安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学周测（11.28）

11月28日高二数学周末作业 一、单选题 1．顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，则（　　） A． B． C． D． 4．已知直线：，：，若 ，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 5．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 7．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中不正确的是（　　） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 10．已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆关于直线对称 B．线段所在直线的方程为 C．圆与圆的公切线方程为或 D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11 11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则的最大值为 D．满足的点的轨迹长度为 三、填空题 12．直线与间的距离为 13．已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 14．已知抛物线上有两个不同的点，线段的垂直平分线交轴于点，且的最大值为6，则 ． 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 16．已知圆外有一点，过点作直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 17．已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 18．如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、1 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 选择题（请用2B铅笔填涂） 1、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 5、[A][B][C]ID] 10、[A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 11月28日高二数学周末作业 一、单选题 1．顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】根据抛物线的标准方程与焦点的关系求解即可. 【详解】焦点坐标为在轴正半轴上，可设抛物线方程为， 又，则，故抛物线的标准方程为. 故选：C 2．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线两点式方程及辨析 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 3．已知空间向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 4．已知直线：，：，若 ，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】若：，：，当时，，代入后需验证，排除两直线重合的情况. 【详解】因为，所以， 即：，，解得：或， 当时，：，：，符合题意； 当时，：，即：， ：，此时与重合，舍去. 故选：A 5．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据题中几何体，利用空间向量的加法运算逐一判断选项的正误即可. 【详解】依题意可知，选项A中，，故A正确； 选项B中，，故B正确； 选项C中，，故C正确； 选项D中，，故D错误. 故选：D. 6．设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 7．棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】利用给定条件判断的轨迹，再建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法将所求夹角余弦值表示为三角函数，结合三角函数的有界性求出取值范围即可. 【详解】首先，记在底面内的投影为，则底面， 因为平面，所以， 因为在正四面体中，是等边三角形， 则，是的中心， 则， 由题意得，则， 所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系： 设与轴正半轴所成的角为，则，， 所以， 设直线与直线所成的角为， 所以， 因为，所以. 故选：A. 8．已知，是圆上两点，且. 若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轨迹问题——圆、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据直线与圆相交的弦长可得中点的轨迹为，又根据直线，的方程可知，交点的轨迹方程为，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数的取值范围. 【详解】圆，半径为， 设中点为，且直线与圆的相交弦长为， 即， 所以点的轨迹方程为， 又直线过定点， 直线过定点， 且， 则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上， 则圆心，半径， 所以点的轨迹方程为， 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点， 若点恰为中点可知圆与圆有公共点， 即，， 即， 解得， 即， 故选：A. 二、多选题 9．下列说法中不正确的是（　　） A．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线 B．平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 C．平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线 D．平面内与两个定点和的距离之比等于2的点的轨迹是圆 【答案】ABC 【知识点】轨迹问题——圆、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、抛物线定义的理解 【分析】对A,举反例，定点在直线上判断即可；对B，根据判断即可；对C，根据双曲线的定义判断即可；对D，设所求点为，再根据条件化简求解即可. 【详解】对A，当定点在直线上时，轨迹为过且与垂直的直线，故A错误； 对B，平面内与两个定点和的距离之和等于4的点的轨迹是线段，故B错误； 对C，平面内与两个定点和的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故C错误； 对D，设所求点为，则，即， 则，化简可得，轨迹是圆，故D正确. 故选：ABC 10．已知圆：，圆：，且与交于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆关于直线对称 B．线段所在直线的方程为 C．圆与圆的公切线方程为或 D．若A，B分别是与上的动点，则的最大值为11 【答案】AD 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、圆的公切线方程 【分析】利用等圆的性质可判定A，根据两圆公共弦方程公式可判定B，利用直线与圆的位置关系计算可判定C，利用两圆的位置关系计算可判定D. 【详解】对于A，两圆的半径均为3，则为线段的垂直平分线，故圆与圆关于直线PQ对称，A正确； 对于B，因为圆与圆相交，所以两个方程相减可得直线的方程为，B错误； 对于C，因为圆与圆相交，所以有两条公切线， 又两圆的半径相等，所以公切线与平行，即公切线的斜率， 设公切线方程为，即，所以，解得， 所以与的公切线方程为或，C错误； 对于D，的最大值为，D正确. 故选：AD 11．在正方体中，，为正方形内（包括边界）一动点，为的中点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则的最大值为 D．满足的点的轨迹长度为 【答案】AD 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量垂直的坐标表示、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设点，其中、，利用空间向量法可判断BC选项；根据可得出、的关系式，确定点的轨迹，并求其长度，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面平面，平面， 所以点到平面的距离等于， 因为四边形是边长为的正方形，故， 因此为定值，A对； 对于B选项，取的中点，的中点，连接． 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、． 设，其中、，则，， ， 因为，所以， 所以，不存在点，使得，B错； 对于C选项，，， 所以，即， 因为，所以， 故当时，的最大值为，C错； 对于D选项，，， 由得，即， 又因为、，所以、， 所以点的轨迹为平面内的线段， 即图中的线段，由图知， 故满足的点的轨迹长度为，D正确． 故选：AD. 三、填空题 12．直线与间的距离为 【答案】/ 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】将直线化为， 所以两平行直线间的距离. 故答案为：. 13．已知点是所在平面内的任意一点，是平面外的一点，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基本定理及其应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用共面向量的基本定理结合空间向量的基本定理可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为点是所在平面内的任意一点，则存在、，使得， 即， 所以，， 又因为是平面外的一点，则、、不共面， 因为，则，，， 所以，，所以，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为：. 14．已知抛物线上有两个不同的点，线段的垂直平分线交轴于点，且的最大值为6，则 ． 【答案】2 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】涉及中点弦，用中点的坐标以及（点差法）表示线段的垂直平分线的斜率，结合题意可列方程消去参数得，，结合三角形三边关系得的最大值，进一步可列方程求出. 【详解】设，线段的中点为，易知直线的斜率存在且不为0． 设直线的斜率为，则， 故． 则． 设的焦点为，连接，则有． 又因为的最大值为6， 所以根据抛物线性质和三角形三边关系知，，等号成立当且仅当为焦点弦； 则． 故答案为：2. 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程， （2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程. 【详解】（1）设边上的高为， ∵直线与垂直，又直线的斜率， ∴的斜率. 又∵直线过点， ∴的方程为，整理成一般方程为. （2）∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等， ∴直线与平行或过的中点. ①当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为； ②当直线过的中点时，直线的斜率且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为. 综上，直线的方程为或. 16．已知圆外有一点，过点作直线． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)点为圆上任意一点，已知，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）通过斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可； （2）设，得到．由表示圆上的点与点的距离的平方，即可求解. 【详解】（1）由题知，圆心坐标为，半径为， 当斜率不存在时，直线的方程为； 当斜率存在时，设直线的方程为，则， 解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为或； （2）设，则 ． 设，则表示圆上的点与点的距离的平方，可知， 又，则点在圆外面． 所以， 则． 则的最小值为． 17．已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 18．如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）6；（ⅱ） 【知识点】证明面面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）在平面内过点作于点，连接，利用边长关系以及勾股定理可得， 从而可得平面，即可证明平面平面； （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （ⅰ）设，即，分别表示出各点坐标，利用四点共面得，从而求出即可求解； （ⅱ）利用得到，利用线面垂直的空间向量关系即可求解. 【详解】（1）在平面内过点作于点，连接. 在梯形中，由，，， 易得，则，，即. 在中，由余弦定理，得 . ∵，且， ∴，又，得平面. ∵平面∴平面平面. （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知，得 ，，，， 则的中点，的中点. （ⅰ）设，即，由，得， 则. ∵，，，四点共面，∴，即 ， 得，解得，即. （ⅱ）设， 则，. ∵直线平面，得，解得. 则， ∴. 19．已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii） 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为，代入点求解即可； （2）（i）设直线的方程为,联立直线与双曲线，由韦达定理代入关系式，化简整理得的关系，求得定点； （ii）由（2）得的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可.. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $