专题 1.1 三角形的内角和定理（知识梳理+题型精析+中考真题）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.1 三角形的内角和定理（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】三角形内角和定理 1 ★【题型 1】三角形内角和定理的证明 1 ★【题型 2】利用三角形内角和定理求值 3 ★【题型 3】利用三角形内角和定理证明 5 【知识点二】三角形的外角性质 8 ★【题型 4】利用三角形外角性质求值 8 ★【题型 5】利用三角形外角性质证明 10 ★★【题型 6】平行线与三角形内角和综合 13 ★★【题型 7】角平分线与三角形内角和综合 17 ★★【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 22 二.中考真题 25 （一）单选题（10题） 25 （二）填空题（5题） 30 （二）解答题（1题） 35 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． ★【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：画图写出已知、求证及证明过程） 【答案】见解析 【分析】画图并写出已知，求证，过点作，由平行线的性质得，，结合平角的定义即可证三角形三个内角的和等于．本题主要考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握辅助线的作法和平角的定义是解题的关键． 解：已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）． 【变式1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． （1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出． 证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F． ∵， ∴，， ∵ ∴，， ∴, ∵， ∴． ★【题型 2】利用三角形内角和定理求值 【例题2】（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． （1）证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·期末）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理应用，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键．利用三角形内角和为，设为，表示出和，列方程求解即可． 解：设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． ★【题型 3】利用三角形内角和定理证明 【例题3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，，比小，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线判定等知识，求出是解题的关键．先求出，即可得到根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 解：∵比小， ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，点E、F分别上，于点F，，交于点O． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理： （1）根据，可得，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，从而得到，即可求证． （1）证明：， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形外角和定理的综合运用． 根据三角形外角的性质，即可得到，，即可得到． 延长线段交线段与点E，求得，，即可解答． 解：（1）如图，在中，是一个外角，由外角的性质可得：， 同理，在中，， 所以． （2）如图，延长线段交线段与点E， 在中，①； 在中， ②， 将①代入②得，. 【知识点二】三角形的外角性质 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，是的一个外角. 2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. ★【题型 4】利用三角形外角性质求值 【例题4】（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 解：是的外角 是的外角 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别平分和，，则的度数是         【答案】/30度 【分析】本题考查了角的平分线运用，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由三角形的外角可知：，，结合角平分线的定义求解即可． 解：由三角形的外角可知：，， ∵分别平分和， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． 【答案】110度 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，正确得出的度数是解题关键． 直接利用三角形外角的性质得出的度数进而得出答案． 解：， ， ∵， ． ★【题型 5】利用三角形外角性质证明 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的三个外角．求证：=的度数． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，，，则可证明，由三角形内角和定理可得，据此可得答案． 证明：∵分别是的三个外角， ∴，，， ∴ ， 又∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点E在的延长线上，，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定，根据三角形外角的性质可证明，再证明，得到，据此可证明． 解：∵点E在的延长线上， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． 【答案】①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦ 【分析】本题考查了等角的补角相等、三角形外角性质以及全等三角形的判定与性质，小力先用等角的补角相等证明出，再证明，最后根据全等的性质得到；小旺根据三角形外角性质得到且，，证明，最后根据全等的性质得到． 证：小力的证法： （已知）， 且， （等角的补角相等）， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 小旺的证法： ，（已知）， 且，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：①等角的补角相等；②；③；④全等三角形的对应边相等；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥；⑦． ★★【题型 6】平行线与三角形内角和综合 【例题6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·月考）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键． 解：过点作交的延长线于点， ， ， ，即， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定，作即可． （2）根据平行线的性质可得，，在中，根据三角形内角和定理求出，则可得，再根据平行线的性质即可求得． （1）解：如图，线段即为所求． （2）解：，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，以及尺规作图—作一个角等于已知角．熟练掌握以上知识是解题的关键． ★★【题型 7】角平分线与三角形内角和综合 【例题7】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用“8字型”图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合“8字型”角度关系，联立方程求解 （1）解：在和中， ∵ （对顶角相等），， ， ∴ ， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先求出的度数，根据平分线的定义得出，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 解∶∵， ∵、的平分线相交于点， ∴ ， ． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的外角性质．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 解：∵的内角与外角的平分线交于点P， ∴，， ∵，， ∴， 同理可得，… 以此类推，得到， 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． 【答案】(1)的度数为 (2)的度数为 (3) 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （1）根据三角形内角和可得，再根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形外角可得，，根据角平分线的定义可得，最后运用三角形内角定理即可求解； （3）设，综合运用三角形角平分线的定义、三角形内角和定理和三角形外角的应用并结合前两问即可求解． （1）解：在中， ， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ； （2）解：由图可得，，， ∵、分别平分和， ∴， ， ∴ ， ∴在中， ； （3）解：设， 在中，， ∵、分别平分、， ∴ ， 在中， ， ∵，， 又∵、分别平分这两个外角， ∴ ， 在中， ， ∴． 故答案为：． ★★【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 【变式1】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图1，在长方形纸片中，点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点，如图2，设，则的度数为（　　） A． B． C．100° D．105° 【答案】B 【分析】本题考查折叠过程中角度的变化和计算，需要理解折叠前后角度的关系，并利用已知角度求解未知角度． 利用折叠的性质，折叠前后对应角相等，结合平角的定义即可求解． 解：由折叠可知，，， ，， ， ， ， ． 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式3】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿着折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且点恰好在线段上，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形折叠的性质（对应角相等）和平角的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合平角关系建立等式求解． 根据折叠性质得，结合平角，设，建立含的等式，求解得的表达式． 解：由折叠性质可知，且 在上 ，且， 设 又长方形中 且 故答案为：． 二.中考真题 （一）单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角，比较角的大小，根据相关知识点逐一进行判断即可． 解：A、对顶角相等，故，符合题意； B、根据三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角可得：，不符合题意； C、平角的定义得到，直角大于锐角，故，不符合题意； D、由图可知，，不符合题意； 故选A 2．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 6．（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 7．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 8．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 9．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B （二）填空题（5题） 10．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 解： 故答案为： 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 12．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 15．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． （二）解答题（1题） 16．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． （1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1 三角形的内角和定理（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】三角形内角和定理 1 ★【题型 1】三角形内角和定理的证明 1 ★【题型 2】利用三角形内角和定理求值 2 ★【题型 3】利用三角形内角和定理证明 3 【知识点二】三角形的外角性质 3 ★【题型 4】利用三角形外角性质求值 4 ★【题型 5】利用三角形外角性质证明 4 ★★【题型 6】平行线与三角形内角和综合 6 ★★【题型 7】角平分线与三角形内角和综合 7 ★★【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 8 二.中考真题 9 （一）单选题（10题） 9 （二）填空题（5题） 11 （二）解答题（1题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． ★【题型 1】三角形内角和定理的证明 【例题1】（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：画图写出已知、求证及证明过程） 【变式1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【变式2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧． ★【题型 2】利用三角形内角和定理求值 【例题2】（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·期末）在中，比大，比大，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． ★【题型 3】利用三角形内角和定理证明 【例题3】（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，，比小，．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，点E、F分别上，于点F，，交于点O． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图，和交于交于点O，求证： ． （2）如图，求证：． 【知识点二】三角形的外角性质 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，是的一个外角. 2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. ★【题型 4】利用三角形外角性质求值 【例题4】（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，在中，点是延长线上的点，点在边上，连接，且，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，分别平分和，，则的度数是         【变式2】（23-24七年级下·广西北海·期末）已知：如图，．求的度数． ★【题型 5】利用三角形外角性质证明 【例题5】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别是的三个外角．求证：=的度数． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点E在的延长线上，，．请说明的理由． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，，，求证：，小力和小旺分别想到了各自的证明方法，请你在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 小力的证法： （已知）， 且 （①__________） 在和中， （③__________）， （④__________） 小旺的证法： ，（已知）， 且，（⑤________） 在和中， （⑦________）， ． ★★【题型 6】平行线与三角形内角和综合 【例题6】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·广东东莞·月考）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ． 【变式2】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【变式3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点D，E分别是的边，上的点． (1)尺规作图：过点D作线段，交于点F，要求保留作图痕迹，不用写作法； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． ★★【题型 7】角平分线与三角形内角和综合 【例题7】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图1已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为 ； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为 ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃临夏·期中）如图，在中，，、的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点P；和的平分线交于点，…以此类推得到，若度数为，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)直接写出与的数量关系为____________． ★★【题型 8】三角形内角和定理与折叠问题综合 【例题8】（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    【变式1】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如图1，在长方形纸片中，点在边上，分别在边上，分别以为折痕进行折叠并压平，点的对应点分别是点和点，如图2，设，则的度数为（　　） A． B． C．100° D．105° 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿着折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且点恰好在线段上，若，则 ．（用含的式子表示） 二.中考真题 （一）单选题（10题） 1．（2025·贵州·中考真题）下列图中能说明一定成立的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·四川攀枝花·中考真题）将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线，于点D，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． （二）填空题（5题） 10．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 11．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 12．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 13．（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 14．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 15．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． （二）解答题（1题） 16．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $