安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学12.26周测试题

2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 2025年12月26日周末数学作业 解析版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.若点在圆：外，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 5.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.设是等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列给出的命题为真命题的是(    ) A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若，，，四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为 10.已知数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. B. 为中的最大项 C. D. 11.设是公比为的无穷等比数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. 对任意正整数，数列，，是等比数列 B. 对任意正整数， C. 若，，则 D. 若，且，，成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为          ． 13.已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是          ． 14.记球为体积为的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为          ． 4、 解答题 15.已知的三个顶点的坐标分别为，，． 求直线的方程； 求边上的高所在直线的方程． 16.已知等差数列的前项和为，且，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 17.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为的等边三角形，，． Ⅰ求证：底面； Ⅱ求直线与平面所成角的大小； Ⅲ在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 18.已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 证明：数列是等比数列； 设，数列的前项和； 求； 若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 19.已知抛物线的准线过椭圆：的左焦点，且椭圆的上顶点与两个焦点构成一个正三角形． 求椭圆的方程； 直线交椭圆于，两点，点在线段上移动，连接交椭圆于，两点，过作的垂线交轴于，求面积的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月26日周末数学作业 解析版 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了直线的方向向量、直线的倾斜角等知识，属于基础题． 根据直线的方向向量写出倾斜角的正切值，进而求出倾斜角的值． 【解答】 解：直线的方向向量是， 直线的倾斜角的正切值为，又 则直线的倾斜角为． 故选C． 2.已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B  【解析】解：若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，． 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件． 故选：． 3.若点在圆：外，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题． 结合点在圆外的代数关系式与圆的一般方程的定义即可． 【解答】 解：由于点在圆：外， 有，解得， 即的取值范围是． 故选：． 4.已知数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了递推公式和数列的周期性，属于基础题． 由题意可得该数列是周期为的数列，即可得结果． 【解答】 解：，， ，， ，， 所以为周期数列，其周期为， 又， ． 故选：． 5.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 由等差数列的性质和求和公式可得原式，代值计算可得． 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 【解答】 解：由等差数列的性质和求和公式可得： ． 故选：． 6.设是等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查等比数列的前项和公式，属于中档题． 设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果． 【解答】 解：设等比数列的公比为， 若，则，矛盾． 所以，，故，则， 所以，， ， 因此，． 故选：． 7.如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质，属于中档题． 设，，根据双曲线的定义算出，，在中，可用勾股定理得相应关系，即可得答案． 【解答】 解：：：：：， 设，，则，， 根据双曲线的定义，得， 即， 解得，， 即，， ：：：：，得是以为直角的直角三角形， 中，， 则有， 可得，即， 因此，该双曲线的离心率． 故选：． 8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 由题知，， 设，，与圆分别切于点，，，，， 则， 又， 因为，则， 所以， 由切线性质可知，，， 所以 ， 所以， 又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列给出的命题为真命题的是(    ) A. 若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若，，，四点共面，为该平面外一点，且，则 C. 若平面的法向量，直线的方向向量为，则直线在平面内 D. 若空间向量，，满足，，则空间向量在方向上的投影向量的模长为 【答案】ABD  【解析】解：对于，由为空间的一组基底， 可知，，不共面， 而，在，确定的平面内， 所以，也与不共面， 即也是空间的一组基底，故A正确； 对于，由，，，四点共面，为该平面外一点， 且， 可得，则，故B正确； 对于，由， 所以， 故或，故C错误； 对于，由，， 可得在方向上的投影向量的模长为 ，故D正确． 故选：． 10.已知数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. B. 为中的最大项 C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查由求，等差数列求和、等差数列的前项和的最值问题，属于中档题． 【解答】 解：对于：当时，；当时， 经检验当时，，故，A正确； 对于：令故当时，，故为中的最大项，B错误； 对于：，C正确； 对于： ，D错误． 11.设是公比为的无穷等比数列的前项和，则下列说法正确的是(    ) A. 对任意正整数，数列，，是等比数列 B. 对任意正整数， C. 若，，则 D. 若，且，，成等差数列，则 【答案】BD  【解析】解：对于，当为偶数，且时，，，， 数列，，不是等比数列，故A错误； 对于，，故B正确； 对于，若，则，与矛盾，故，所以， 所以，又因为，所以，所以，则，故C错误； 对于，因为，，成等差数列，，所以， 因为，所以， 又，所以，，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量的夹角，向量共线定理，以及向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 由的夹角为锐角，可得，且不能同向共线，求解即可得出答案． 【解答】 解：由题意知，， 的夹角为锐角， ，且不能同向共线， 解得，． 则的取值范围为． 故答案为． 13.已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是          ． 【答案】相离  【解析】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由两圆存在四条切线，故两圆外离， 则， 即，即或， 可得或， 则， 因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离． 故答案为：相离． 14.记球为体积为的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】解：由题意，得正方体的棱长为，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，令，可得， 故点到平面的距离为， 故圆的半径， 由得，， 故， 故的最小值为． 故答案为：． 4、 解答题 15.已知的三个顶点的坐标分别为，，． 求直线的方程； 求边上的高所在直线的方程． 【答案】解：，，， 可得， 所以直线的方程为，即； ，可得边上的高的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为， 即．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.已知等差数列的前项和为，且，． 求的通项公式； 设，求数列的前项和． 【答案】解：设等差数列的公差为， 又因为，， 所以，解得， 所以． 由知，，所以， 当时，，所以； 当时，，， 所以当时，， 当时，． 综上，数列的前项和．  【解析】由等差数列及其前项和的基本量的计算求出，即可得解； 分和两种情况讨论即可求解． 本题考查等差数列基本量的计算，含绝对值的数列的求和，属于中档题． 17.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为的等边三角形，，． Ⅰ求证：底面； Ⅱ求直线与平面所成角的大小； Ⅲ在线段上是否存在一点，使得平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】Ⅰ证明：四边形是菱形， 为中点 又， ， 又，、平面 底面 Ⅱ解：由底面是菱形可得，又由Ⅰ可知． 建立如图所示的空间直角坐标系． 由是边长为的等边三角形，，可得． 所以 ． 由已知可得， 设平面的法向量为， 由，可得 令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 又， ． 直线与平面所成角的大小为． Ⅲ解：假设存在点满足条件，且， 则． 若使平面，需且仅需且平面， 由，解得符合题意． 在线段上存在一点，使得平面，且   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 证明：数列是等比数列； 设，数列的前项和； 求； 若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为，公比为的等比数列． 由可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． 因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，， 因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.已知抛物线的准线过椭圆：的左焦点，且椭圆的上顶点与两个焦点构成一个正三角形． 求椭圆的方程； 直线交椭圆于，两点，点在线段上移动，连接交椭圆于，两点，过作的垂线交轴于，求面积的最小值． 【答案】解：由题知抛物线的准线为，， 因为椭圆的一个短轴端点与两个焦点构成一个正三角形， ， 故椭圆的标准方程为：； 由得椭圆的方程为， 的垂线交轴于，的斜率存在， 连接交椭圆于两点，的斜率不为， 不妨设， 因为与椭圆的交点为，所以 则， 联立，即， ， ， 设，，， 解得：， 到直线的距离为：， ， 因为，所以， 因为函数在上是增函数， 所以的最小值为， 因此，当时，面积的最小值为．   【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆中的三角形面积，属于较难题． 根据抛物线的准线求得椭圆的焦点，根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得，即可得椭圆方程； 根据题意可判断直线斜率存在且不为，设直线方程与椭圆联立求得，根据设出点坐标，用斜率公式求得坐标，再用点到直线的公式求得三角形高，用面积公式将面积写出，分离常数，变为积为定值的形式，再用的单调性计算即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $