2026年中考数学重难点一轮复习：二元一次方程组

2026年中考数学重难点一轮复习:二元一次方程组 一、单选题 1．已知是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁，意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．-3 4．已知,满足方程组，则无论取何值，,恒有关系式是(   ) A． B． C． D． 5．已知实数a，b同时满足，则b的值是（    ） A．2或 B．2 C．或6 D． 6．如图，点C在直线AB上，∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，设∠ACD和∠BCD的度数分别为x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（　　） A． B． C． D． 7．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 8．如果关于x，y的方程组的解是正数，那么a的取值范围是（    ） A．－4 ＜ a ＜ 5 B．－5 ＜ a ＜ 4 C．a ＜－4 D．a ＞ 5 二、填空题 9．已知是方程的一个解，则k的值= ． 10．《九章算术》方程章节中有这样一个题目：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”意思是不知道甲乙二人各有多少钱，如果把乙的钱的一半给甲，则甲50钱；如果把甲钱的给乙，则乙也有50钱．则原来甲有的钱数是 ． 11．关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 12．已知二元一次方程，请写出该方程的一组整数解 ． 13．“六一”前夕，市工委准备为希望小学购进图书和文具若干套．已知套文具和套图书需元，套文具和套图书需元，则套文具和套图书需 元． 14．如图，在中是中线，，，则的长是 ． 三、解答题 15．解方程组：． 16．李辉到服装专卖店去做社会调查，了解到商店为了激励营业员的工作积极性实行了“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得了如下信息： 营业员 嘉琪 嘉善 月销售件数/件 400 300 月总收入/元 7800 6600 假设月销售件数为x件，月总收入为y元，销售每件奖励a元，营业员月基本工资为b元． （1）求a、b的值． （2）若营业员嘉善某月总收入不低于4200元，那么嘉善当月至少要卖多少件衣服？ 17．为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ (2)若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 18．在2025年的春晚舞台上，来自宇树科技的机器人扭秧歌表演惊艳了无数观众．某商家推出A、B两种机器人模型，买2个模型3个模型共需120元；买3个模型，1个模型共需110元． (1)求模型和模型的销售单价各是多少元？ (2)某公司计划购买A、B两种模型共100个作为团建活动的奖品．商家给出两种优惠方案．甲方案为：按标价的八折销售；乙方案为：花288元成为会员后，可按标价的7折销售，购买多少个模型时，两种方案费用相同． 19．安徽某驼奶加工场现有鲜驼奶9吨，若制成酸驼奶销售，每吨可获利1200元；若制成驼奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力如下：如制成酸驼奶，每天可加工3吨；制驼奶片，每天可加工1吨，受条件限制，两种加工方式不可同时进行．该厂决定部分制成驼奶片，其余全部制成酸驼奶，刚好4天加工完毕．问该厂获利多少元？ 20．某农户为了尽快脱贫致富，决定承包荒山种植果树，今年计划购买柚子树苗和杨梅树苗共1000棵，已知柚子树苗每棵40元，杨梅树苗每棵50元，柚子树苗的成活率为，杨梅树苗的成活率为． （1）若该农户购买两种树苗共用去46500元，问购买柚子树苗和杨梅树苗各多少棵？ （2）若要使购买的1000棵树苗成活率不低于，则最多可购买多少棵柚子树苗？ 21．某中学为了丰富学生的课余生活，计划购买排球和篮球供球类兴趣小组活动使用，若购买4个篮球和3个排球需用94元；若购买16个篮球和5个排球需用306元； （1）求一个篮球和一个排球各多少元； （2）该中学决定购买排球和篮球共40个，总费用不超过550元，那么该中学至少可以购买多少个排球？ 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 23．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查二元一次方程定义，掌握定义是解题关键．根据二元一次方程未知数的次数为1且系数不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得： ，， ． 故选：A． 2．D 【分析】根据和尚数和馒头数的等量关系直接列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找到等量关系是解答的关键． 3．C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，正确计算是关键； 把代入方程，可得关于a的方程，再解方程即可. 【详解】解：把代入方程，得， 解得：； 故选：C. 4．C 【分析】由方程组中两个方程相加得出，整理后即可得出答案． 【详解】解：由方程组， ①②得：， 即， 故选：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，本题基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是对消元法的考核． 5．B 【分析】由实数a，b同时满足，先消去a，求解b，再检验即可． 【详解】解： 实数a，b同时满足， 解得： 当时，不合题意，故舍去， 所以 故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键． 6．B 【详解】根据题意可得，等量关系有：①由图可得，∠ACD和∠BCD组成了平角，则和是180；②∠ACD的度数比∠BCD的度数的3倍少20°，根据等量关系列方程组得： 故选B. 7．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值． 【详解】解：， 得， ， ∴ ， 故选：B． 8．B 【分析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据与都为正数列不等式组， 解不等式组求出的范围即可． 【详解】解： 解方程组， 得：， 方程组的解为正数， ， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为：， ∴a的取值范围是． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的特征列不等式组，解不等式组， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 9． 【分析】直接利用方程的解的定义把已知数解代入方程得出答案． 【详解】解：是方程=0的一个解， ∴3+10k-5k=0， 解得：k=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，正确把握定义是解题关键． 10．37.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设甲原来有x钱，乙原来有y钱．根据“甲得乙钱的半数则有50钱；乙得甲钱的三分之二也有50钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲原来有x钱，乙原来有y钱． 依题意，得：， 解得：． ∴甲原来有37.5钱， 故答案为：37.5． 11．0 【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 12．（答案不唯一） 【分析】根据题意确定出方程的整数解即可． 【详解】解：方程的一组整数解为 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13． 【分析】设套文具元，套图书元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】设套文元，套图书元，根据题意得：， 解得： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 14．10 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解二元一次方程组，二次根式的混合运算．设，，在中和中，利用勾股定理列得二元一次方程组，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，，则，． 在中和中， ， 得， ∴， 即． 15． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据加减消元法解答即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 原方程组的解为． 16．（1）；（2）嘉善当月至少要卖100件衣服. 【分析】（1）根据两位营业员的月销售件数及月总收入可列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可； （2）可设嘉善当月要卖m件衣服，表示出嘉善的月总收入可列出关于m的一元一次不等式，求解即可. 【详解】解：（1）根据题意得， 解得， 所以； （2）设嘉善当月要卖m件衣服， 根据题意得， 解得， 所以嘉善当月至少要卖100件衣服. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的综合应用，正确理解题意，找准题中等量关系或不等关系是解题的关键. 17．(1)A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 (2)要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． （2）解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 18．(1)购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元 (2)购买个模型时，两种方案费用相同 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，熟知等量关系列出方程是解题的关键． （1）设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元，根据题意列方程即可； （2）设购买种模型个，则购买种模型个，表示出两种方案需要价格，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设模型的销售单价为元，模型的销售单价为元， 可得， 解得， 答：购买模型的销售单价为元，模型的销售单价为元； （2）解：设购买种模型个，则购买种模型个， 则可得， 解得， 答：购买个模型时，两种方案费用相同． 19．该厂获利12000元 【分析】设加工驼奶片x天，加工酸驼奶y天，根据加工的总天数和需要加工的总驼奶质量，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设加工驼奶片x天，加工酸驼奶y天，根据题意得： ， 解得：， 获得利润为（元）， 答：部分制成驼奶片，其余全部制成酸驼奶，该厂获利12000元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组，准确求出方程组的解． 20．（1）该农户购买了柚子树苗350棵，杨梅树苗650棵.（2）最多可购买400棵柚子树苗 【分析】（1）设该农户购柚子树苗棵，杨梅树苗棵，根据题意，列出二元一次方程组即可求出结论； （2）设该农户购柚子树苗m棵，则杨梅树苗（1000－m）棵，列出一元一次不等式即可求出结论． 【详解】解：（1）设该农户购柚子树苗棵，杨梅树苗棵， 依题意有   解得 答：该农户购买了柚子树苗350棵，杨梅树苗650棵． （2）设该农户购柚子树苗m棵，则杨梅树苗（1000－m）棵， 依题意有         解得 答：最多可购买400棵柚子树苗． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 21．（1）购买一个篮球16元，购买一个排球10元；（2）15个 【分析】（1）设每个排球x元，每个篮球y元，根据“购买4个篮球和3个排球需用94元；购买16个篮球和5个排球需用306元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买篮球a个，则购买排球（40-a）个，根据总价=单价×数量结合购买排球和篮球的总费用不超过550元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值整数值即可得出结论． 【详解】（1）设购买一个排球元，购买一个篮球元： ， 解得， 答：设购买一个篮球16元，购买一个排球10元； （2）设该中学可以购买个排球，则购买篮球个： ， 解得， 答：该中学至少可以购买15个排球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元 (2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可． 【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：，解得，， ∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， ∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元． 23．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $