专题 1.7 三角形内角和定理（专项练习）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.7 三角形内角和定理（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） 7．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 10．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 12．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 13．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，，若，则 ． 14．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为 ． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为 ．    16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分，若，则的度数为 ． 17．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 18．（25-26七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，和中，，．则下列结论： ①        ② ③若，则    ④若则 其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·吉林松原·月考）【特例探究】 （1）如图①，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．求证：． 小明的部分证明过程如下： 证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 请你将剩余的证明过程补充完整； 【变式探究】 （2）如图②，点在直线上，点在点的右边，点在点左边，以点为顶角作等腰三角形，连接．若，求证：； 【拓展应用】 （3）在【变式探究】条件下，设，若三点在同一条直线上，直接写出的大小（用含的代数式表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 三角形内角和定理（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，高线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟知各性质定理．先根据高线的性质和三角形内角和定理求出和的度数，根据角平分线的性质可求得的度数，从而得解． 解：是的高，，， ，， 是的角平分线， ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键在于明确全等三角形对应角相等这一性质． 先根据全等三角形的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（2023·陕西西安·模拟预测）某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A．过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是的外角，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 解：是的外角， ， ， ， 故选：D． 7．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期中）静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，和交于点，和交于点，根据三角形外角得到，，结合已知条件和三角形内角和可得，解方程即可． 解：设和交于点，和交于点， ∴是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，与相交于点P，平分，平分，且，则a值是（    ） A．3 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和，角平分线的定义及三角形外角的性质是解题的关键；连接，由可设，由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 解：连接，如图所示： 由可设， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 10．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，已知，P为外一点（点P不在直线，，上），且在的上方，连接，．若，，，则的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和外角的性质，正确理解题意，分情况画出图形是解题的关键． 根据点P有3种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，， ∵， ∴， ∴； 如图三，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 综上，的度数可能是，或， 结合选项可知，A、B、C选项均不符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/102度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数． 如图： 故答案为：． 12．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】  本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的 性质即可得到答案． 解：∵在中，， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，，若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，即可获得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，折叠的性质，利用三角形的外角的性质，折叠的性质，计算即可． 解：∵， ， ∵将三角形纸片沿折叠， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）如图，已知，并将它们摆成如图所示的形式，那么的度数为 ．    【答案】/180度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． 根据三角形全等得到，则，进一步根据平角定义和三角形内角和定理即可求出的度数． 解：∵ ∴， ∴， 由题意可得，， ∴ 又∵， ∴ 故答案为：． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、与三角形内角和有关的角平分线问题等知识．根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质进一步求出即可． 解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接，则当四点共线时，最小，可得，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵点M、N分别是边上的定点， ∴点是定点， ∵， ∴当四点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·四川乐山·期末）将一副三角板按如图放置，和中，，．则下列结论： ①        ② ③若，则    ④若则 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行线的判定，三角形的内角和，角的和差，垂线的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定，三角形的内角和，角的和差，垂线的定义，逐个分析判断即可． 解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 令与的交点为M，如图 ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． （1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，中，分别是上的点，满足． (1)，是否平行？说明理由． (2)若平分，，求度数． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，平行线的判定等知识点． （1）由三角形内角和为，结合已知可得，由同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线定义可得，结合可得． （1）结论：平行， ∵， ， ∴， ∴． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． （1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，将直角三角形纸片的角沿折叠，点落到纸片边缘的点处．，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：∵，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． （1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·吉林松原·月考）【特例探究】 （1）如图①，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作直线的垂线，垂足分别为．求证：． 小明的部分证明过程如下： 证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 请你将剩余的证明过程补充完整； 【变式探究】 （2）如图②，点在直线上，点在点的右边，点在点左边，以点为顶角作等腰三角形，连接．若，求证：； 【拓展应用】 （3）在【变式探究】条件下，设，若三点在同一条直线上，直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）根据全等三角形的性质得到，，进而求出，根据三角形内角和计算即可. 解：（1）证明：等腰直角三角形的直角顶点在直线上， ． 直线直线 ∴ 在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）证明：， 在和中， ∴， ∴， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $