上海市进才中学2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

进才中学高二期末数学试卷 2026.1 一、填空题 1. 抛物线的焦点坐标为________． 2. 在平面直角坐标系中，点到点、的距离之和为，则点的轨迹方程是______. 3. 直线与圆交于A、B两点，则______． 4. 已知直线：与：平行，则实数a的值为_____. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点在上，，则______． 6. 双曲线与双曲线共渐近线且过点，则的标准方程为________． 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 8. 设，已知向量，，，若共面，则______． 9. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为________． 10. 若方程有且只有一个实根，则实数b的取值范围为________． 11. 已知椭圆：与椭圆：在四个象限内有4个交点A、B、C、D，且这4个交点与、的4个焦点共圆，则______． 12. 已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______. 二、选择题 13. 已知曲线，则曲线的大致图像是（ ） A. B. C. D. 14. 已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 存在点，使得； B. 存在点，使得； C. 直线始终与直线异面； D. 直线始终与直线异面. 16. 已知三棱柱，平面，P是内一点，点E，F在直线上运动，若直线和所成角的最小值与直线和平面所成角的最大值相等，则满足条件的点P的轨迹是（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分 三、解答题 17. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，E为BC的中点，PC与底面所成的角为 （1）求证: BD⊥PC; （2）求点E到平面BDP的距离. 18. 已知圆：，圆：，直线经过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）动点、分别在圆和圆上，试在轴上找一点，使得取得最小值，并求出该最小值及点的坐标． 19. 某港口规划建设货物转运区，其平面布局可以建立直角坐标系分析：码头A、B分别位于x轴上，的中点O为坐标原点，且千米，货物集散中心C在O的正北2千米处，转运点P为港区内一动点，点P到A点的距离，比其与B点的距离多出4千米． （1）求转运点P的轨迹方程； （2）过点C的一条直线交P的轨迹于不同两点M、N，O为坐标原点，若，求直线斜率． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为.过点的直线交椭圆于P、Q两点. （1）若的离心率为，求的值； （2）若为等腰三角形且在第一象限，求点的坐标； （3）设直线OQ交椭圆于另一点，若，求的取值范围. 21. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”.已知函数是函数在集合上的“约束函数”. （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数a的取值范围； （3）若为严格减函数，，，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 进才中学高二期末数学试卷 2026.1 一、填空题 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】2 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】1 【8题答案】 【答案】5 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】3 二、选择题 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1） 因为底面是正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1）或 （2）最小值；坐标 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）偶函数，理由：因为，所以对有， 令，且， 因为， 所以， 所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数； （2） （3）证明：不妨设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得； 假设存在，使得， 设，则，， 所以使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有， 所以是上的严格增函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $