湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

长沙市周南中学2025年下学期高二年级期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式中，的系数等于（ ） A. 10 B. －10 C. 80 D. －80 3. 已知为等差数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 6. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ） A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线可以表示圆 B. 当时，曲线为双曲线，渐近线为 C. 若表示双曲线，则或 D. 当时，该曲线的焦点坐标为和 10. 在下列四个选项，其中正确的有（ ） A. 与向量同方向的单位向量 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数存在极小值 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直.则的值为______. 13. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是__________ ①．曲线C过坐标原点 ②．曲线C关于坐标原点对称 ③．曲线C关于坐标轴对称 ④．若点P在曲线C上，则 的面积不大于 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面内，，，C为动点，若， （1）求点C的轨迹方程； （2）已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与轴不重合，求△面积的最大值； （3）求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 长沙市周南中学2025年下学期高二年级期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】②③④ 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 在梯形中，，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1）. （2） 由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. （3）零点个数为0，理由如下： 因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以 ， 当时，，， 则， 则函数的零点个数为0. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 设， （i）当或与轴重合时，直线为轴. 若直线过定点，则该点在轴上，设为， （ii）当与都不与轴重合时，由（2）可知： ， 把换成可得， 因为 且，所以. 解得：， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $