四川广安市育才学校等校2025-2026学年高二上学期期末综合能力调查数学试题

问卷启封前按机密事项保管 SC 字节精准教育联盟·AI赋能 2025~2026学年度上期期末综合能力调查 高二·数学 考生注意： 1. 本问卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，测试时间120分钟。 2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡内项目填写清楚。 3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在问卷、草稿纸上作答无效。 4. 考试结束后，请将问卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．135° 2．双曲线的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 3．圆 与圆 的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．内切 D．外切 4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．过点向曲线：（n为正整数）引斜率为（）的切线，切点为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．数列的前n项和为 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（    ） A． B．事件，，两两独立 C．当事件时， D．当事件时，事件包含10个样本点 10．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 11．在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，是棱上的动点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值是 C．的最小值是 D．正方体被平面截得的五边形的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的两条渐近线互相垂直，则 ． 13．已知数列的前项和为，，则 . 14．已知，分别为双曲线：的左右焦点，过点且斜率存在的直线与双曲线的渐近线相交于两点，且点A、B在x轴的上方，A、B两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的渐近线方程是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 16．小李同学参加机器人知识竞赛，需回答4个问题．竞赛规则规定：答对第1，2，3，4个问题分别得50分、50分、100分、200分，答错得零分，假设小李同学答对第1，2，3，4个问题的概率分别为，各题只有一次答题机会，且答对与否相互之间没有影响． (1)求小李同学得100分的概率； (2)求小李同学至少得350分的概率． 17．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆，称为阿波罗尼斯圆.已知平面内两定点，，点P满足. (1)记动点的轨迹为，求轨迹的方程； (2)设点，点在直线上，过点作轨迹的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值. 18．如图所示，在直三棱柱中，，，点是线段上的动点（不与点重合）. (1)求证： (2)若平面与平面所成角的正弦值不小于，求线段的取值范围. (3)设点到面的距离为，四面体的外接球半径为，求的取值范围. 19．已知椭圆过点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设为的上顶点，为左焦点，，为上的两点，点关于轴的对称点为，线段的中点为，若为的平分线， （i）求证：直线过定点； （ii）求的取值范围． 试卷第4页，共4页 高二数学 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 问卷启封前按机密事项保管 SC 字节精准教育联盟·AI赋能 2025~2026学年度上期期末综合能力调查 高二·数学问卷参考答案与试题解析 1．B 【分析】先求斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，因为斜率，所以， 而，可得， 故选：B. 2．C 【解析】根据虚轴长的定义进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知：， 因此双曲线的虚轴长为. 故选：C 3．B 【分析】根据圆心距离和半径之间的关系，判断两圆的位置关系即可. 【详解】有题意可得圆，则 圆 与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，，，所以，，所以两圆相交． 故选：B. 4．D 【分析】根据古典概型求解概率即可. 【详解】所有基本事件有个， 和从3，6中选共有4个，和从1，4中选1个，从2，5中选1个，共有8个， 所求概率为. 故选：D. 5．A 【分析】先用表示向量，再根据求解即可. 【详解】因为在平行六面体中，， 所以， 故选：A 6．A 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 7．B 【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 8．D 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】对于A，由可得：， 设直线，联立， 得， 则由，即， 解得：（负值舍去），故A错误； 对于B，由韦达定理可得：，， 所以，故B错误； 对于C，因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则，可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：D. 9．AC 【分析】A.可以由古典概型的概率计算判断；B. 由事件独立性的判定推断；C. 利用题干条件求解；D. 利用事件子集的样本点上限判断 【详解】A，样本空间包含 6 个样本点，事件，因此，正确； B，由题意得，故，而， 因，故事件A与B不独立，错误； C，事件时，，已知，， 代入得，，解得，正确； D，样本空间仅包含 6 个样本点，事件C是的子集，不可能包含 10 个样本点，错误. 故选：AC 10．AD 【分析】对于A，由直线过点，可得，求得，即可判断；对于B，联立直线与抛物线方程，由焦点弦公式求出，即可判断；对于C，求出到直线的距离为，再由三角形的面积公式求解即可；对于D，求出点的坐标，再求出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，直线过点， 所以抛物线的焦点， 所以，，，故A正确； 对于B，由A可知抛物线的方程为， 设，， 由，消去并化简得， 解得，， 所以，故B错误； 对于C，直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为，故C错误； 对于D，设的中点为， 由上可知， 故， 即， 所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．ABD 【分析】如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，根据数量积公式，代入计算，即可判断A的正误；根据向量夹角公式，即可判断B的正误；将平面沿顺时针旋转与平面共面，当A、H、E三点共线时，有最小值，根据长度，求得最小值，即可判断C的正误；如图作辅助线，则五边形AMFEN的周长即为所求，分别求得各个长度，即可判断D的正误. 【详解】以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 选项A：因为， 所以，即，故A正确； 选项B：， 因为异面直线与所成角范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值是，故B正确； 选项C：将平面沿顺时针旋转与平面共面，连接，如图所示， 当A、H、E三点共线时，有最小值， 且最小值为，故C错误； 选项D：延长，与的延长线交于点G，与的延长线交于点H， 连接，交于点M，连接AH，交BC于点N，连接MF，NE， 则五边形AMFEN的周长即为所求， 因为分别是棱的中点，， 所以，则， 在中，， 因为， 所以， 所以，所以，则， 所以在中，， 在中，， 同理，， 所以五边形AMFEN的周长为，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求. 【详解】因为双曲线的方程为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以，所以， 故答案为：. 13． 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 14． 【分析】设是的中点，先求得点的坐标，然后利用点差法求得，进而求得正确答案. 【详解】设，依题意，设的中点为， 由于，所以，所以，， 由于，所以， 所以，所以或， 由于在双曲线的渐近线上， 所以，两式相减并化简得，， 若，则不符合题意，舍去. 若，则，所以， 所以渐近线方程为. 故答案为： 【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是，则在线段的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再根据数列的单调性证明. 【详解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）分析得100分的两种互斥答题组合，分别计算概率后求和； （2）分析至少得350分的三种互斥答题组合，分别计算概率后求和. 【详解】（1）得100分的情况有2种： 答对第1、2题，答错第3、4题： 概率为, 答对第3题，答错第1、2、4题： 概率为. 得100分的概率为. （2）至少得350分的情况有3种： 答对第1、3、4题，答错第2题： 概率为, 答对第2、3、4题，答错第1题： 概率为, 答对第1、2、3、4题：概率为, 至少得350分的概率为 17．(1) (2)4 【分析】（1）设点，根据阿波罗尼斯圆的定义得出等量关系，化简变形可得轨迹的方程； （2）利用图形以及相切关系，利用勾股定理得出四边形的面积表达式，再由点到直线距离公式即可求得面积最小值. 【详解】（1）设点， 由点，，点P满足可得； 化简可知轨迹的方程为. （2）易知轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 又点，因此即为圆心， 点到直线的距离为， 因此直线与轨迹相离，如下图所示：    显然，且，又因为为公共边， 所以， 因此四边形的面积为； 显然当取得最小值时，四边形面积最小， 又点在直线上， 当时，满足题意，此时即为点到直线的距离，所以； 所以四边形面积的最小值为. 18．(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，利用两向量数量积等于零证明两直线垂直； (2)设，通过求得平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法，即可得到关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围； (3)设四面体的外接球心的坐标为，，根据空间两点间距离公式，由，可得，即，再由，可得，结合二次函数的性质，可求得，又，再结合二次函数的性质即可求解的范围，根据空间中点到线的距离公式可得的值，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，，，， 则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ， ， 即，故. （2）设，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，故， 又在直三棱柱中，，则平面， 所以平面的法向量为， 设二面角的平面角为锐角， 有 则二面角的余弦值为： 令，因为，则，故， 即，则，即，故，所以， 故. （3）设四面体的外接球心的坐标为， 则， 故， 则，所以外接球心的坐标为， 代入得， 即， 则，当时，取得最小值为， 当或时，，所以， 所以，当时，取得最小值为， 当时，，所以， 所以， 由（1）知， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 点到平面的距离为， 所以的取值范围为. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求出双曲线的焦点，再根据焦点相同设椭圆方程，进而得出方程组求解即可； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，得出，再利用两角和差的正切公式以及诱导公式得出直线、的斜率之积为，再分别设直线、方程并与椭圆方程联立求出坐标，再设的方程，将坐标代入，建立一元二次方程，结合韦达定理可求； （ii）将问题转化为求的范围，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算，再利用换元法求函数最值即可. 【详解】（1）双曲线的标准形式为， 因为，所以双曲线的焦点为， 因为椭圆与双曲线的焦点相同，故可设其方程为，且， 因为在椭圆上，所以，解得， 故椭圆的方程为； （2）（i）设直线、的倾斜角分别为和，则直线的倾斜角为， 由题设知和均不等于，又直线的斜率为，故其倾斜角为， 从而有，即， 则，即， 又，故， 设直线、的斜率分别为、，则， 设直线、的方程分别为、，设， 联立，得，解得， 则，故点， 同理可得， 由题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为， 代入点坐标得，化简得， 同理有， 故、是方程的两个根， 故，解得， 故直线方程为，过定点； （ii）因为，故，故， 由（i）可知，直线方程为， 设、，则，， 联立，得， 因为点在曲线内部，则必有， 则，， 则 ， 令，则， 因为，则，则，即， 故，所以， 则的取值范围为. 答案第16页，共16页 高二数学答案 第2页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $