精品解析:重庆荣昌区2025--2026学年度第一学期期末学业质量测试八年级数学试题

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2026-01-31
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荣昌区2025—2026学年度第一学期期末学业质量测试 八年级数学试题 (全卷共8页三个大题,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上; 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑,若需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号; 3.答非选择题时,必须用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束,将答题卡交回; 6.本卷中,计算结果如果是无理数,在没有特殊说明的情况下,保留根号或. 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个是正确的,把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上. 1. 下列图案中,是轴对称图形的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念,关键是把握好轴对称图形的判断方法:把某个图形沿某条直线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形,根据定义进行判断即可. 【详解】解:第1个和第3个图案不是轴对称图形,第2个是轴对称图形, 故选C. 2. 计算的结果,正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘,解题关键是掌握同底数幂的乘法法则. 根据同底数幂的乘法法则求解即可. 【详解】解:, 故选: B. 3. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A. 2,5,8 B. 2,5,7 C. 2,5,6 D. 2,5,3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系,即三角形的任意两边之和必须大于第三边,逐项判断即可. 【详解】解:选项A:,不能组成三角形; 选项B:,不能组成三角形; 选项C:,,,能组成三角形; 选项D:,不能组成三角形; 故选C. 4. 在,,,中,分式的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断,解题关键是掌握分式的定义并能熟练运用. 根据分式的定义,逐一判断各表达式即可. 【详解】解:的分母为常数,不是分式; 的分母为常数,不是分式; 的分母含字母,是分式; 的分母含字母,是分式. 分式个数为2, 故选:B. 5. 若一个多边形的每个外角的度数是,则这个多边形是( ) A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题,多边形内角和与外角和综合,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. 利用多边形外角和为的性质,根据每个外角度数求边数. 【详解】解:因为多边形的外角和为,每个外角为, 所以边数, 所以这个多边形是九边形, 故选:A. 6. 如图,,下列条件中,添加后仍不能判定的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用证明三角形全等(),用证明三角形全等(),用证全等()等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解. 根据,可判断A; 根据,可判断B; 根据,可判断C; 没有符合的判定定理,可推得,由此可判断D. 【详解】解:添加, 在与中, , 所以, 故A不符合; 添加, 在与中, , 所以, 故B不符合; 添加, 在与中, , 所以, 故C不符合; 添加,再结合,,不能推得, 故D符合, 故选:D. 7. 下列命题:①六边形的每个外角都是;②角平分线上的点到角两边的距离相等;③等腰三角形两腰上的高相等.其中假命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了真假命题的判断,根据已学相关知识判断即可. 命题①未指定正六边形,故外角不一定为,是假命题;命题②和③均为真命题,故假命题个数为1. 【详解】解:∵ 多边形的外角和恒为,但六边形是正六边形时每个外角才是, ∴六边形的每个外角不一定相等,故命题①是假命题; ∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等(角平分线性质), ∴ 命题②是真命题;. ∵ 等腰三角形两腰相等,且是轴对称图形, ∴ 两腰上的高相等, ∴ 命题③是真命题;. ∴综上可知,假命题的个数为1, 故选:B 8. 如图,在确定匀质薄板的重心位置时,已经通过悬挂画出一条重力线l,还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心,在图中三个点中,可以选择的点的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了重心的概念,两点确定一条直线,解题关键是掌握重心的概念. 根据重心的意义求解. 【详解】解:因为已经通过悬挂画出一条重力线, 所以重心位置一定在直线上, 由图可知:点与都在直线l上, 所以点与都不可选, 所以只有可选, 所以可以选择的点的个数是个, 故选:B. 9. 如图,是等腰直角三角形,,以为边向右作等边三角形,连接,作,且,连接,延长交于点,则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度,三角形内角和定理的应用,等边三角形的性质,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解. 先利用邻补角的意义求得,再根据角的差求得,从而可结合等边三角形的性质与三角形内角和定理求解. 【详解】解:因为, 所以, 因为, 所以, 因为以为边向右作等边三角形, 所以, 所以, 故选:C. 10. 关于的多项式,(为常数),下列说法:①若中不含和项,则;②当时,;③当时,若的值为正整数,则此时所有整数的值的和为20.其中正确的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简.求出,再根据中不含和项,可判断①;求出,可判断②;求出,可判断③. 【详解】解:①∵, ∴, ∵中不含和项, ∴, 解得:,故①错误; ②当时, ,故②错误; ③当时, , ∵的值为正整数, ∴9是的整数倍, ∴取, ∴x的值为, ∵的值为正整数, ∴x取3,5,11, ∴此时所有整数的值的和为,故③错误. 故选:D 二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 要使分式有意义,应满足的条件是___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件,根据分母不等于0,列式计算即可. 【详解】解:由分式有意义的条件得,分母, 解得, 故答案为. 12. 因式分解:______. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式,再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解:. 13. 如图,等腰中,,线段是的中线,,点分别是线段上的动点,连接,则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三线合一,垂线段最短,三角形三边关系的应用等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解. 作出点N关于直线的对称点,再根据垂线段最短求解即可得出当与垂直时最小,利用勾股定理求解与三角形面积求解即可. 【详解】解:作出点N关于直线的对称点,连接,, 则,, 当与垂直时,最小, 最小值为此时的的长, 因为,线段是的中线, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 即的最小值为, 故答案为:. 14. 代数式是完全平方式,则______. 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式.根据完全平方公式即可求出答案. 【详解】解:代数式是完全平方式, , 或, 解得或, 故答案为:或. 15. 如图,中,,点是延长线上一点,连接,在左侧作且,连接,以为边向右侧作等边,交于点,若,则_______度,_______度. 【答案】 ①. 35 ②. 30 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及三角形外角的性质. 由等腰直角三角形的性质得,由三角形外角的性质得,然后证明即可求出,,再求出,然后根据求解即可. 【详解】解:, ∴, ∴. ∵, ∴. ∵,,, ∴, ∴,; ∵是等边三角形, ∴, ∴. ∵, ∴. 故答案为:35,30. 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0,满足,那么称这个三位自然数为“小九数”.例如数257,它各位数字互不相等且均不为0,满足,∴257是“小九数”.最小的“小九数”是_______;若一个“小九数”除以7所得的余数是3,则满足条件的所有“小九数”中最大值与最小值的差是________. 【答案】 ①. 128 ②. 693 【解析】 【分析】本题考查新定义、数的整除、整式的加减、代数式求值,理解题中新定义是解答的关键. 最小的“小九数”需百位数字a最小,,,确定十位数字b得128;对于除以7余3的“小九数”,通过整式的加减确定满足条件的数,再求最大值与最小值的差即可. 【详解】解:∵“小九数”满足各位数字互不相等且均不为0,且, ∴最小的“小九数”中,,,b取2,故为128; 设“小九数”,由,得, ∵除以7余3, ∴除以7余3, 枚举至8,至9且且, 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 当,,时,满足题意,则; 其中最小值为178,最大值为871,差值, 故答案为:128;693. 三、解答题:(本大题共9个小题,第17-18小题各8分,其余每题各10分,共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. 计算: (1); (2). 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方,单项式乘以单项式,多项式除以单项式,熟练掌握积的乘方,单项式乘以单项式,多项式除以单项式的运算法则是解题的关键. (1)先计算乘方,再计算单项式乘以单项式即可; (2)利用多项式除以单项式的运算法则计算即可. 【小问1详解】 解:原式 ; 【小问2详解】 解:原式 . 18. 在学习了角平分线之后,思慧学习小组进行了拓展性研究.如图,在中,点是上一点,,用尺规作图完成以下任务:在射线上作,过点作交于,作射线.请按照以下作法(按作法要求补充完整)完成作图和作法,并根据他们的证明思路完成证明过程. 作法:(1)在射线上作① ; (2)在点处作的同位角,使② ,射线交于点; (3)作射线. 证明:∵. ∴ ∵, ∴. ∵, ∴ ∴. ∵, ∴. ∴③ . ∴. ∴平分. 【答案】①;②;③ 【解析】 【分析】本题考查用直尺和圆规作线段等于已知线段,作角等于已知角,三角形全等的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定,平行线的判定和性质; 【详解】解:如图, 由题意得①在射线上作,②由同位角相等得,③由等边对等角得. 19. 如图,中,,,点是边上一点,过点作于点,交的延长线于点,点是延长线上一点,,连接.求的度数. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质,等边对等角,直角三角形的两个锐角互余等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解. 先根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得,再根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得,然后根据三角形外角的性质与等边对等角求解即可. 【详解】解:因为,, 所以, 又, 所以, 又是的一个外角, 所以, 所以, 因为, 所以, 所以, 所以. 20. 先化简,再求值:,其中. 【答案】 , 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算、分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂、求一个数的绝对值,解题关键是熟练掌握相关运算. 先按照整式的混合运算法则、分式的运算法则,对原式进行化简,再结合零指数幂、负整数指数幂、求一个数的绝对值求出的值后,将其代入计算即可. 【详解】解: , , 原式 . 21. 如图,三个顶点的坐标分别为. (1)将向下平移2个单位长度得到,请完成作图并在图上标注顶点字母; (2)作关于轴对称的,请完成作图并在图上标注顶点字母; (3)求的面积. 【答案】(1)如图,即为所求作; (2)如图,即为所求作; (3) 【解析】 【分析】(1)将向下平移2个单位长度得到; (2)作关于轴对称的; (3)利用网格中三角形所在的矩形面积减去周围的三角形即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解:的面积为. 【点睛】本题考查了平移(作图),画轴对称图形,坐标与图形变化--轴对称,由平移方式确定点的坐标,利用网格求三角形面积等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解. 22. 如图,在和中,四点在同一直线上,,. (1)求证:; (2)若,求的度数. 【答案】(1) 证明:∵, ∴,即, ∵,, ∴, ∴; (2) 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质,三角形外角的性质; (1)求出根据即可得结论; (2)根据全等三角形的性质和三角形外角的性质即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:∵, ∴, ∵, ∴. 23. 荣昌夏布是“荣昌四宝”之一.夏布小镇某专卖店销售的其中两种夏布产品是夏布鞋和夏布袜,已知每双夏布鞋的价格比每双夏布袜的价格多40元,某顾客准备用300元购买夏布鞋的数量与用100元购买的夏布袜的数量相同. (1)夏布鞋、夏布袜每双售价各是多少元? (2)该顾客准备多购买一些夏布鞋和夏布袜,经讨价还价,该店决定给予每双夏布鞋优惠10元,每双夏布袜降价.已知他购买的夏布袜数量是夏布鞋的2倍,共花费了960元.该顾客分别购买了多少双夏布鞋和夏布袜? 【答案】(1)夏布鞋每双售价是60元,夏布袜每双售价为20元 (2)夏布鞋12双,夏布袜24双 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,一元一次方程的应用: (1)设夏布袜每双售价是x元,则夏布鞋每双售价是元,根据题意,列出方程,即可求解; (2)设购买了m双夏布鞋,则夏布袜双,根据题意,列出方程,即可求解. 【小问1详解】 解:设夏布袜每双售价是x元,则夏布鞋每双售价是元, 根据题意得:, 解得:, 经检验:是原方程的解,且符合题意, 此时, 答:夏布鞋每双售价是60元,夏布袜每双售价为20元; 【小问2详解】 解:设购买了m双夏布鞋,则夏布袜双, 根据题意得:, 解得:, 此时, 答:购买了夏布鞋12双,夏布袜24双. 24. 综合阅读与实践.我们把多项式,叫做完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式,完全平方式具有非负性.于是,我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式,利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大(或最小)值问题. 例如:①, ∵是非负数,即,∴, 则当时,代数式的最小值是3; ②. ∵是非负数,即,∴, 则当时,代数式取得最小值2. 请根据阅读内容,完成以下问题: (1)知识再现:当____________时,代数式的最小值是____________; (2)知识运用:若,求当为何值时,有最大值,并求出最大值; (3)知识拓展:若,求的最大值. 【答案】(1)2,2 (2)当时,y有最大值5 (3)5 【解析】 【分析】本题考查利用配方法求代数式的最值.通过将代数式配方成完全平方形式,利用平方项的非负性确定最值及对应的变量值. (1)根据题目中的配方法求解即可. (2)根据题目中的配方法求解即可. (3)从方程中整理出y的表达式,然后代入得到新代数式,对新代数式配方,根据平方项非负性求最小值. 【小问1详解】 解:, ∵是非负数,即 ∴, 则当时,有最小值2. 故答案为:2,2. 【小问2详解】 解:, ∵是非负数,即, ∴, ∴, 则当时,有最大值5. 【小问3详解】 解:∵, ∴, ∴ ∵, ∴, ∴, 则当时,有最大值5. 25. 等边中,点为上一点,连接,点为上一点,连接. (1)如图1,若,,求的度数; (2)如图2,以为边向逆时针方向作等边,点为上一点,,过点作交于点,当点共线时,猜想与的数量关系,并证明你的结论; (3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内,得到对应线段,连接,若点为的中点,点在边上运动的过程中,当点到直线的距离取最大值时,请直接写出的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】(1)根据三角形外角的性质可得,再由等腰三角形的两底角相等求出,由此即可得出; (2)先证明,进而可得,从而可得,进而证明,由此可得; (3)根据点到直线的距离垂线段最短,可得当与重合时,,点到直线的距离取最大值,最大值为,过点作,垂足为,设,根据对称可知,再利用和直角三角形性质求出,,进而求出,,再利用等高三角形的面积比等于底边之比求得,,由此求出比值. 【小问1详解】 解:∵等边, ∴, 又∵,, ∴, ∵, ∴, ∴. 【小问2详解】 解:结论为, 理由:如图,设与交于点, ∵和是等边三角形, ∴,,, 又∴,, ∴, ∴, ∴,, ∵,,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴,即. 【小问3详解】 解:由折叠可知:,, 过点作,垂足为,如解图, ∵, ∴当与重合时,,取最大值,最大值为,如解图, ∴, ∴, 过点作,垂足为, 设, ∴,, ∴,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵点为的中点, ∴, ∴. 【点睛】本题是几何变换综合题,考查了等边三角形的判定和性质,轴对称的性质,全等三角形的判定和性质、勾股定理,解题的关键是利用全等三角形转化角和相等关系,添加恰当辅助线构造直角三角形求线段长. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $ 荣昌区2025—2026学年度第一学期期末学业质量测试 八年级数学试题 (全卷共8页三个大题,满分150分,考试时间120分钟) 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上; 2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑,若需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号; 3.答非选择题时,必须用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束,将答题卡交回; 6.本卷中,计算结果如果是无理数,在没有特殊说明的情况下,保留根号或. 一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个是正确的,把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上. 1. 下列图案中,是轴对称图形的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 计算的结果,正确的是( ) A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A. 2,5,8 B. 2,5,7 C. 2,5,6 D. 2,5,3 4. 在,,,中,分式的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 若一个多边形的每个外角的度数是,则这个多边形是( ) A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 6. 如图,,下列条件中,添加后仍不能判定的是( ) A. B. C. D. 7. 下列命题:①六边形的每个外角都是;②角平分线上的点到角两边的距离相等;③等腰三角形两腰上的高相等.其中假命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图,在确定匀质薄板的重心位置时,已经通过悬挂画出一条重力线l,还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心,在图中三个点中,可以选择的点的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 如图,是等腰直角三角形,,以为边向右作等边三角形,连接,作,且,连接,延长交于点,则的度数为( ) A. B. C. D. 10. 关于的多项式,(为常数),下列说法:①若中不含和项,则;②当时,;③当时,若的值为正整数,则此时所有整数的值的和为20.其中正确的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 要使分式有意义,应满足的条件是___________. 12. 因式分解:______. 13. 如图,等腰中,,线段是的中线,,点分别是线段上的动点,连接,则的最小值为___________. 14. 代数式是完全平方式,则______. 15. 如图,中,,点是延长线上一点,连接,在左侧作且,连接,以为边向右侧作等边,交于点,若,则_______度,_______度. 16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0,满足,那么称这个三位自然数为“小九数”.例如数257,它各位数字互不相等且均不为0,满足,∴257是“小九数”.最小的“小九数”是_______;若一个“小九数”除以7所得的余数是3,则满足条件的所有“小九数”中最大值与最小值的差是________. 三、解答题:(本大题共9个小题,第17-18小题各8分,其余每题各10分,共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. 计算: (1); (2). 18. 在学习了角平分线之后,思慧学习小组进行了拓展性研究.如图,在中,点是上一点,,用尺规作图完成以下任务:在射线上作,过点作交于,作射线.请按照以下作法(按作法要求补充完整)完成作图和作法,并根据他们的证明思路完成证明过程. 作法:(1)在射线上作① ; (2)在点处作的同位角,使② ,射线交于点; (3)作射线. 证明:∵. ∴ ∵, ∴. ∵, ∴ ∴. ∵, ∴. ∴③ . ∴. ∴平分. 19. 如图,中,,,点是边上一点,过点作于点,交的延长线于点,点是延长线上一点,,连接.求的度数. 20. 先化简,再求值:,其中. 21. 如图,三个顶点的坐标分别为. (1)将向下平移2个单位长度得到,请完成作图并在图上标注顶点字母; (2)作关于轴对称的,请完成作图并在图上标注顶点字母; (3)求的面积. 22. 如图,在和中,四点在同一直线上,,. (1)求证:; (2)若,求的度数. 23. 荣昌夏布是“荣昌四宝”之一.夏布小镇某专卖店销售的其中两种夏布产品是夏布鞋和夏布袜,已知每双夏布鞋的价格比每双夏布袜的价格多40元,某顾客准备用300元购买夏布鞋的数量与用100元购买的夏布袜的数量相同. (1)夏布鞋、夏布袜每双售价各是多少元? (2)该顾客准备多购买一些夏布鞋和夏布袜,经讨价还价,该店决定给予每双夏布鞋优惠10元,每双夏布袜降价.已知他购买的夏布袜数量是夏布鞋的2倍,共花费了960元.该顾客分别购买了多少双夏布鞋和夏布袜? 24. 综合阅读与实践.我们把多项式,叫做完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式,完全平方式具有非负性.于是,我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式,利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大(或最小)值问题. 例如:①, ∵是非负数,即,∴, 则当时,代数式的最小值是3; ②. ∵是非负数,即,∴, 则当时,代数式取得最小值2. 请根据阅读内容,完成以下问题: (1)知识再现:当____________时,代数式的最小值是____________; (2)知识运用:若,求当为何值时,有最大值,并求出最大值; (3)知识拓展:若,求的最大值. 25. 等边中,点为上一点,连接,点为上一点,连接. (1)如图1,若,,求的度数; (2)如图2,以为边向逆时针方向作等边,点为上一点,,过点作交于点,当点共线时,猜想与的数量关系,并证明你的结论; (3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内,得到对应线段,连接,若点为的中点,点在边上运动的过程中,当点到直线的距离取最大值时,请直接写出的值. 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $

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