安徽合肥市第三中学2025-2026学年高三1月调研检测高三年级数学试卷

合肥市第三中学2025-2026学年高三1月调研检测 高三年级数学试卷 参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.考试范围：高考范围。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】D 【详解】由，可得，，.故选：D. 2. 【答案】B 【详解】，得，所以，故选：B 3. 【答案】D 【详解】由正弦定理可得，，所以在以半径为的圆上，则，由向量数量积几何意义及垂径定理可知：，当与同向时，有最大值为，所以的最大值为.    故选：D. 4. 【答案】B 【详解】安排B项工作的人数分为两类，第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有种方法，再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有种方法，若D项工作安排一人，则有种方法，所以B项工作仅安排1人共种方法，第二类，B项工作安排2人，有种方法，由分类加法计数原理，得共有种方法.故选：B. 5. 【答案】C 【详解】已知，将等式两边同时平方可得．根据完全平方公式展开得．因为，所以，移项可得，则． 因为，且，所以与异号，又因为在上， 所以． ，由于，，则．因为，，所以，那么． 根据立方差公式．因为，，，所以． 的值为．故选：C． 6. 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在正方体中，可得且，因为，分别是棱的中点，则且，所以四边形为平行四边形，则，又因为平面，平面，所以平面，同理可证：平面，因为，且平面，所以平面平面，又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，因为正方体的边长为，可得，，在中，可得，且，则，所以的最小值为.故选：B. 7. 【答案】D 【详解】由题可知， 因为在区间上单调递增，所以，即， 当时，有，即，不成立， 当时，有，则成立，所以； 又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以， 所以或，又，所以，故选：D. 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.【答案】ACD 【详解】依题意可得，因为，故A正确； ，故B错误；由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.故选：ACD 10. 【答案】BC 【详解】对于A选项，设直线为函数和的图象的公切线，设直线切函数于点，切函数于点，因为，则，所以，，切线方程为，即，因为，则，所以，， 切线方程为，即，所以，，消去可得，解得或，所以，和的图象有且只有两条公切线，A错；对于B选项，若，则，因为函数，其中，则，因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数，因为，，所以，存在，使得，即，可得，且当时，，当时，， 所以，函数的减区间为，增区间为，所以，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，，由题意可得，故整数的最大值为，B对； 对于C选项， ， 因为、，则，，所以，， 所以，， 所以，，C对；对于D选项，当时，，则， 所以，函数在上单调递增，则，，则对任意的恒成立，所以，在单调递减，则， 当时，对任意的，，所以，关于的方程在区间内无解，D错.故选：BC. 11. 【答案】AC 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使，在棱上取中点，则，，则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为，，圆心角依次为，圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误；故选：AC. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.【答案】120 13【答案】0.8 【详解】数列中，由，得，而， 则， 所以 .故答案为：0.8 14. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，，又因为三角形为锐角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因为，所以，，所以，所以，又因为边上的高，所以． 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【答案】(1)产品的质量与采用的工艺有关 (2) 【详解】（1）零假设：产品的质量与采用的工艺无关， 根据小概率值的独立性检验，产品的质量与采用的工艺有关. （2）记事件为3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲，事件为这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙.. 16. 【答案】(1)；；(2)证明见解析 【详解】（1）求导得到，根据函数在点处的切线方程为，得到.把代入得，因为，所以，即. ，算出. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减；当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减；当，，在递增，所以. ，又，，根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点. 设是零点，，经计算，所以也是零点，零点和为. 17. 【答案】(1) (2)；. 【详解】（1） 设，连接，因为正方形，所以为的中点，又因为平面，且平面，平面平面，所以，在正方形，为的中点，可得为的中点， 所以，当平面，则. （2） 因为平面，所以平面，过作为轴，以分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，为等腰三角形，所以，且，则，所以，设，其中，(线面角为0，不是最大） ，，设平面的法向量为，则，取，可得，设直线与平面所成角为，由题意可得，因为，所以当，即时直线与平面所成角正弦最大为，直线与平面所成角最大为，当时，直线与平面所成角最大为. 18. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由，， 所以点在以，为焦点，为长轴长的椭圆上，设椭圆方程为，焦距为， 则，，所以，所以的方程为. （2）①由，直线的斜率存在且不为．设直线的方程为，，，，联立，得，则，，，所以．又，所以，， 所以. ②由①知，所以． 作关于轴的对称点，则，，三点共线． 又，，设.则直线方程即为直线方程.又直线方程为，作差，得， 所以，所以，， 由，得．又因为，所以，即，即，所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，所以． 19. 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 (3). 【详解】（1）不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321.当时，取到最大的情形有：312，321.  所以；当时，取到最大的情形有：132，213，231，所以；当时，取到最大的情形有：123，213. 所以. （2）当最大数在第次出现时，均有可能获胜.设最大数在（）次出现，要想获胜，前个数中的最大值必出现在前次中，且第次取到最大值，所以 ， 同理 ，因此，当时，最大. （3）首先对于，当最大时，. 否则若， 则. ①，②， ③，①②得 ，所以，①③得 ，所以，所以，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市第三中学2025-2026学年高三1月调研检测 高三年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.考试范围：高考范围。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 3. 中，，则的最大值为（    ） A．6 B． C．12 D． 4.甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的、、、四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加项工作，乙必须参加项工作，则不同的安排方法数有（    ） A．36种 B．42种 C．54种 D．72种 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7. 如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A. B． C． D． 8. 已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10. 已知函数，，，则（    ） A．和的图象有且只有一条公切线 B．若恒成立，则整数的最大值为 C．若、均大于，则 D．关于的方程在区间内有解 11.如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 13. 已知数列满足，则数列的前4项的和为 ． 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示. 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 (1)依据小概率值的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； (2)在不合格的50件样本产品中任选3件，求在这3件样本产品中至少有1件是采用工艺甲生产的条件下，这3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. （15分）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 17. （15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为等腰三角形，且，点为线段上一点． (1)若平面，求的值； (2)当为何值时，直线与平面所成角最大，并求最大角的值． 18. （17分）在平面直角坐标系中，点，，，动点满足，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与相交于两点E，F（在的左侧）.设直线，的斜率分别为，. ①求证：为定值； ②设直线，相交于点，求证：为定值. 19. 某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． (1)当时，写出的值； (2)当时，求，并证明当最大时，满足 (3)已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值． 高三年级1月份数学试卷 第 学科网（北京）股份有限公司 $