2026年中考数学重难点一轮复习：一元二次方程

2026年中考数学重难点一轮复习:一元二次方程 一、单选题 1．关于x的一元二次方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 2．关于的一元二次方程方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数 D．无法判定 3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 6．在一次函数y＝－x＋3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有(   ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（   ） A．2% B．5% C．10% D．20% 8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）． A． B． C． D． 9．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（    ） A．11 B．12 C．22 D．33 二、填空题 11．已知x1、x2是一元二次方程x2+x=1的两个根，则x1x2= ． 12．已知关于x的方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=﹣1，则另一根为 ． 13．已知m是方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，则代数式11+5m﹣m2的值是 ． 14．关于的方程(k1)x22(k2)x+k+1=0有实数根，则实数的取值范围是 . 15．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 16．二次函数（其中a，b，c为常数，且）的图象过点，其中m为常数，且，则方程的解为 ． 17．已知实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0，则的值是 ． 三、解答题 18． 解一元二次方程 （1） （2）x2-5=2（x+1） （3） 19．已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 20．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，生产1吨乙种药品的成本是4860元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 21．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值． 22．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若满足，求k的值． 23．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为30m，20m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽．    24．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根，利用一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac＝0即可求解. 【详解】依题意，方程ax2+4x+2＝0有两个相等的实数根 ∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8a＝0，得a＝2 故选D． 【点睛】考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0  时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 2．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式的符号，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程方程的根有两个不相等的实数根，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 3．C 【分析】此题考查了根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，然后求出的值即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键． 根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A ． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】设P点的坐标为（a，b ）则矩形OAPB的面积=|a|•|b|即|a|•|b|=，再根据坐标在函数上得到|a|•|3-a|=，再分情况讨论即可求解． 【详解】设P点的坐标为（a，b ）则矩形OAPB的面积=|a|•|b|即|a|•|b|= ∵P点在直线y=-x+3上 ∴-a+3=b ∴|a|•|3-a|= ①若a＞3，则|a|•|3-a|=a•（a-3）=， 解得：a=，a=（舍去） ②若3＞a＞0，则|a|•|3-a|=a•（3-a）=， 解得：a= ③若a＜0，则|a|•|3-a|=-a•（3-a）=， 解得：a=（舍去），a=． ∴这样的点P共有3个． 故选B． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质、解一元二次方程的方法． 7．D 【详解】设平均每月增长的百分率为x， 根据题意，得50（1+x）2=72， 解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去） 故选D． 8．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 9．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 10．B 【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得， ， 整理，得， 解得，，(舍去) 则参加这次会议的有12人． 故选：B． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为． 11．-1 【详解】试题分析：直接利用根与系数的关系得到两根之积即可． 试题解析：x2+x=1 x2+x-1=0， 由根与系数的关系可知：x1•x2==-1． 考点：根与系数的关系． 12．3 【分析】设另一根为x2，根据一元二次方程根与系数的关系得出-1•x2=-3，即可求出答案． 【详解】设方程的另一个根为x2， 则-1×x2=-3， 解得：x2=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=-，x1x2=． 13．5 【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2-5m=6，然后把m2-5m=6代入11+5m-m2中进行整式的运算即可． 【详解】解：∵m是方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根， ∴m2﹣5m﹣6＝0， ∴m2﹣5m＝6， ∴11+5m﹣m2＝11﹣（m2﹣5m）＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题． 14．k≤ 【分析】当k=1时为一元一次方程，必有实数根；当k≠1时由根的判别式可求出k的取值范围. 【详解】解：当k=1时，原式为关于x的一元一次方程，此时有实数根； 当k≠1时，由题意得： 解得， 故实数的取值范围是. 【点睛】此题主要考查了根的判别式以及解一元一次不等式.一元二次方程根的情况与判别式的关系:(1)0，方程有两个不相等的实数根;(2)，方程有两个相等的实数根;(3)0方程没有实数根. 15． 【分析】根据根与系数的关系，由，即可得到答案. 【详解】解：∵， 是方程 的两根， ∴，， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，并正确进行化简计算. 16． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，待定系数法求出二次函数的解析式，进而确定一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得： ，解得：， ∴方程化为：， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：． 17．﹣2或2﹣2或﹣2﹣2 【分析】根据题意可以把a，b看作方程x2-2x-1=0的两个根，而，然后分类讨论并利用根与系数的关系就可以求出代数式的值． 【详解】解：因为实数a，b满足等式a2﹣2a﹣1＝0，b2﹣2b﹣1＝0， ①当a＝b＝1+或1﹣时，原式＝＝2﹣2或﹣2﹣2； ②当a≠b时，可以把a，b看作是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根． 由根与系数的关系，得a+b＝2，ab＝﹣1． 则原式＝﹣2． 故答案为：﹣2或2﹣2或﹣2﹣2． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要注意分情况考虑，特别不要忘记a=b这种情况，同时也要利用根与系数的关系． 18．（1）；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）方程变形得： 分解因式得： 解得： （2）方程变形得： 即 得： 解得： （3）整理得：，其中 所以 所以 考点：解二元一次方程 19． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 20．一样大 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设甲、乙两种药品成本的年平均下降率为x、y，利用方程求解即可． 【详解】设甲种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意得：， 解之得：（舍去），， 所以甲种药品成本的年平均下降率约为； 设乙种药品成本的年平均下降率为y， 根据题意得： 解之得：（舍去）， 所以乙种药品成本的年平均下降率约为； 答：甲乙两种药品成本的年平均下降率一样大． 21．（1）；（2）k＝3 【分析】（1）根据一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，可得出△≥0，解不等式即可得出结论； （2）分别把k的正整数值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，根据解方程的结果进行分析解答． 【详解】（1）由题意得：△=16﹣8（k﹣1）≥0，∴k≤3． （2）∵k为正整数，∴k=1，2，3． 当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x =0，解得：x=0或x=－2，有一个根为零； 当k=2时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +1=0，解得：x=，无整数根； 当k=3时，方程2x2+4x+k﹣1=0变为：2x2+4x +2=0，解得：x1=x2=－1，有两个非零的整数根． 综上所述：k=3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意得，，计算求解即可； （2）由题意知，，，由，可得，即，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， ∴k的取值范围为． （2）解：∵， ∴，． ∵， ∴，即，整理得． 解得或（舍去）． ∴， ∴k的值为6． 23．长为，宽为 【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地面积为，列出方程求解即可． 【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴， 故新的矩形绿地的长为，宽为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 24．(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润=每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据二次函数的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用之平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）解：设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250（元），此时定价为元． 答：定价为19元，最大利润为250元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $