦公式求出，再利用同角公式及和角的正弦公式求解. 【详解】依题意，，解得， 由，得，则， 所以． 故选：B 5. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合模长关系可得，结合题意可得，进而可求模长. 【详解】因为，且， 则， 即，可得， 又因为，则 则， 所以. 故选：C. 6. 已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四棱台为正四棱台，外接球球心在上下底面的中心连线上，建立空间直角坐标系，利用球心到点和点距离相等，求出球心坐标和球的半径，可得球的表面积. 【详解】正四棱柱底面，故底面积为，体积为128，得高， 以为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 与相交于点，有，与相交于点，有， 由，得为靠近的四等分点，有， 同理，有，，， 下底面是边长为8的正方形，中心， 上底面是边长为2的正方形，中心， 中心连线垂直于底面，故四棱台为正四棱台。 四棱台的外接球球心在直线上，设球心坐标为， 由球心到和距离相等， 有，解得， 外接球半径的平方，表面积. 故选：D. 7. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出目标值. 【详解】依题意，， 令函数，，即函数是奇函数， 则，因此函数是奇函数，函数图象对称中心为， 而，则函数在上的图象关于点成中心对称， 由函数在上的最大值和最小值分别为，得. 故选：D 8. 已知a，，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 9 C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表： PM2.5 64 16 10 10 经计算，则可以推断出（ ） 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64 B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化 C. 有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关 D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，根据表格，进行数据分析，直接求概率； 对于B，C，D选项，进行独立性检验，计算后对照参数下结论. 【详解】解：补充完整列联表如下： PM2.5 合计 64 16 80 10 10 20 合计 74 26 100 对于A选项，该市一天中，空气中PM2.5浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值为，故A正确； 对于B选项，，故B不正确； 因为，根据临界值表可知，在犯错的概率不超过的条件下， 即有超过的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关，故C正确，D错误. 故选：AC. 10. 如图，棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 直线平面 C. D. 过、、三点的平面截正方体的截面面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，通过平面得到，同理得到，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证；对于B，求出平面的一个法向量的坐标，利用法向量与向量的数量积是否为来判断即可证明；对于C，正四面体中，求出高，近一步即可求出；对于D，首先得到截面图象，求出面积即可. 【详解】对于A，连接，    在正方体中，平面，平面，则， 又在正方形中，， 因为，、平面，所以平面， 又平面　所以，同理可证：， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，可得， 所以，故与平面不平行，B错； 对于C，点到平面的距离为， 易知是边长为的等边三角形，故， 故三棱锥的体积，C对； 对于D，因为、分别为、的中点，所以， 又因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，故梯形即为所求截面， 易知点、，，， 所以点到直线的距离为， 又因为，， 故梯形的面积为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断四边形为平行四边形，结合对角线相等可得四边形为矩形，可判断A；根据点到直线距离公式可判断B；利用双曲线定义求出内切圆的圆心横坐标可判断C；假设点关于点对称的点在上，导出矛盾可判断D. 【详解】由双曲线可得，，， 对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，由题意知的渐近线方程为， 则右顶点到直线的距离为，故B错误； 对于C，如图所示， 设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，， ，由，可得， 即，所以，又， 所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确； 对于D，假设点关于点对称的点在上， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，则， 由，两式相减得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾， 即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设可得线段中垂线方程为，联立已知直线求圆心坐标，进而得半径，即可得圆的方程. 【详解】由题设，且中点为，故线段中垂线方程为， 由题意知，圆心也在上，联立，可得圆心为， 所以半径，故圆的方程为. 故答案为： 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出. 【详解】设，由题意得， 即， 在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下： 当直线经过圆心时，； 当直线与半圆相切时， 则圆心到直线的距离：， 解得（舍去），故. 因为，所以， 所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以， 综上所述，的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案； （2）将不等式转化为，分，，三种情况讨论求解. 【小问1详解】 因为的解集为， 若，得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 【小问2详解】 由不等式，化简得， 即，其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 17. 已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①，函数的图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件②，函数在区间内无极值点，且，恒成立． （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简函数解析式，若选择①，由对称得到方程，接着结合题设和正弦函数性质得到不等式，由所得方程和不等式即可分析计算求解；若选择②，由题设即可得到函数周期，由周期公式即可求解； （2）先解不等式得到， 再结合即可分析计算求解. 【小问1详解】 函数， 若选择①，因为函数的图象关于对称， 所以，解得， 因为，所以， 若函数在区间有且只有一个最大值和一个最小值， 则，解得，即，则有， 又，所以，所以，函数存在且唯一确定， 若选择②，设函数的最小正周期为， 因为在区间内无极值点，且，， 所以，即，，所以函数存在且唯一确定， 综上，函数存在且唯一确定，； 【小问2详解】 由（1）得， 所以不等式，即， 所以，即， 因为，， 则当时，，即， 所以要使得不等式在区间内有解，则， 所以实数的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程，求得，再由，化简，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的离心率为，且经过点， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：设的坐标分别为，直线的方程为， 联立方程，消去后整理为， 则有， 由，令，解得，即点， 则 ， 所以的值为. 19. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 【答案】（1）极大值，无极小值； （2）证明如下： 不等式， 令函数，依题意，， 求导得，令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，所以对任意的. （3）证明如下： 函数定义域为R，求导得， 由，即，得，函数有唯一零点， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 函数在处取得最大值，且当时，；当时，， 由函数有且仅有一个零点，得，即， 消去得，令函数，显然函数在R上单调递增， 而，则，， 又函数在上单调递增，因此， 方程中，， 所以方程 无实数根. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出最小值即可推理得证. （3）利用导数，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三上学期数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设集合 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 1010 D. 2010 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量均为单位向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5 6. 已知正四棱柱的体积为128，，，相交于点，分别为上的点，，则四棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知a，，且，则的最小值是（ ） A. 6 B. 9 C. 13 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某市为了研究该市空气中的PM2.5浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表： PM2.5 64 16 10 10 经计算，则可以推断出（ ） 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率估计值是0.64 B. 若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化 C. 有超过99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度有关 D. 在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中PM2.5浓度与浓度无关 10. 如图，棱长为的正方体中，点、分别是棱、的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 直线平面 C. D. 过、、三点的平面截正方体的截面面积为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的方程为__________. 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 16. 如图，在四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定． 条件①，函数的图象关于对称，且在区间有且只有一个最大值和一个最小值； 条件②，函数在区间内无极值点，且，恒成立． （1）求的值； （2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的值. 19. 已知函数. （1）求函数的极值; （2）证明：对任意的； （3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $