安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学10.31周测

阜阳三中高二数学周末作业10.31 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．直线和直线互相平行，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．“”是“坐标原点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 5．已知圆直线，，则下列说法错误的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 D．圆与圆只有一条公切线 6．已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 7．已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距是 C．过点且在轴截距相等的直线方程为 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 10．已知点，，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．面积的最大值为4 C．点到点的距离的最大值为6 D．的最大值为18 11．已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．三角形的面积的最大值为 C．三角形的周长为8 D． 三、填空题 12．两条直线与相交于第一象限，则实数a的取值范围是 . 13．已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为 . 14．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，动点P在直线DC上移动，对于下列四个结论： ①存在唯一点P，使得； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得截面形状是梯形或平行四边形； ④的面积最小值为； 则所有正确结论的序号是 . 三、解答题 15．如图所示，已知为正方形ABCD的中心，且直线AB的方程为. (1)求点G到直线AB的距离； (2)求BC边所在的直线的方程； (3)求正方形ABCD外接圆的方程. 16．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程 (2)求过点的圆的切线方程； 17．已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 18．如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 19．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点． (1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程； (2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级阜阳三中2025年10月22日数学周末作业 一、单选题（每题5分） 1．已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．经过，两点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．圆的圆心和半径分别是（ ） A． B． C． D． 4．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．若圆关于点对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．若点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（   ） A． B． C． D．2 7．如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分） 9．给出下列结论，其中说法正确的是（    ） A．若是直线的一个方向向量，则是该直线的斜率 B．若直线的斜率是，则是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 10．已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 11．如图，在正四棱柱中，，P是正四棱柱内一点（含表面），且，则下列结论正确的是（   ）    A．若，，，则点在平面内 B．若，，则平面 C．若，则平面 D．若，则点P到平面的距离为定值 三、填空题（每题5分） 12．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为 ． 13．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在中，，，，则的九点圆的方程是 ． 14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 4、 解答题 15．求满足下列条件的直线的方程： (1)直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，求直线l的方程； (2)已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程． 16．已知圆的圆心为，它过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程; (2)若过点且斜率为的直线交圆于，两点，若弦的长为，求直线的方程. 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 (1)求角的大小 (2)若是的角平分线，，，求的长度 (3)若，点满足，，求的面积； 18．如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，且，平面与平面的交线为． (1)证明：； (2)若为上的一点，求三棱锥的体积． 19．在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，求平面的方程； (2)求证：是平面的一个法向量； (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024级阜阳三中2025年10月22日周末作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A A B A C ABC ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据向量的减法坐标运算，即可由模长公式求解. 【详解】由已知，故， 故选：C 2．C 【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算可得. 【详解】设经过，两点的直线的倾斜角为， 则，则. 故选：C. 3．B 【分析】将圆的方程化成标准方程，即可求解. 【详解】解：. 故选：B. 4．A 【分析】由直线平行的判定列方程求参数值，注意重合情况即可. 【详解】由，则，解得， 当时，，，满足， 故“”是“”的充要条件. 故选：A 5．A 【分析】先根据点关于点对称得出，再根据圆的标准方程求解. 【详解】设关于点对称点， 则，所以，所以，圆的半径为， 所以圆关于点对称的圆的方程为. 故选：A. 6．B 【分析】先求出直线所过定点，得到最大距离时，然后由斜率关系可得. 【详解】直线方程可化为， ，解得， 所以直线恒过点，设为点 此时为点到直线的最大距离，且， 由斜率关系可得. 故选：B. 7．A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 8．C 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，将问题转化成求到直线的距离的最小值，利用点到直线的距离的向量法，得到，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为棱的中点， 则，所以，， 又点在线段上，设，则， 所以，设点到直线的距离为， 则， 由题易知，，则当的面积最小时，即最小， 由二次函数的性质知，时，最小，此时，    故选：C. 9．ABC 【分析】根据直线的斜率和倾斜角，方向向量等概念，结合正切函数的性质逐一判断即得. 【详解】对于A，因是直线的一个方向向量，则直线斜率为，即A正确； 对于B，因直线的斜率是，若设直线的方向向量为，则有，不妨取，则得，即是该直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，根据直线的倾斜角定义可知，任一条直线都有倾斜角，而当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故C正确； 对于D，因直线的倾斜角的正切值为直线的斜率，根据正切函数的性质可知，当倾斜角为时，直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】A选项，将代入，化简得到，得到最小值；B选项，求出关于直线的对称点，最小值为；C选项，结合，得到，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离公式和得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确. 【详解】A选项，点在直线，故， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，设关于的对称点为， 则，解得， 所以，连接，与相交于点， 此时取得最小值，最小值为，B正确； C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得， 又，故， 即，，方程有解， 故存在点，使得，D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】建系，对于A，确定点坐标，即可判断，对于B，确定点坐标，由，可判断，对于C，确定点坐标，求得平面法向量，由可判断，对于D，由点到面的距离公式可判断. 【详解】    如图建立空间直角坐标系， ， 由可得：， 对于A，，即为的中点，所以点P在平面内，正确， 对于B，，则，， 由， 可知：，又为平面两条相交直线， 所以平面，正确， 对于C，， 设为平面的法向量， 则， 令，则， 即 又， 所以与不垂直， 所以平面不成立，错误； 对于D，，平面的法向量为， 所以点P到平面的距离为， 因为，所以，定值，正确， 故选：ABD 12． 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】依题意得，， 则点C到直线AB的距离为 . 故答案为：. 13． 【分析】三条边的中点均为圆上的点，分别设为，求出直线和的垂直平分线的方程，则两垂直平分线的交点即为圆心，再由圆的定义求出半径，即可得到圆的方程. 【详解】记的边，，的中点分别为 则边的中点，边的中点，边的中点， 因为直线的斜率，线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为，即； 因为直线的斜率，线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为，即； 联立，解得. 由垂径定理推论得，该点即为圆心， 结合圆上点可得半径： ， 所以的九点圆的方程为． 故答案为：． 14．9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 15．(1) (2) 【分析】(1)根据两直线方程可得交点的坐标，利用两直线平行的性质求出直线l的斜率，结合点斜式方程即可得出直线方程；(2)B为、C为，分别联立方程组，求出点B、C的坐标，根据两点坐标求出直线BC的方程. 【详解】（1）由，解得，即交点为， 由直线与直线平行，得， 所以直线l的方程为． （2）设B为，则由题意可得，解得B为， 设C为，同理可得解得C为， 则直线的方程为． 16．(1) (2) 【分析】（1）先设出圆M的标准方程，再根据过点及圆M与直线相切建立方程组求解即可； （2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解. 【详解】（1）设圆M的标准方程为： 则圆心M到直线的距离为 由题意得，解得或舍去. 所以，所以圆M的方程为． （2）设直线l的方程为 则圆心M到直线l的距离为 ，因为，解得， 则直线的方程为． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，可求解； （2）由题意可得，计算可求解； （3）由已知可得，平方可得，又由余弦定理可得，计算可得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，又，； （2）若是的角平分线，又， 所以， 所以，又，， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，解得， 所以， 所以的面积为. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可证明结论； （2）求出到平面的距离，再利用等体积法即可求得答案. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面，所以； （2）因为平面，平面，所以平面平面， 又，均在l上，平面，平面， 故平面， 故到平面即为P到平面的距离； 结合为等边三角形，且，则的高为， 即P到平面的距离为，则到平面的距离， 由题意知，为直角三角形，则， 所以． 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过平面方程的新概念求平面的方程； （2）通过平面方程的新概念求平面的法向量与点到平面的距离； （3）通过平面方程的新概念求的方向向量，再根据平面求平面的法向量，再求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，由，得， 所以平面的方程为． （2）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以．     所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． （3）， 设为平面的一个法向量，则令，得， 所以． 因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，                             设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、