新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一上学期奥赛班加试数学试题

兵团二中2028届奥赛班加试数学试题 1.(24-25高一上天津·月考)己知命题p:Vx>0,x2-ax+4≥0，命题q:]x∈R,x2+ax+1=0,若命题p,q都 是真命题，则实数a的取值范围是 2.(2017高三·全国·竞赛)已知x、y满足x2+2cosy=1.则x-cosy的取值范围是 3.(2425高一上山西期中)已知函数f2x-1)的定义域为[-1,2小则函数g)-2的定义域为 4.(2023高三·全国.专题练习)己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,函 8a,X之1若函数h=f-9在区间-55上恰有8个零点，则a的取值范 5.(21-22高二下-浙江·月考)已知定义在R上的函数fx)满足f(x)+f(-x)=x2,Vx1,x2∈0，+∞)均有，-2> x1-x2 轻x≠x),则不等式f)-f1-x)>x-的解集为 6.（(25-26高-上江西萍乡月考)已知a,b均为正实数，且a+6=1,则5+品的最小值为 2x2+(2k+7x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围 7.(22-23高一上河北保定·月考)已知关于x的不等式组。2,2：2x-8>0 为 8.(17-18高一下·辽宁·期中)设函数f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则函数f(x)的值域是 9.（21-22高一下·北京·月考)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称 为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.已知函数f(x)=sinx+1sinx,函数g(x)=[f(x)],则下列命题正确的 试卷第1页，共4页 是 ①函数g(x)是周期函数： ②函数g(x)的值域是0,1,2： ③函数g(x)的图象关于x-对称； ④方程·g(x)=x只有一个实数根； 10.(2025海南省直辖县级单位·模拟预测)某饰品店定制半径为1米，圆心角为的扇形展示台.现要在该扇形内 制作一个内接矩形陈列区域ABCD,其中点A、B在扇形的半径OP上，点D在半径OQ上，点C在扇形弧上（如图所 示)，在区域ABCD内摆放耳环、戒指等小件首饰.为了提升台面空间利用率，现要计算矩形ABCD的面积，则面积 最大值为 平方米 Q ◇ A B 11.(20-21高一下·陕西西安·月考)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1. (1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集： (2)若对任意x∈[1,2]，f(x)≤2恒成立，求实数m的取值范围； (3)若0，b,c为正实数，且4的最大值等于f(②.求实数m的值 答案第2页，共4页 12.(2020全国·二模)己知a,b,c为正数，且满足abc=4,证明： (1)a3c+b3a+c3bz4(a+b+c): (2)(a2+)+(b2++(c2+)≥48 13.(11-12高一·辽宁大连·期末)已知函数f(x)满足对一切x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2且f(1)=0, 当x>1时有f(x)<0. (1)求f(-1)的值： (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性； (3)解不等式：[f(x2-2x)]2+2f(x2-2x-1)-12<0. 试卷第3页，共4页 14.(21-22高一下江苏盐城开学考试)已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1. (1)若对于任意x∈R都有f(x)≤f(x)≤f(x2),且lx1-x2lmin-乏，求f(x)的对称中心： (2②)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移个单位，得到函数g)的图象，x=是gx)的一个零点，若函数g(,)在 [m,n](m,n∈R且m<n)上恰好有10个零点，求n-m的最小值： (3)已知函数h)=acos(2x-习-2a+3(a>0),在第(2)问条件下，若对任意x1∈[0，羽，存在x2∈[0，到使 得h(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围. 答案第4页，共4页参考答案 1。a≤-2或2≤a≤4， 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】命题p可利用参变分离法将原问题转化为a≤(c+)m结合基本不等式即可求得a的范围，命愿g直接 利用判别式即可求得α的范围，取交集即可得答案. 【详解】命题p:x>0,x+生≥a为真命题， a≤(x+)nm 又~x>0,x+≥2k=4,当且仅当x=即x=2时，等号成立， x .a≤4， 命题q:x∈R,x2+ax+1=0,为真命题， .△=a2-4≥0，·a≤-2或a≥2， 命题p,q都是真命题， .a≤-2或2≤a≤4. 2.[-1,v3+1] 【难度】0.65 【知识点】二次函数的性质与图象、三角函数图像与性质 【分析】先根据x2=1-2c0y∈[-1,3求出x∈[-V3V夙，再由c0sy=求出x-cosy=x+1)2-1,再利 用二次函数的图像和性质求解. 【详解】由于x2=1-2cosy∈[-1,3]故x∈[-V3,3, 由c0sy=12知x-c0sy=x+1)2-1 因此，当x=-1时，x-cosy有最小值1，此时y可以取5 当x=V3时，x-cosy有最大值V3+1此时，y可以取π. 由(x+1)2-1的值域为[-1,3+1]，知x-cosy的取值范围是[-1,3+1]. 故答案为[-1,3+1] 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，考查二次函数的值域的计算，意在考 查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 3。[-5,-2)U(-2,1] 答案第1页，共10页 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数求定义域的方法计算即可. 【详解】因为f(2x-1)的定义域为[-1,2]，所以在f(2x-1)中，-1≤x≤2，则-3≤2x-1≤3， 则在f(x+2)中，-3≤x+2≤3，则-5≤x≤1. 又x+2≠0，所以g(x)的定义域为[-5，-2)U(-2,1]. 4.2<a<48 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】将题意转化为函数f(x)与函数g(x)在区间[-5,5]上有8个交点，再根据函数的性质画图，再列式，根据对 数函数的不等式解法求解即可 【详解】函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上恰有8个零点，则函数f(x)与函数g(x)在区间[-5,5]上有8个交点 由f(x+2)=f(x)知，f(x)是R上周期为2的函数，作函数f(x)与函数g(x)在区间[-5,5]上的图像如下， g(x) -5 -4 -3 -2 -10 3 45x 由图像知，当x∈[-5,1]时，图像有5个交点，故在[1,5]上有3个交点即可，则a>1: 越他，8刊解得2<a<4 5.经+o∞】 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数基本性 质的综合应用 【分析】构造函数g(x)=f)-x2,通过题干条件得到gx)为奇函数，且在R上单调递增，从而根据单调性解不 等式，求出解集 【详解】因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=x2, 所以设g(x)=f(x)-x2, 则g(x)=-g(-x), 答案第2页，共10页 所以g(x)=f(x)-x2为奇函数， 因为Vx,2[0,+0),都有2>丝(x1≠x), x1-X2 2 当x1>x2时， 则有fx)-f)>-2,即f)-兰>fx2)-要 2 所以g(x1)>g(x2), 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 当x1<x2时， 则有fx)-兰<f)-号 所以g(x1)<g(x2), 所以g(x)在(0，+o)上单调递增， 综上：g(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为g(x)为奇函数， 则g(x)在R上单调递增， f)-f1-x)>x-变形为：f)-x2>f1-x)-21-x, 即g(x)>g(1-x), 所以x>1-x,解得：x> 故答案为：（任，+∞） 6.4 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变化为2+，进面化筒，然后设s=a+26=b+1,而后用1-6+)进行代换， a+2 最后用基本不等式得到答案 【详解】因为a,b均为正实数，且a+b=1, a2+b2-a+2-2}+6+1-102 a+2+b+1=a+2 b+1 a124121b121 =a2+6本1-2，设s=a+2,t=b+1s+t=4, 则上式=+)e+0)-2=(5+号+月-2≥5+2层司2=片 当且仅当s=2t→a=号，b=时取=， 答案第3页，共10页 7.[-53)u(4,5] 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】对实数k与的大小进行分类讨论，解原不等式组，确定解集中的整数解，可得出关于实数k的不等式，解 之即可 【详解】由x2-2x-8>0可得x<-2或x>4, 由2x2+(2k+7)x+7k<0可得(2x+7)(x+k)<0, 当k=时，不等式(2x+7)x+k)<0即为2(x+)<0,该不等式无解： 当k>时，不等式(2x+7)x+)<0的解集为(-k,): 此时，原不等式组的解集为(-k),则-4∈(-k,)-5E(-k-), 所以，-5≤-k<-4,解得4<k≤5； 当k<时，不等式(2x+7)x+)<0的解集为(3k), 由题意可知-3∈(3k),5E(k),所以，3<-k≤5，解得-5≤k<3 综上所述，实数k的取值范围是[-5,3)U(4,5] 8.o.劉 【难度】0.65 【知识点】求含sx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式 【详解】分析：设t=sin2x∈[-1,1]，化简f(x)的解析式，利用二次函数的图象与性质可求解函数的值域. 详解：由f(x)=sin4x-sinxcosx+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x-sinxcosx =1-sin2x-sin22x, 令t=sim2xe[-1,小，则f)=g因=1-t-2-吕-t+,且-1≤t≤1， 当t=-2时，f(x)取得最大值为当t=1时，f(x)取得最小值为0， 所以f(x)的值域为[0,3. 点睛：本题主要考查了三角函数恒等变换及化简求值，以及二次函数的性质的应用，其中利用三角恒等变换的公式 和换元法转化为二次函数的性质是解答点关键，着重考查了换元法的应用，以及分析问题和解答问题的能力. 9.②④ 答案第4页，共10页 【难度】0.4 【知识点】三角函数综合 【分析】先研究函数f(x)的奇偶性，作出函数f(x)的图象，作出函数g(x)的图象判断①②的正确性，由特值判断 ③的正确性，再分类讨论判断方程罗·g(x)=x的根的个数得解。 【详解】由题得函数f(x)=sinx|+[sinxl的定义域为R, f(-x)=sinl-x+lsin(-x)I=sinlx +sinxl f(x), 所以函数f(x)为偶函数， 当0≤x≤π时，f(x)=sinx+sinx=2sinx; 当π<x<2r时，f(x)=sinx-sinx=0: 当2π≤x≤3π时，f(x)=sinx+sinx=2sinx; 所以函数f(x)的图象如图所示， y=f(x) -3π-5亚-2-3亚 2 2 元2m3 2 所以函数g(x)的图象如图所示， =g) -3元- 5 3π 2π 5π 3 由函数g(x)的图象得到g(x)不是周期函数，故选项①不正确： 所以函数g(x)的值域是{0,1,2}，故选项②正确： 由g(-)=f(-1=[v=1,9(）)=f】=0=0 所以函数g(x)的图象不关于x=对称，故选项③不正确： 对于方程gx)=x, 当g(x)=0时，x=0,方程有一个实数根： 当g()=1时，x=,此时g孕=2≠1，此时方程没有实数根； 当g(x)=2时，x=π，此时g(π)=0≠2，此时方程没有实数根； 故方程·g(x)=x只有一个实数根，故选项D正确， 故答案为：②④ 答案第5页，共10页 10.2-1+z 22 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、cos2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用 【分析】由题意可得AB=cosa-sina,BC=sina,可得S=(cosa-sina)sina,利用三角恒等变换求得最大值即 可刻 【详解】设LP0C=a,因为0P=1,LP0Q= 所以BC=sina,0B=cosa,0A=snmg tan=sina, 所以AB=OB-OA=cosa-sina, 则四边形ABCD的面积为S=AB×BC=(cosa-sina)sina, 1 1 =cosasina-sin2a=sin2a-(1-cosza) 2m2a+2os2a-2号(（2m2a+号cas2a）号 1 1 1V2/2 v2 =(sin2acos7+cos2asim)-号sim(2a+月)-子 因为0<a<量所以<2a+<,所以9<sin(2a+用≤1， 所以当sim(2a+)=1时，S的最大值为浮-}=， 2 所以面积S的最大值为2- 2 故答案为：2- 2 11。(1)见解析： 2(-∞6 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、二次与二次（或一次）的商 式的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对m分类讨论： (2)对m分等于零，大于零和小于零讨论： (3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求的值. 【详解】 (1)f(x)=mx2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1) 当0<m<1时，f<0的解樂为1<x<: 答案第6页，共10页 当m>1时，fx)<0的解集为x品<x<1: 当m=1时，f(x)<0无实数解. (2)当m=0时，f(x)=-x+1, 对任意x∈[1,2]，f(x)≤f(1)=0<2恒成立. 当m>0时，函数f(x)图象开口向上， 若对任意x∈[1,2]，f(x)≤2恒成立，只需 8三名即m-20m+0+1s2m号 故当0<m≤时，对任意x∈[1,2]，f()≤2恒成立 当m<0时，对任意x∈[1,2]，x-1≥0，mx-1<0, f(x)=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立 综上可知，实数m的取值范围为(-∞，引 (3)若a,b,c为正实数，则由基本不等式得， a2+b2≥9ab,b2+c2≥29bc, 5 两式相加得，a2+b2+c2≥2号(2ab+b0. 变形相4≤号当且仅当a2-b2咀c2=b2时等号成立 所以f(2)=5,即2m-1-号，m=2h5 4 12。(1)证明见解析：(2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】由不等式的性质证明不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析11)根据a,bc为正数，且c=4将不等式ac+ba+c2b≥4a+b+)化为号+2+后≥a+b+c, 再利用基本不等式结合不等式的性质证明： (2)根据a,b,c为正数，且abc=4,直接利用基本不等式证明. 【详解】 (1)因为a,b,c为正数，且abc=4. 所以不等式a3c+b3a+c3b≥4(a+b+c)等价于 m心之a+btc,即等价于号+华+后之a十b十c abc 因为a,b,c为正数， 所以g+b≥2a,g+e≥2b,号+a≥2c, 答案第7页，共10页 所以g+g++a+b+c≥2a+b+G, C a 即吗+兰+后之a+b+c,当且仅当a=b=c-语时等号成立 所以a,b,c为正数时，a3c+b3a+c3b≥4(a+b+c)成立. (2)因为a,b,c为正数，且abc=4, 所以 原式23(a2+)·(b+)°(c2+9 -3ae+)(+月)(e+) 2度x2层24ac=2=极 ≥3x2层x V c 当且仅当a=b=c=4时等号成立. 所以a,b,c为正数时，(a2+引+(2+)°+(（c2+≥6成立 【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中 档题 13。(1)f(-1)=4:(2)f(x)在R上是减函数：(3){x-1<x<0或2<x<3. 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、函数基本性质的综合应用 【分析】(1)利用赋值法可求f(-1)的值， (2)利用单调性的定义可判断并证明函数的单调性， (3)利用函数的运算性质可得[f(t)-2]2+2f(t)-12<0,其中t=x2-2x-1,求出前者的解后利用函数的单 调性可求原不等式的解 【详解】(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(0)+f(0)-2,f(0)=2, 再令x1=-1,x2=1,得f(-1+1)=f(-1)+f(1)-2, 即2=f(-1)-2,从而f(-1)=4. （2)任取x1,x2∈R,x1<x2,则x1-x2<0, f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1)-2, =f(x2-x1+1-1)-2=f(x2-x1+1)+f(-1)-4=f(x2-x1+1), x2-x1>0,1+x2-x1>1,f(1+x2-x1)<0即f(x2)-f(x1)<0, ·f(x)在R上是减函数 (3)由条件知，f(x+1)=f(x)+f(1)-2=f(x)-2, 设t=x2-2x-1,则f2(t+1)+2f(t)-12<0即[f(t)-2]2+2f(t)-12<0, 整理得f2(t)-2f(t)-8<0,故-2<f(t)<4, 答案第8页，共10页 而-2=-2+f(1)+f(1)=f(2),4=f(-1),不等式即为f(2)<f(t)<f(-1), 又因为f(x)在R上是减函数，-1<t<2即-1<x2-2x-1<2, 旋，22”30从而所求不醉式的解集为到-1<x<0或2<<3引 14.((是+经1)ke2)减（货-，1）ke: 2g 3o劉 【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求 图象变化前（后)的解析式 【分析】(1)由fx)≤f)≤fx2),:-x2lmin=可求得函数f)的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由 整体代换即可求得对称中心： (2)由三角函数的平移变换求得g(x)的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n一m的最小值： (3)将所给条件转化为h(x)和g(x)的值域的包含关系，即可求得参数a的取值范围. 【详解】1)f)=2sin(2ax+月+1的最小正周期为T=品 又f(x)≤f)≤f(x2),x-x2lmin=乏f(x)的最小正周期是， 故7=急=，解得ω=士1， 当ω=1时，f(x)=2sin(2x+8+1, 由2x+营=kke)x=-是+空ke☑，f)的对称中心为(-+受，1)ke2: 当w=-1时，fx)=2sin(-2x+g)+1, 由-2x+后=kmk∈2)→x=是-受ce2刀，f)的对称中心为（侣织，1）k∈2： 综上所述，fx)的对称中心为(-+，1)kE2四或（臣-受，1）kE2). (2)函数f()图象向右平移个单位，得到函数g(x)的图象， 9)=2sin(2wx+若-0）+1，又x=是g(x)的一个零点， g9=2sin(gu+8-i0）+1=0,即sin(Gw+g)=- 0+8名+2km或好0+gg+2 km ke, 解得ω=3+6k(kEZ)或ω=5+6k(k∈Z), 答案第9页，共10页 由0<w<5可得w=3, g)=2sin(6x-）+1,最小正周期7= 令g()=0,则sin(6x-)=- 即6x-g=-名+2k或6x-g=-g+2k2,kCZ,解得x=+或x=,k,k2Cz: 6 若函数g(x)在[m,n川](m,n∈R且m<n)上恰好有10个零点，必有4T<n-m<6T, 要使n-m最小，须m、n怡好为g6)的零点，故(n-m)mn=4x+号1 (3)油(2)知g()=2sin(6x-）+1,对任意x1∈0，孕，存在x2e[0,,使得h(x)=gx2)成立，则0yy=h()}c (yly=g(x)], 当x2∈[0,7时，6x-g∈[g,,sin(6x-g）e[-1,1.g6x)e[-1,3l, 当x1∈[0，时，2x-e【,,cos(2x-)∈，，hx)e[-a+3,-a+3], a>0 由yly=h(x)}≤yly=g(x)}可得 2a+3≥-1，解得ae(o,劉， -a+3≤3 故实数a的取值范围为(0，引 【点晴】方法点睛：第(3)小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d] (1)若vx1∈[a,b],x2∈[c,d],总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x2)min: (2)若vx1∈[a,b],x2∈[c,d,有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max: (3)若3x1∈[a,b],3x2∈[c,d],有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x2)max: (4)若vx1∈[a,b],3x2∈[c,d],有fx1)=gx2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集. 答案第10页，共10页