精品解析:重庆荣昌区2025--2026学年度第一学期期末学业质量测试八年级数学试题
2026-01-31
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内容正文:
荣昌区2025—2026学年度第一学期期末学业质量测试
八年级数学试题
(全卷共8页三个大题,满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上;
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑,若需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号;
3.答非选择题时,必须用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上;
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效;
5.考试结束,将答题卡交回;
6.本卷中,计算结果如果是无理数,在没有特殊说明的情况下,保留根号或.
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个是正确的,把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上.
1. 下列图案中,是轴对称图形的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念,关键是把握好轴对称图形的判断方法:把某个图形沿某条直线折叠,如果图形的两部分能够重合,那么这个是轴对称图形,根据定义进行判断即可.
【详解】解:第1个和第3个图案不是轴对称图形,第2个是轴对称图形,
故选C.
2. 计算的结果,正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘,解题关键是掌握同底数幂的乘法法则.
根据同底数幂的乘法法则求解即可.
【详解】解:,
故选: B.
3. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A. 2,5,8 B. 2,5,7 C. 2,5,6 D. 2,5,3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系,即三角形的任意两边之和必须大于第三边,逐项判断即可.
【详解】解:选项A:,不能组成三角形;
选项B:,不能组成三角形;
选项C:,,,能组成三角形;
选项D:,不能组成三角形;
故选C.
4. 在,,,中,分式的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的判断,解题关键是掌握分式的定义并能熟练运用.
根据分式的定义,逐一判断各表达式即可.
【详解】解:的分母为常数,不是分式;
的分母为常数,不是分式;
的分母含字母,是分式;
的分母含字母,是分式.
分式个数为2,
故选:B.
5. 若一个多边形的每个外角的度数是,则这个多边形是( )
A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的外角问题,多边形内角和与外角和综合,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.
利用多边形外角和为的性质,根据每个外角度数求边数.
【详解】解:因为多边形的外角和为,每个外角为,
所以边数,
所以这个多边形是九边形,
故选:A.
6. 如图,,下列条件中,添加后仍不能判定的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用证明三角形全等(),用证明三角形全等(),用证全等()等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解.
根据,可判断A;
根据,可判断B;
根据,可判断C;
没有符合的判定定理,可推得,由此可判断D.
【详解】解:添加,
在与中,
,
所以,
故A不符合;
添加,
在与中,
,
所以,
故B不符合;
添加,
在与中,
,
所以,
故C不符合;
添加,再结合,,不能推得,
故D符合,
故选:D.
7. 下列命题:①六边形的每个外角都是;②角平分线上的点到角两边的距离相等;③等腰三角形两腰上的高相等.其中假命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了真假命题的判断,根据已学相关知识判断即可.
命题①未指定正六边形,故外角不一定为,是假命题;命题②和③均为真命题,故假命题个数为1.
【详解】解:∵ 多边形的外角和恒为,但六边形是正六边形时每个外角才是,
∴六边形的每个外角不一定相等,故命题①是假命题;
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等(角平分线性质),
∴ 命题②是真命题;.
∵ 等腰三角形两腰相等,且是轴对称图形,
∴ 两腰上的高相等,
∴ 命题③是真命题;.
∴综上可知,假命题的个数为1,
故选:B
8. 如图,在确定匀质薄板的重心位置时,已经通过悬挂画出一条重力线l,还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心,在图中三个点中,可以选择的点的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了重心的概念,两点确定一条直线,解题关键是掌握重心的概念.
根据重心的意义求解.
【详解】解:因为已经通过悬挂画出一条重力线,
所以重心位置一定在直线上,
由图可知:点与都在直线l上,
所以点与都不可选,
所以只有可选,
所以可以选择的点的个数是个,
故选:B.
9. 如图,是等腰直角三角形,,以为边向右作等边三角形,连接,作,且,连接,延长交于点,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度,三角形内角和定理的应用,等边三角形的性质,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解.
先利用邻补角的意义求得,再根据角的差求得,从而可结合等边三角形的性质与三角形内角和定理求解.
【详解】解:因为,
所以,
因为,
所以,
因为以为边向右作等边三角形,
所以,
所以,
故选:C.
10. 关于的多项式,(为常数),下列说法:①若中不含和项,则;②当时,;③当时,若的值为正整数,则此时所有整数的值的和为20.其中正确的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简.求出,再根据中不含和项,可判断①;求出,可判断②;求出,可判断③.
【详解】解:①∵,
∴,
∵中不含和项,
∴,
解得:,故①错误;
②当时,
,故②错误;
③当时,
,
∵的值为正整数,
∴9是的整数倍,
∴取,
∴x的值为,
∵的值为正整数,
∴x取3,5,11,
∴此时所有整数的值的和为,故③错误.
故选:D
二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 要使分式有意义,应满足的条件是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件,根据分母不等于0,列式计算即可.
【详解】解:由分式有意义的条件得,分母,
解得,
故答案为.
12. 因式分解:______.
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式,再利用平方差公式进行二次分解即可.
【详解】解:.
13. 如图,等腰中,,线段是的中线,,点分别是线段上的动点,连接,则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三线合一,垂线段最短,三角形三边关系的应用等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解.
作出点N关于直线的对称点,再根据垂线段最短求解即可得出当与垂直时最小,利用勾股定理求解与三角形面积求解即可.
【详解】解:作出点N关于直线的对称点,连接,,
则,,
当与垂直时,最小,
最小值为此时的的长,
因为,线段是的中线,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
即的最小值为,
故答案为:.
14. 代数式是完全平方式,则______.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式,解题的关键是熟练运用完全平方公式.根据完全平方公式即可求出答案.
【详解】解:代数式是完全平方式,
,
或,
解得或,
故答案为:或.
15. 如图,中,,点是延长线上一点,连接,在左侧作且,连接,以为边向右侧作等边,交于点,若,则_______度,_______度.
【答案】 ①. 35 ②. 30
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及三角形外角的性质.
由等腰直角三角形的性质得,由三角形外角的性质得,然后证明即可求出,,再求出,然后根据求解即可.
【详解】解:,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,,,
∴,
∴,;
∵是等边三角形,
∴,
∴.
∵,
∴.
故答案为:35,30.
16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0,满足,那么称这个三位自然数为“小九数”.例如数257,它各位数字互不相等且均不为0,满足,∴257是“小九数”.最小的“小九数”是_______;若一个“小九数”除以7所得的余数是3,则满足条件的所有“小九数”中最大值与最小值的差是________.
【答案】 ①. 128 ②. 693
【解析】
【分析】本题考查新定义、数的整除、整式的加减、代数式求值,理解题中新定义是解答的关键.
最小的“小九数”需百位数字a最小,,,确定十位数字b得128;对于除以7余3的“小九数”,通过整式的加减确定满足条件的数,再求最大值与最小值的差即可.
【详解】解:∵“小九数”满足各位数字互不相等且均不为0,且,
∴最小的“小九数”中,,,b取2,故为128;
设“小九数”,由,得,
∵除以7余3,
∴除以7余3,
枚举至8,至9且且,
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
当,,时,满足题意,则;
其中最小值为178,最大值为871,差值,
故答案为:128;693.
三、解答题:(本大题共9个小题,第17-18小题各8分,其余每题各10分,共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17. 计算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方,单项式乘以单项式,多项式除以单项式,熟练掌握积的乘方,单项式乘以单项式,多项式除以单项式的运算法则是解题的关键.
(1)先计算乘方,再计算单项式乘以单项式即可;
(2)利用多项式除以单项式的运算法则计算即可.
【小问1详解】
解:原式
;
【小问2详解】
解:原式
.
18. 在学习了角平分线之后,思慧学习小组进行了拓展性研究.如图,在中,点是上一点,,用尺规作图完成以下任务:在射线上作,过点作交于,作射线.请按照以下作法(按作法要求补充完整)完成作图和作法,并根据他们的证明思路完成证明过程.
作法:(1)在射线上作① ;
(2)在点处作的同位角,使② ,射线交于点;
(3)作射线.
证明:∵.
∴
∵,
∴.
∵,
∴
∴.
∵,
∴.
∴③ .
∴.
∴平分.
【答案】①;②;③
【解析】
【分析】本题考查用直尺和圆规作线段等于已知线段,作角等于已知角,三角形全等的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定,平行线的判定和性质;
【详解】解:如图,
由题意得①在射线上作,②由同位角相等得,③由等边对等角得.
19. 如图,中,,,点是边上一点,过点作于点,交的延长线于点,点是延长线上一点,,连接.求的度数.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质,等边对等角,直角三角形的两个锐角互余等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解.
先根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得,再根据垂直的意义与直角三角形的两个锐角互余求得,然后根据三角形外角的性质与等边对等角求解即可.
【详解】解:因为,,
所以,
又,
所以,
又是的一个外角,
所以,
所以,
因为,
所以,
所以,
所以.
20. 先化简,再求值:,其中.
【答案】
,
【解析】
【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算、分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂、求一个数的绝对值,解题关键是熟练掌握相关运算.
先按照整式的混合运算法则、分式的运算法则,对原式进行化简,再结合零指数幂、负整数指数幂、求一个数的绝对值求出的值后,将其代入计算即可.
【详解】解:
,
,
原式
.
21. 如图,三个顶点的坐标分别为.
(1)将向下平移2个单位长度得到,请完成作图并在图上标注顶点字母;
(2)作关于轴对称的,请完成作图并在图上标注顶点字母;
(3)求的面积.
【答案】(1)如图,即为所求作;
(2)如图,即为所求作;
(3)
【解析】
【分析】(1)将向下平移2个单位长度得到;
(2)作关于轴对称的;
(3)利用网格中三角形所在的矩形面积减去周围的三角形即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解:的面积为.
【点睛】本题考查了平移(作图),画轴对称图形,坐标与图形变化--轴对称,由平移方式确定点的坐标,利用网格求三角形面积等知识点,解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解.
22. 如图,在和中,四点在同一直线上,,.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)
证明:∵,
∴,即,
∵,,
∴,
∴;
(2)
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质,三角形外角的性质;
(1)求出根据即可得结论;
(2)根据全等三角形的性质和三角形外角的性质即可解答.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∵,
∴.
23. 荣昌夏布是“荣昌四宝”之一.夏布小镇某专卖店销售的其中两种夏布产品是夏布鞋和夏布袜,已知每双夏布鞋的价格比每双夏布袜的价格多40元,某顾客准备用300元购买夏布鞋的数量与用100元购买的夏布袜的数量相同.
(1)夏布鞋、夏布袜每双售价各是多少元?
(2)该顾客准备多购买一些夏布鞋和夏布袜,经讨价还价,该店决定给予每双夏布鞋优惠10元,每双夏布袜降价.已知他购买的夏布袜数量是夏布鞋的2倍,共花费了960元.该顾客分别购买了多少双夏布鞋和夏布袜?
【答案】(1)夏布鞋每双售价是60元,夏布袜每双售价为20元
(2)夏布鞋12双,夏布袜24双
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用,一元一次方程的应用:
(1)设夏布袜每双售价是x元,则夏布鞋每双售价是元,根据题意,列出方程,即可求解;
(2)设购买了m双夏布鞋,则夏布袜双,根据题意,列出方程,即可求解.
【小问1详解】
解:设夏布袜每双售价是x元,则夏布鞋每双售价是元,
根据题意得:,
解得:,
经检验:是原方程的解,且符合题意,
此时,
答:夏布鞋每双售价是60元,夏布袜每双售价为20元;
【小问2详解】
解:设购买了m双夏布鞋,则夏布袜双,
根据题意得:,
解得:,
此时,
答:购买了夏布鞋12双,夏布袜24双.
24. 综合阅读与实践.我们把多项式,叫做完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式,完全平方式具有非负性.于是,我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式,利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
例如:①,
∵是非负数,即,∴,
则当时,代数式的最小值是3;
②.
∵是非负数,即,∴,
则当时,代数式取得最小值2.
请根据阅读内容,完成以下问题:
(1)知识再现:当____________时,代数式的最小值是____________;
(2)知识运用:若,求当为何值时,有最大值,并求出最大值;
(3)知识拓展:若,求的最大值.
【答案】(1)2,2 (2)当时,y有最大值5
(3)5
【解析】
【分析】本题考查利用配方法求代数式的最值.通过将代数式配方成完全平方形式,利用平方项的非负性确定最值及对应的变量值.
(1)根据题目中的配方法求解即可.
(2)根据题目中的配方法求解即可.
(3)从方程中整理出y的表达式,然后代入得到新代数式,对新代数式配方,根据平方项非负性求最小值.
【小问1详解】
解:,
∵是非负数,即
∴,
则当时,有最小值2.
故答案为:2,2.
【小问2详解】
解:,
∵是非负数,即,
∴,
∴,
则当时,有最大值5.
【小问3详解】
解:∵,
∴,
∴
∵,
∴,
∴,
则当时,有最大值5.
25. 等边中,点为上一点,连接,点为上一点,连接.
(1)如图1,若,,求的度数;
(2)如图2,以为边向逆时针方向作等边,点为上一点,,过点作交于点,当点共线时,猜想与的数量关系,并证明你的结论;
(3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内,得到对应线段,连接,若点为的中点,点在边上运动的过程中,当点到直线的距离取最大值时,请直接写出的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据三角形外角的性质可得,再由等腰三角形的两底角相等求出,由此即可得出;
(2)先证明,进而可得,从而可得,进而证明,由此可得;
(3)根据点到直线的距离垂线段最短,可得当与重合时,,点到直线的距离取最大值,最大值为,过点作,垂足为,设,根据对称可知,再利用和直角三角形性质求出,,进而求出,,再利用等高三角形的面积比等于底边之比求得,,由此求出比值.
【小问1详解】
解:∵等边,
∴,
又∵,,
∴,
∵,
∴,
∴.
【小问2详解】
解:结论为,
理由:如图,设与交于点,
∵和是等边三角形,
∴,,,
又∴,,
∴,
∴,
∴,,
∵,,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,即.
【小问3详解】
解:由折叠可知:,,
过点作,垂足为,如解图,
∵,
∴当与重合时,,取最大值,最大值为,如解图,
∴,
∴,
过点作,垂足为,
设,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵点为的中点,
∴,
∴.
【点睛】本题是几何变换综合题,考查了等边三角形的判定和性质,轴对称的性质,全等三角形的判定和性质、勾股定理,解题的关键是利用全等三角形转化角和相等关系,添加恰当辅助线构造直角三角形求线段长.
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荣昌区2025—2026学年度第一学期期末学业质量测试
八年级数学试题
(全卷共8页三个大题,满分150分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上;
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题的答案标号涂黑,若需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号;
3.答非选择题时,必须用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上;
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效;
5.考试结束,将答题卡交回;
6.本卷中,计算结果如果是无理数,在没有特殊说明的情况下,保留根号或.
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个是正确的,把正确结论的代号填涂在答题卡的相应位置上.
1. 下列图案中,是轴对称图形的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 计算的结果,正确的是( )
A. B. C. D.
3. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A. 2,5,8 B. 2,5,7 C. 2,5,6 D. 2,5,3
4. 在,,,中,分式的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5. 若一个多边形的每个外角的度数是,则这个多边形是( )
A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形
6. 如图,,下列条件中,添加后仍不能判定的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列命题:①六边形的每个外角都是;②角平分线上的点到角两边的距离相等;③等腰三角形两腰上的高相等.其中假命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图,在确定匀质薄板的重心位置时,已经通过悬挂画出一条重力线l,还需选择一个点作为悬挂点再次画出重力线才能找到重心,在图中三个点中,可以选择的点的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
9. 如图,是等腰直角三角形,,以为边向右作等边三角形,连接,作,且,连接,延长交于点,则的度数为( )
A. B. C. D.
10. 关于的多项式,(为常数),下列说法:①若中不含和项,则;②当时,;③当时,若的值为正整数,则此时所有整数的值的和为20.其中正确的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 要使分式有意义,应满足的条件是___________.
12. 因式分解:______.
13. 如图,等腰中,,线段是的中线,,点分别是线段上的动点,连接,则的最小值为___________.
14. 代数式是完全平方式,则______.
15. 如图,中,,点是延长线上一点,连接,在左侧作且,连接,以为边向右侧作等边,交于点,若,则_______度,_______度.
16. 如果一个三位自然数的各位数字互不相等且均不为0,满足,那么称这个三位自然数为“小九数”.例如数257,它各位数字互不相等且均不为0,满足,∴257是“小九数”.最小的“小九数”是_______;若一个“小九数”除以7所得的余数是3,则满足条件的所有“小九数”中最大值与最小值的差是________.
三、解答题:(本大题共9个小题,第17-18小题各8分,其余每题各10分,共86分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17. 计算:
(1);
(2).
18. 在学习了角平分线之后,思慧学习小组进行了拓展性研究.如图,在中,点是上一点,,用尺规作图完成以下任务:在射线上作,过点作交于,作射线.请按照以下作法(按作法要求补充完整)完成作图和作法,并根据他们的证明思路完成证明过程.
作法:(1)在射线上作① ;
(2)在点处作的同位角,使② ,射线交于点;
(3)作射线.
证明:∵.
∴
∵,
∴.
∵,
∴
∴.
∵,
∴.
∴③ .
∴.
∴平分.
19. 如图,中,,,点是边上一点,过点作于点,交的延长线于点,点是延长线上一点,,连接.求的度数.
20. 先化简,再求值:,其中.
21. 如图,三个顶点的坐标分别为.
(1)将向下平移2个单位长度得到,请完成作图并在图上标注顶点字母;
(2)作关于轴对称的,请完成作图并在图上标注顶点字母;
(3)求的面积.
22. 如图,在和中,四点在同一直线上,,.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
23. 荣昌夏布是“荣昌四宝”之一.夏布小镇某专卖店销售的其中两种夏布产品是夏布鞋和夏布袜,已知每双夏布鞋的价格比每双夏布袜的价格多40元,某顾客准备用300元购买夏布鞋的数量与用100元购买的夏布袜的数量相同.
(1)夏布鞋、夏布袜每双售价各是多少元?
(2)该顾客准备多购买一些夏布鞋和夏布袜,经讨价还价,该店决定给予每双夏布鞋优惠10元,每双夏布袜降价.已知他购买的夏布袜数量是夏布鞋的2倍,共花费了960元.该顾客分别购买了多少双夏布鞋和夏布袜?
24. 综合阅读与实践.我们把多项式,叫做完全平方式,在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式,完全平方式具有非负性.于是,我们可以把一个多项式进行部分因式分解为平方的形式,利用其非负性可以用来解决求代数式值的最大(或最小)值问题.
例如:①,
∵是非负数,即,∴,
则当时,代数式的最小值是3;
②.
∵是非负数,即,∴,
则当时,代数式取得最小值2.
请根据阅读内容,完成以下问题:
(1)知识再现:当____________时,代数式的最小值是____________;
(2)知识运用:若,求当为何值时,有最大值,并求出最大值;
(3)知识拓展:若,求的最大值.
25. 等边中,点为上一点,连接,点为上一点,连接.
(1)如图1,若,,求的度数;
(2)如图2,以为边向逆时针方向作等边,点为上一点,,过点作交于点,当点共线时,猜想与的数量关系,并证明你的结论;
(3)将沿所在直线向下翻折到所在平面内,得到对应线段,连接,若点为的中点,点在边上运动的过程中,当点到直线的距离取最大值时,请直接写出的值.
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