2026年中考数学重难点一轮复习：一元一次方程

2026年中考数学重难点一轮复习:一元一次方程 一、单选题 1．随着地摊经济的复苏，失业的小李做起了小本生意，他把一件标价90元的T恤衫，按照7折销售仍可获利10元，设这件T恤的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 3．某商品原价为p元，由于供不应求，先提价10%进行销售，后因供应逐步充足，价格又一次性降价10%，则最后的实际售价为（　　） A．p元 B．元 C．元 D．元 4．对于题目：“在长为7的线段AE上取一点B，使，以AB为边向上作矩形，且，点N从点D出发，沿射线DC方向以每秒2个单位长的速度运动，点M从点E出发，先以每秒1个单位长的速度向点B运动，到达点B后，再以每秒3个单位长的速度沿射线方向运动．已知M、N同时出发，运动时间为，以E、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求t的值”．甲答：1；乙答：3．（　　）      A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 5．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是0或8时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 8．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为 ． 9．某商品按进价提高40％后标价，再打8折销售，售价为1120元，则这种电器的进价为 元． 10．一个正数的两个平方根为和，则这个正数为 ． 11．一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙．单独打开甲进水管，6小时可将空水池注满；单独打开乙进水管，8小时可将空水池注满；单独打开丙排水管，9小时可将满池水排空．如果先将甲、乙两个进水管同时打开2小时，然后再打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为 小时． 12．某市出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过2千米都需付车费5元）．超过2米以后，每增加1千米，加收1.8元（不足1千米按1千米计）．某同学从家乘出租车到学校，付了车费24.8元，则该同学的家到学校的距离的范围是 ． 13．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：若关于的一元一次方程是妙解方程，则的值为 ． 14．为配合枣庄市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小丽同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款 元． 15．某市按以下规定收取每月的水费：用水量不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，未超过部分仍按每吨1.2元收取，而超过部分则按每吨2元收费．如果某用户5月份水费平均为每吨1.4元，那么该用户5月份实际用水 吨． 16．某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的一律8折，超过200元的部分按7折算．某学生第一次购书付72元，第二次又去购书，他查看了所有卖书的定价，发现两次共节省70元钱，则该学生第二次购书实际付款 元． 17．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和方数”．例如：四位数2613，因为，所以2613是“和方数”；四位数2514，因为，所以2514不是“和方数”．若是“和方数”，则这个数是 ；若四位数M是“和方数”，将“和方数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值是 ． 三、解答题 18．运用方程或方程组解决实际问题：若干学生分若干支铅笔，如果每人5支，那么多余3支；如果每人7支，那么缺5支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？ 19．如图，小明用一张正方形纸片剪出两个宽都是的长条，如果其中一个长条的面积是另一个长条的倍，求原来正方形纸片的边长．    20．轻音部的活动室因为一项维修工作暂时停用了，这项维修工作一个人做需要花费16个小时，现在安排一部分人先做2小时，后续又增加了2人，在3小时后完成了任务，假如这些人的工作效率都相同，则最开始应安排多少人工作？ 21．某药店有两种口罩，甲种口罩每包比乙种口罩每包进价少10元，而它们的售后的利润相同．其中甲种口罩每包的盈利率为，乙种口罩每包的盈利率为，如果该药店某月出售甲种口罩150包，乙种口罩100包，求这个月该药店出售口罩的利润额． 22．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．求：该店有客房多少间？房客多少人？ 23．国庆节期间，某品牌服装在两个平台做促销活动． 平台：①顾客所购服装的原总价打九折；②原总价每满元即送元现金券，折后可用券抵扣．例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． 平台B： 原总价 优惠标准 不超过元的部分 九折优惠 超过元但不超过元的部分 六折优惠 超过元的部分 五折优惠 例如，某人购物原总价为元，则他实际付款为（元）． (1)若小李要买一件元的该品牌服装，则他应选择平台 (填“”或“”)购买． (2)某款服装单价的定价为元，若小芳计划购买件，发现在两个平台上优惠后价格一样，求的值． (3)小华要购买原总价超过元且不超过元的该品牌服装，那他在哪个平台上购买更划算？请你帮他设计购买方案． 24．每年6月18日，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动，甲卖家的商品成本为600元，在标价1000元的基础上打8折销售． （1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为，乙卖家也销售商品，其成本标价与甲卖家一致，以前每天可售出50件，现乙卖家先将标价提高了原标价的倍，再大幅降价元，使得商品在6月18日当天售出的数量增加到原来售出数量的倍，这样一天的利润达到了50000元，求的值． 25．数轴上 A，B，C 三个点对应的数分别为 a，b，x，且 A，B 到－2 所对应的点的距离都等于 6，点 B在点 A 的右侧． （1）请在数轴上表示点 A，B 位置，a= ，b= ； （2）请用含 x 的代数式表示 CB= ； （3）若点 C 在点 B 的左侧，且 CB=8，点 A 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，当 AC=2AB时，求点 A 移动的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据“商品售价-进价=利润”列方程即可． 【详解】解：设这件T恤的成本为x元， 列方程得 90×0.7−x=10 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-利润问题，熟知售价、进价、利润的关系式是解题关键，注意商品7折销售指按原价的70%销售． 2．A 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入一元一次方程，得到关于m的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴把代入得： ， 解得：． 故选A． 3．B 【分析】首先表示出提价10%的价格，进而表示出降价10%的价格即可得出答案． 【详解】解：∵商品原价为p元，先提价10%进行销售， ∴价格是：p（1+10%）， ∵再一次性降价10%， ∴售价为b元为：p（1+10%）×（1-10%）=0.99p． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出升降价后实际价格是解题关键． 4．D 【分析】分析点N在点C的左右两侧结合点M的运动方向可得有四种情况，列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，以E、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形， 分四种情况讨论： ①当点N在点C左侧，点M向左运动时，，， ∴， 解得； ②当点N在点C右侧，点M向左运动时，，， ∴， 解得，； ③当点N在点C右侧，点M向右运动时，，， ∴， 解得，； ④当点N在点C右侧，点M向右运动且过了点E时，，， ∴， 解得，， 故甲和乙答案合在一起也不完整， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的关键． 5．D 【分析】先求出x＝8时y的值，再将x＝0、y＝﹣2代入y＝2x+b可得答案． 【详解】解：∵当x＝8时，y＝6﹣8＝﹣2， ∴当x＝0时，y＝﹣2，代入y＝2x+b得， 2×0+b＝﹣2， 解得：b＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是求出对应的函数值． 6．B 【分析】结合题意得出，，，，，先由勾股定理求出，再证，，根据相似三角形的性质可得，，最后根据正方形的边长为得到，解方程即可得到的值． 【详解】解：依题得：，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 即， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解一元一次方程、正方形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 7．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据幻方的特点正确列出方程是解题的关键． 标记“■”位置的数为x，左上角的数字为a，左下角的数字为b，中间的数字为m，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”，可得，，推出，，再根据左边一列的和等于右边一列的和，列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：如图，标记幻方中的相关数字， a 3 1 m 17 b x 由题意得：，， 解得，， 由，得：， 解得， 即“■”位置的数是7， 故选D． 8． 【分析】根据“每人出100钱，则会多出100钱”用x表示出买猪需要的钱；根据“每人出90钱，恰好合适”用x表示出买猪需要的钱；二者相等，即可列方程. 【详解】依题意：. 故答案为：100x-100=90x. 【点睛】本题考查一元一次方程得实际应用，找到等量关系是本题解题关键. 9．1000． 【详解】设这种电器的进价是x元，则标价是（1+40%）x元，根据售价=标价×打折可得方程 （1+40%）x×80%=1120， 解方程可得x=1000． 10． 【分析】本题考查了平方根和一元一次方程的知识；根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∴ ∴ ∴这个正数 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设打开丙管后x小时可注满水池．等量关系为：甲注水量+乙注水量丙排水量． 据此列出方程并解答． 【详解】解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得，， ， ∴， ∴， 解得．    （小时）， 故答案为：． 12．大于12千米但不超过13千米． 【分析】设该同学的家到学校的距离为x千米，再根据所花的车费建立方程求解即可． 【详解】设该同学的家到学校的距离为x千米 由题意得 解得 因收费方式是不足1千米按1千米计 则当时，都按13千米计 故答案为：大于12千米但不超过13千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 13． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出的值，结合原方程是妙解方程，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．根据妙解方程的定义，找出关于的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 关于的一元一次方程是妙解方程， ， ， 的值为． 故答案为：． 14．150 【分析】设此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款x元，根据“某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小丽同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元”结合不买卡直接购付款﹣买卡后打折付款＝节省的费用，列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】设此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款x元， 根据题意得：x﹣（0.8x+20）＝10， 解得：x＝150， 故此次小丽同学不买卡直接购书，则她需付款150元． 故答案为150 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键． 15．8. 【详解】试题分析：水费平均为每吨1.4元大于1.2元，说明本月用水超过了6吨，那么标准内的水费加上超出部分就是实际水费．根据这个等量关系列出方程求解． 试题解析：设该用户5月份实际用水x吨， 则1.2×6+（x-6）×2=1.4x， 7.2+2x-12=1.4x， 0.6x=4.8， x=8． 答：该用户5月份实际用水8吨． 考点：一元一次方程的应用． 16．188 【分析】先求出第一次购书时的实际定价，再根据第二次购书节省的钱数列出方程，再求解即可． 【详解】解：第一次购书付款72元，享受了8折优惠，实际定价为（元），省去了18元钱． 依题意，第二次节省了（元）． 设第二次所购书的定价为元．， 解得． 故第二次购书实际付款为：（元）． 所以该学生第二次购书实际付款188元． 故答案为：188 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解答本题需注意第二次所购的书有七折的部分，有八折的部分，需清楚找到这两部分实际出的钱． 17． 8354 6213 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．根据“和方数”的定义求解即可；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：是“和方数”， ， 解得：， 这个数是8354； 设这个四位数，则， ， 四位数M是“和方数”， ， ， 能被33整除， 是整数，且，，，， 满足条件的的值为， ， 满足条件的等式为， 满足条件的M的最大值是， 故答案为：8354；6213． 18．学生有4人，铅笔23支 【分析】设学生有x人，则铅笔数表示为5x＋3或7x−5，由此利用铅笔数相等联立方程求得答案即可． 【详解】解：设学生有x人，由题意得5x＋3＝7x−5， 解得：x＝4， 经检验，符合题意 则6x＋3＝23． 答：学生有4人，铅笔23支． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，设出人数，表示出铅笔数是解决问题的关键． 19． 【分析】设原来正方形纸片的边长为，根据“两个宽都是的长条，其中一个长条的面积是另一个长条的倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来正方形纸片的边长为，根据题意得： ， 解得：， 答：原来正方形纸片的边长为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 20．最开始应安排2人工作 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，先设最开始应安排人工作，因为这项维修工作一个人做需要花费16个小时，得一个人一个小时的工作效率是，结合现在安排一部分人先做2小时，后续又增加了2人，在3小时后完成了任务，列式计算，即可作答． 【详解】解：设最开始应安排人工作， 依题意得， 解得， ∴最开始应安排2人工作． 21．这个月该店出售口罩的利润额是元 【分析】设甲种口罩每包的进价为元，则乙种口罩每包的进价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，进而即可求解． 【详解】解：设甲种口罩每包的进价为元，则乙种口罩每包的进价为元， 根据题意得，解得， ∴， ∴（元）， 答：这个月该店出售口罩的利润额是元. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 22．客房有8间，房客有63人 【分析】本题属于一元一次方程的应用问题，得到题目中的等量关系是解题的关键． 设该店有客房x间，根据题意列出方程，求得x的值即可解答． 【详解】解：设客房有间， 根据题意可得：， 解得； 则房客有（人）； 答：客房有8间，房客有63人． 23．(1) (2) (3)当时，在平台上购买；当时，在平台上购买；当时，在两个平台上购买价格一样 【分析】（1）分别求出小李在两个平台购买的付款数量，再进行比较即可； （2）分别求出平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元，再根据“在两个平台上优惠后价格一样”列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元，当时，得，，然后分三种情况：若；若；若，分别求解即可． 【详解】（1）解：小李要买一件元的该品牌服装， 若选择平台购买，应付款：（元）， 若选择平台购买，应付款：（元）， ∵， ∴他应选择平台购买， 故答案为：； （2）平台的优惠价为元，平台B的优惠价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴的值为． （3）设原总价为元，平台的优惠价为元，平台的优惠价为元， 当时， ，， 若，则，解得：； 若，则，解得：； 若，则，解得：； 当时， ， ， ∴， 综上所述，当时，在平台上购买；当时，在平台上购买，当时，在两个平台上购买价格一样． 【点睛】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程及一元一次不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 24．（1）降价80元；（2）3 【分析】（1）设降价x元，根据利润=售价-成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据利润=每件利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合销售数量为整数，即可得出结论． 【详解】解：（1）设降价x元， 依题意得：1000×0.8-x-600≥600×20%， 解得：x≤80． 答：最多降价80元，才能使利润率不低于20%． （2）依题意得：[1000（1+0.2m）-250m-600]×50× =50000， 整理得：m2-8m+15=0， 解得：m1=3，m2=5， 当m=3时，50×=200（件），符合题意； 当m=5时，50× =（件），不为整数，舍去． 答：m的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25．（1），；（2）；（3）秒或10秒． 【分析】（1）由A，B到-2所对应的点的距离都等于6，点B在点A的右侧，可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出a，b的值； （2）由点B，C对应的数，利用两点间的距离公式可找出CB的值； （3）由点C在点B的左侧及CB的值可得出x的值，设点A移动的时间为t秒，分别表示出AB和AC，根据AC=2AB列出绝对值方程，求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：-2-a=6，b-（-2）=6， ∴a=-8，b=4， 将其表示在数轴上，如图所示． 故答案为：-8，4． （2）B点表示的数为4，C点表示的数为x，故CB=|x-4|． 故答案为：|x-4|． （3）∵点C在点B的左侧，且CB=8， ∴x-6=-8， ∴x=-4． 设点A移动的时间为t秒，A点t秒后表示的数为． 则，， 因为，所以． 即或 解得， 解得， 故A移动的时间为秒或10秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题以及列代数式，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式，列出关于a，b的一元一次方程；（2）利用两点间的距离公式求出CB的值；（3）根据列出绝对值方程，并求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $