精品解析：上海市进才中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

进才中学高二期末数学试卷 2026.1 一、填空题 1. 抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 2. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得点为以点、为焦点的椭圆，即可求出、、，从而得到椭圆方程. 【详解】因为点到点、的距离之和为， 即，所以点的轨迹为以点、为焦点的椭圆， 且，，所以，所以椭圆方程为. 故答案为： 3. 直线与圆交于A、B两点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长． 【详解】由题意可得圆的圆心为，且半径是，圆心到直线的距离， 所以， 故答案为:. 4. 已知直线：与：平行，则实数a的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知：，且，解之得. 故答案为：-1 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点在上，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过焦半径公式计算出，再把点的坐标代入抛物线即可. 【详解】由抛物线定义可得，又，所以，所以抛物线的方程为， 因为点在上，所以，则. 故答案为： 6. 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个双曲线共渐近线，设双曲线的方程为，，再代入点的坐标，即可求双曲线方程. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，得，即， 所以双曲线方程为，整理为. 故答案为： 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据双曲线的定义写出与，然后代入求解，利用向量数量积运算即可求解. 【详解】由题可知,所以，， 所以由余弦定理 . 所以. 故答案为：1. 8. 设，已知向量，，，若共面，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理即可求解. 【详解】因为共面，所以可设， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 9. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用相似可得出，利用柱体的体积公式得出，其中，再利用导数法可求得的最大值. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则由相似可得，可得， 令，结合，则， 圆柱的体积， 则，其中， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值，即. 故答案为：． 10. 若方程有且只有一个实根，则实数b的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知表示顶点为，其中一条渐近线为的双曲线的上半部分，根据交点个数结合图形分析求解. 【详解】由题意可知：，可得或， 对于，可得，或， 其曲线表示顶点为，其中一条渐近线为的双曲线的上半部分， 方程有且只有一个实根即为曲线与直线有且只有一个交点， 当直线过时，可得； 当直线过时，可得； 结合图象可知：实数b的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个椭圆的焦点，因为两个椭圆的4个交点与、的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以，从而得到以及共圆的方程，联立椭圆与共圆方程求出交点坐标，代入椭圆的方程即可求解. 【详解】椭圆：的焦点坐标分别为,, 椭圆：的焦点坐标分别为,, 因为两个椭圆的4个交点与、的4个焦点共圆，则共圆的圆心在原点，所以. 则，解得：, 所以椭圆方程为：， 共圆的方程为, 联立，解得：, 将代入椭圆：方程， 可得，解得：(负值舍去)， 故答案为： 12. 已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解. 【详解】解：连接,设椭圆的半焦距为，半虚轴为， , . 故答案为：3. 二、选择题 13. 已知曲线，则曲线的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法，令即可得解. 【详解】令，则，解得， 故曲线经过点， 故选：B. 14. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线的方向向量和法向量之间的关系写出直线的方向向量；再根据直线倾斜角、斜率和方向向量之间的关系分类讨论，结合基本不等式即可求解. 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 15. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合线面垂直度的判定定理，异面直线的定义，中位线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】在正方体中，可得， 由线面垂直的判定定理可得得平面， 当点在线段的中点时，平面，此时，所以A正确； 连接，如图所示， 当点为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确； 因为平面，当点和点重合时，平面， 则直线和在同一平面内，所以C错误； 由平面，平面，且， 所以直线始终与直线不相交，且不平行，所以与是异面直线，所以D正确. 故选：C. 16. 已知三棱柱，平面，P是内一点，点E，F在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知到的距离等于到的距离，故而到的距离等于到的距离，得出结论. 【详解】设三棱柱的高为在平面上的射影为， 则当共线时，直线和所成角取得最小值， 不妨设最小值为，则， 当时，直线和平面所成角取得最大值， 不妨设最大值为，则， ∴当直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等时， ，即到的距离等于到直线的距离， 设到的距离为，则， ∴到的距离等于到的距离， ∴的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线的一部分， 故选：C. 【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义，轨迹方程的求解，考查了空间想象与推理能力，属于中档题. 三、解答题 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为 （1）求证: BD⊥PC; （2）求点E到平面BDP的距离. 【答案】（1） 因为底面是正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直证明平面，进而可得结论； （2）先求的长，再利用向量求解点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，则即为PC与底面所成的角， 由题意， 因为，所以， 以为坐标原点，分别为轴的正方向，建系如图， ,； ； 设是平面的一个法向量，则,， 令，得，即， 点E到平面BDP的距离为. 18. 已知圆：，圆：，直线经过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）动点、分别在圆和圆上，试在轴上找一点，使得取得最小值，并求出该最小值及点的坐标． 【答案】（1）或 （2）最小值；坐标 【解析】 【分析】（1）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式求解即可； （2）作圆关于x轴的对称圆，由对称性可知，点P关于x轴的对称点R在圆上， 故，则，根据两点之间线段最短，（当且仅当M在连线上时取等号）即可求解. 【小问1详解】 当直线斜率存在时，设直线方程为， 整理为，圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切的条件，圆心到直线的距离等于半径， 即：，化简得，解得， 将代入所设方程，得直线：， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 验证：圆心到直线的距离为3，满足相切条件， 综上，直线的方程为或． 【小问2详解】 作圆关于x轴的对称圆，圆：， 则的方程为，圆心，半径； 圆的圆心，半径，由对称性可知，点P关于x轴的对称点R在圆上， 故，则， 根据两点之间线段最短，（当且仅当M在连线上时取等号）， ， 因此的最小值为， 先求直线的方程，斜率， 直线方程为，令，解得，即点M的坐标为． 19. 某港口规划建设货物转运区，其平面布局可以建立直角坐标系分析：码头A、B分别位于x轴上，的中点O为坐标原点，且千米，货物集散中心C在O的正北2千米处，转运点P为港区内一动点，点P到A点的距离，比其与B点的距离多出4千米． （1）求转运点P的轨迹方程； （2）过点C的一条直线交P的轨迹于不同两点M、N，O为坐标原点，若，求直线斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设：，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合弦长公式即可求解. 【小问1详解】 不妨假设点在轴负半轴，在轴的正半轴， 因为， 所以P的轨迹是以A、B为焦点实轴长等于4的双曲线的右支 则转运点P的轨迹方程． 【小问2详解】 设：，，，，， 联立，得， ，解得， ，， ，，，，， 因为，综上，． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于P、Q两点. （1）若的离心率为，求的值； （2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标； （3）设直线OQ交椭圆于另一点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及椭圆方程计算可得； （2）画出图形，由为等腰三角形，验证与、与是否相等，数形结合易知，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知， 椭圆焦点在轴上，，则，则， 因此.. 【小问2详解】 当时，椭圆，其中， 如下图所示： 设点，且， 因为为等腰三角形，且在第一象限，已知， 由椭圆对称性和点位置可知，， 若，则， 所以，可得， 又因为在椭圆上，所以，即， 将代入中，得到， 展开并化简可得：， 即，进一步变形为， ，则此方程无实数解；故； 若，则， 将代入可得，展开并化简： ，即， 因式分解为，解得或（舍去）， 将代入椭圆方程可得，所以. 【小问3详解】 设直线的方程为， 将代入椭圆方程，得到， 展开并整理可得， 由得 由韦达定理可得， 因为与关于原点对称，所以， 又，则， 根据向量数量积求解：已知，则， 将代入上式可得： 整理得 将代入上式可得： ，即， 因为，所以， 所以，又，所以. 21. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】（1）偶函数，理由：因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2） （3）证明：不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 【解析】 【分析】（1）先分析得到，然后根据得到的关系，由此完成证明； （2）根据题设条件将问题转化为“时，”，然后构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，”和“当时，”，由此完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，对称轴且开口向上，对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设， 所以， 即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上，故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上可知，的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的综合应用，对学生理解与分析问题的能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，有时解答问题时还需要用类比的方法去理解问题，本题第三问用反证法证明较为方便. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学高二期末数学试卷 2026.1 一、填空题 1. 抛物线的焦点坐标为________． 2. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 3. 直线与圆交于A、B两点，则______． 4. 已知直线：与：平行，则实数a的值为_____. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点在上，，则______． 6. 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为________． 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 8. 设，已知向量，，，若共面，则______． 9. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 10. 若方程有且只有一个实根，则实数b的取值范围为________． 11. 已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 12. 已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______. 二、选择题 13. 已知曲线，则曲线的大致图像是（ ） A. B. C. D. 14. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 16. 已知三棱柱，平面，P是内一点，点E，F在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 三、解答题 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为 （1）求证: BD⊥PC; （2）求点E到平面BDP的距离. 18. 已知圆：，圆：，直线经过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）动点、分别在圆和圆上，试在轴上找一点，使得取得最小值，并求出该最小值及点的坐标． 19. 某港口规划建设货物转运区，其平面布局可以建立直角坐标系分析：码头A、B分别位于x轴上，的中点O为坐标原点，且千米，货物集散中心C在O的正北2千米处，转运点P为港区内一动点，点P到A点的距离，比其与B点的距离多出4千米． （1）求转运点P的轨迹方程； （2）过点C的一条直线交P的轨迹于不同两点M、N，O为坐标原点，若，求直线斜率． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于P、Q两点. （1）若的离心率为，求的值； （2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标； （3）设直线OQ交椭圆于另一点，若，求的取值范围. 21. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $