精品解析：山西太原市第五中学校2026-2027学年高三上学期10月阶段性检测数学试卷

太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高三数学 时间：2026年10月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据含量词命题的否定可知， ，的否定为：，. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知条件，根据绝对值性质、不等式倒数性质、特殊角的正弦函数值以及对数函数的单调性逐一验证四个选项. 【详解】对于A：因为，所以 ，所以，A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，B错误； 对于C：取，则满足，但，C错误； 对于D：因为在单调递增，所以由可得，D正确. 3. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案. 【详解】由题意知角α的终边上有一点，则， 故，则， 故选：A 4. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况， 若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种， 若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种， 所以所有符合条件的可能是种. 故选：C. 5. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，， 故，即， 由于，故，则或， 故A的大小为或， 故选：D 6. 2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ） A. 0.99% B. 99% C. 49.5%. D. 36.5% 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率可求某人检验呈阳性时他确实患病的概率. 【详解】设为“某人检验呈阳性”，为“此人患病”. 则“某人检验呈阳性时他确实患病”为， 又， 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率的计算及其应用，此题需将题设的各个条件合理转化为事件的概率或条件概率. 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 8. 定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设，利用题意得到，然后三角换元，表示，然后化简求最值即可. 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 10. 已知复数，均不为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及模长与共轭复数的概念分别判断. 【详解】设复数，， 则，， 即，A选项错误； ，则，B选项正确； ，， 则，， C选项正确； ， ， 则， ，D选项正确. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 13. 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 【答案】 ①. 1.6## ②. 1.64## 【解析】 【分析】根据平均数、方差的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 两组数据合并后，平均数为， 所以合并后方差为. 14. 设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得出，分析可知函数在上单调递增，可得出，于是得出，构造函数，，利用导数求出函数的最大值，即可得出的最小值. 【详解】由题意可得，即，所以， 又因，所以在上单调递增， 则由，可得，则， 令，，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，即，故， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 选条件①：的面积为. 选条件③：当时，的面积为；当时，的面积为． 不可选条件② 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理计算即可得； （2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的. 【小问1详解】 由，得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，所以； 【小问2详解】 选条件①：边上中线的长为： 设边中点为，连接，则， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积为. 选条件③：： 在中，由余弦定理得，即， 整理得，解得或， 当时，的面积为． 当时，的面积为． 不可选条件②，理由如下： 若，故为钝角，则， 则，，即， 其与为钝角矛盾，故不存在这样的. 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据二倍角公式及同角三角函数基本关系式可得； （2）先由同角三角函数基本关系式得，再根据三角函数值确定角的范围，并结合两角差的正切公式可得所求角. 【小问1详解】 由 ，解得. 又因为， 由 ，得， 故原式 . 【小问2详解】 因为，，由同角三角函数关系式得，.  由（1）分析知，，由两角差的正切公式得. 由且 ，得；由且，得， 所以，由不等式性质得，且， 因此. 17. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求零点的个数． 【答案】（1）当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）有2个零点． 【解析】 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【小问1详解】 ，令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 18. 我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． （1）求的值； （2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ （3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 【答案】（1） （2）160 （3） 【解析】 【分析】（1）由均值定义计算； （2）由已知得，根据正态分布的概率性质计算概率； （3）由题意，则，记其为，然后用作商法求得最大值时的值． 【小问1详解】 ， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，， ． 该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为 ． 【小问3详解】 每个零部件的质量分数在内的概率为， 由题意可知， 则， 设（）， 则， 令，得， 所以当时，， 令，得， 所以当时，， 所以时，最大，故使最大的n的值为14． 19. 已知． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对，恒成立．求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知当时，，. 即. 令，即. 当时，. 所以. 故只需证. 令，．故只需证. 令．则只需证，， 只需证当时，. 即证. 令，则. 所以， 综上，. 【解析】 【分析】（1）求出切点和斜率，从而得到切线方程. （2）先求一阶导数，再求二阶导数，并利用二阶导数判断一阶导数的单调性，从而用分类讨论的方法判断是否恒成立，确定a的取值范围. （3）先用放缩法得到：，结合裂项相消法证明 ，再用分析法将要证， 转化为证明，综上可得到原不等式成立. 【小问1详解】 当时，，，，所以切线方程为：. 【小问2详解】 ，令，. ①当时，. 令，则．所以在单调递增. 所以．所以．，使得. 当，，此时在单调递减；即， 此时在单调递减. 所以，不符合. ②当时，. 令， 则，所以在上单调递增. 故，符合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略. 【点睛】（1）核心考点是导数的几何意义； （2）利用导数处理恒成立问题的分类讨论方法； （3）利用前面两问的结论，和常用对数不等式拆分左右两侧： 将左侧求和拆分为分式部分和指数部分两个独立数列，分别放缩后再合并； 构造函数证明对数放缩原理，通过裂项相消法直接得到分式部分的上界为； 对指数部分的等比数列进行放缩，得到指数部分的上界， 最终合并后验证得到的上界小于题目给出的右侧表达式，完成证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原五中2026—2027学年度第一学期学科阶段性检测 高三数学 时间：2026年10月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角α的终边上有一点，则=（ ） A. B. C. D. 4. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（ ） A. 72种 B. 96种 C. 144种 D. 288种 5. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 2020年疫情的到来给我们生活学习等各方面带来种种困难.为了顺利迎接高考，省里制定了周密的毕业年级复学计划.为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查.学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测.已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，若该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率（ ） A. 0.99% B. 99% C. 49.5%. D. 36.5% 7. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到函数的图象.若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 10. 已知复数，均不为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的最小值为__________． 13. 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 14. 设函数，，若存在、，使得，则的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，． （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积． 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知，． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 17. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求零点的个数． 18. 我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值． 参考数据：若，则． （1）求的值； （2）估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？ （3）若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？ 19. 已知． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对，恒成立．求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $