安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学9.26周测试题

2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、1 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 选择题（请用2B铅笔填涂） 1、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 5、[A][B][C]ID] 10、[A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、阜阳三中数学周末作业9.26 一、单选题 1.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，(AA+AD)-CD运算的结果为() A.AC B.BD C.AC D.AD 2.过Am2,m+3,B1,2m2)两点的直线1的倾斜角为135°，则m的值为() A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 3.在三棱锥P-ABC中，M是平面ABC内一点，且9PM=8PA+tPB+5MC,则t=() A.月 B.1 C.2 D.3 4.在空间直角坐标系中，P(0,0,0,A1,0,0,B(0,2,0,C(0,0,3),三角形ABC重心为G, 则点P到直线AG的距离为() A B.227 c.217 D.5 17 17 3 5.若过点A(2,1)，8(m,3)的直线的倾斜角a的取值范围是工，3弧 (44, 则实数m的取值范围 是() A.(0,2 B.(0,4) C.（2,4) D.(0,2)U(2,4 6.如图，二面角的度数为60，其棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在这个二面角的 两个面内，并且都垂直于棱AB,若AB=5,AC=BD=4,则线段CD的长为() A.73 B.41 C.73 D.√4I 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点E为BC的中点，点P在线段CC上， 则△DEP面积的最小值为() 试卷第1页，共3页 C B A E B A.2V5 B.3V5 c.√2 D.6V5 5 5 5 8.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=5,PA=4,BC=6,点M在平面 PBC内，且AM=√15，设异面直线AM与BC所成的角为a,则Cos0的最大值为() .…M A. √2 B. 5 c. 5 D 5 二、多选题 9.已知向量=(1，-1，m),6=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是() A.若|d=2,则m=±√2 B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数2，使得a=b D.若ab=-1,则ā+b=(-1,-2,-2) 10.若两直线l,l2的倾斜角分别为1，α2，斜率分别是k,k2,则下列命题正确的是() A.若k1=k2,则a1=a2 B.若k<k2,则a1<a C.若a1<a2,则k<k3 D.若k2<0<k1,则a1<90°<a2 11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶 点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面 试卷第1页，共3页 角，角度用弧度制例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为子，放其各个顶点 的曲率均为2元-3x-号如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，4C=BC=2,44=,点C的 3 22 曲率为，D,E,F分别为AC,AB,AC的中点，则() B A.直线BF与直线CC所成角余弦值为 15 B.在三棱柱ABC-AB,C中，点A的曲率为 6 C.过BC作三棱柱ABC-A,B,C,的截面，使得截面与平面A,DE平行，则截面面积为 13 2 D.当点M在线段AB上运动时，4M+CM的最小值为7 2 三、填空题 12.已知平面a的一个法向量为n=(1,0,),平面a内一点C的坐标为(0,0,1)，平面a外一 点A的坐标为L,2,1),则点A到平面的距离为】 13.正方体ABCD-ABCD,的棱长为1，点M在线段CC1上，且MC=2CM,点P在平 面AB,CD!上，且AP⊥平面MBD1,则线段AP的长为一， 14.知图，在ABC中，4C=22,BC=6,C=年过4C的中点M的动直线I与线段B交 于点N,将△AMN沿直线I向上翻折至△AMW,使得点A在平面BCMN内的射影H落在线 段BC上，则斜线AM与平面BCMN所成角的正弦值的最大值为 试卷第1页，共3页 A N M H 四、解答题 15.已知三棱锥0-ABC中，∠40B=∠B0C=∠40C-号，0A=2,08=3,0C=4,点 D为AC的中点，点E满足OE=2EB,点F满足EF=FD (I)求DE的长： (2)求0F.CB的值 16.直线1经过A3,m),B(m-1,2),直线Z经过点C1,2),D(-2,m+2). (1)若12，求m的值： (2)若1⊥2，求m的值. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面 ABCD,且PA=PD= a,设E,F分别为PC,BD的中点. 2 D A B (I)证明：直线EF/平面PAD; (2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值. 18.设ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,√3 asin C+acosC=b+2c (1)求A: (2)己知ABC的面积为183，M是BC边上靠近点C的三等分点，AM=4,求c+2b的值. 19.如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=√2，AF=1,M是 线段EF的中点. 试卷第1页，共3页 E M CL D A (I)求证：AM/平面BDE; (2)若t=1,求二面角A-DF-B的大小； (3)若线段AC上总存在一点P,使得PF⊥BE,求t的最大值. 试卷第1页，共3页 阜阳三中数学周末作业9.26 未命名 一、单选题 1．在长方体中，运算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 3．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 10．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（    ） A．直线BF与直线所成角余弦值为 B．在三棱柱中，点的曲率为 C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为 D．当点在线段AB上运动时，的最小值为 三、填空题 12．已知平面的一个法向量为，平面内一点的坐标为，平面外一点的坐标为，则点到平面的距离为 . 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且．点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为 ． 14．如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为 ． 四、解答题 15．已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. (1)求的长； (2)求的值. 16．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线PB与平面所成的角的正切值． 18．设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 19．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是线段的中点． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的大小； (3)若线段上总存在一点P，使得，求t的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《阜阳三中数学周末作业9.26》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B B D B D AC AD 题号 11 答案 BD 1．C 【分析】根据空间向量对应线段的位置关系，结合向量加减法的几何意义求结果. 【详解】如下图示，. 故选：C 2．B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 3．B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 4．B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 5．B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 6．D 【分析】分析可知，，，，，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长. 【详解】由题意可知，，，，，， 则， 因为， 所以， ， 因此，. 故选：D. 7．B 【分析】根据题意可知，点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离，进而利用向量法求异面直线与的距离，从而可得面积的最小值. 【详解】因为，点到直线的距离最小时面积取得最小值, 而点在线段上，直线与互为异面直线， 因此点到直线距离的最小值等于异面直线与的距离. 下面用向量法求异面直线与的距离： 以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，,, ，，, 设异面直线与公垂线的方向向量为，则， 即，得， 令，则，即， 于是异面直线与的距离为， 又， 所以面积的最小值为. 故选：B 8．D 【分析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值. 【详解】设线段的中点为，连接， ，为的中点，则， ，则，，同理可得，， ，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，所以，为等边三角形，故为的中点， 平面，平面，则， ，，平面， 以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，则， 则、、、， 由于点在平面内， 可设， 其中，且， 从而， 因为，则， 所以，， 故当时，有最大值，即， 故，即有最大值， 所以，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 9．AC 【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 10．AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 11．BD 【分析】对于B根据曲率的定义计算点的曲率即可判断，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断A，取的中点为，连接，即证平面平面，计算平面的面积即可判断C，设，利用向量求，，设，转化为点到点的距离和点的距离之和，点关于轴对称的点为，则，利用两点距离公式即可求解. 【详解】设,在直三棱柱中,,由点的曲率为, 所以,所以,又,所以, 所以点的曲率为,故B正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意有，， 对于A：，所以， 所以直线BF与直线所成角余弦值为，故A错误； 对于C：取的中点为，连接，由且，所以四边形为平行四边形， 所以，又为的中点，所以，又，所以，又， 所以，又，平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以截面为平面，可知四边形为梯形， 又，， 则点到直线的距离为， 所以梯形的面积为，故C错误； 对于D：， 设， 所以， ， 所以，， 所以， 设，则表示点到点的距离和点的距离之和， 则点关于轴对称的点为， 所以， 所以，所以的最小值为，故D正确. 故选：BD. 12．/ 【分析】求向量的坐标，再求在法向量上的投影向量的模即可. 【详解】由已知， 又在上的投影向量的模为，， 所以点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 13．/ 【分析】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由求出点坐标后可得线段的长． 【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， ，则是靠近的线段的三等分点，， ，， 在平面上，设，则， 由AP⊥平面MBD1，得，解得， 所以，． 故答案为：． 14． 【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论． 【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则， 如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式， 可得，整理为．                   图1                                图2 如图2，在翻折过程中，作于点，则， 并且平面， 所以平面平面， 所以，即，其中． 又动点在线段上，设，所以，且． 由，得， 又因为，对应的的取值为，即， 由已知斜线与平面所成角是， 所以． 故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解. 【详解】（1）在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 .    （2）由，得， 所以 . 16．(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取AD中点O，连结PO，FO，以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面； （2）求出直线PB的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求出直线PB与平面所成角的正切值. 【详解】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形，则， 所以两两垂直，以O为原点，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， ， 则，取平面PAD的法向量为， 所以，且平面， 所以平面； （2）由（1）知：，取平面的法向量， 设直线PB与平面所成的角为θ， 则， ∴，故， ∴直线PB与平面所成的角的正切值为． 18．(1) (2)24 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【详解】（1）由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． （2）由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 19．(1)证明见解析； (2)； (3)的最大值为. 【分析】（1）法一：设，连结，，先证为平行四边形，得到，再由线面平行的判定证结论；法二：证面，构建空间直角坐标系，应用向量法证线面平行； （2）应用向量法求二面角的大小即可； （3）设，其中，进而得到，再结合向量垂直的坐标表示列方程得，最后求t的最大值． 【详解】（1）法一：设，连结，， 矩形中是线段的中点，是线段的中点， 所以，，所以为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直， 面面，，面，所以面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，是线段的中点， 则，，，，，， 从而，，，， 设面的法向量为，则由，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 则，又平面，所以，从而面. （2）若，则，，面的一个法向量为， 设面的法向量为，则，可知， 令，则，，从而面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，因为为锐角，所以， 所以二面角的大小为. （3）因为点在线段上，而， 设，其中，则，从而， 于是，而， 由知，即， 所以，解得，故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，其中，根据向量的坐标表示得到，，再由垂直关系列方程得到参数关系为关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $