安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学9.12周测

2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 阜阳三中数学周末作业9.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于向量的命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了向量的定义，向量共线的定义，相等向量的定义，共线向量的定义，属于基础题． 根据向量的定义即可判断A错误，根据向量共线的定义即可判断B错误，显然正确，对于选项D，当时，便得不出，即得出选项D错误． 【解答】 解：对于：向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； 对于：长度相等不能得出向量相互平行，故该选项错误； 对于：若，，显然可得出，故该选项正确； 对于：若，则，不一点共线，则该选项错误． 故选：． 2.已知平面向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查投影向量，属于基础题． 【解答】 解：易知，在方向上的投影向量的坐标为 ． 3.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了基底定义的理解与应用，以及空间向量共面定理的运用，属于基础题． 根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解． 【解答】 解：，，， ，，中的向量共面，不能作为空间的基底， 对于，假设，，共面， 则存在，使得， ，无解， ，，不共面，可以作为空间的一组基底． 故选：． 4.在四面体中，空间中一点满足，若点，，，共面，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查空间向量共面定理，属于基础题． 根据空间向量共面定理可得结果． 【解答】 解：因为，，，共面，根据空间向量共面定理， 所以，解得． 故选A． 5.已知的重心为，内角，，的对边分别为，，若，则的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D  【解析】解：因为为重心，则，可得由， 代入，得：， 整理得， 因与不共线，，则，解得：， 此时，三角形为等腰三角形， 故有，满足勾股定理，故三角形为直角三角形， 则是等腰直角三角形， 故选：． 6.如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边，分别相交于点，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查平面向量的基本定理，考查转化能力，属于中档题． 由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由，，三点共线，求出的值． 【解答】 解：是的中点， ， ， ， ，， ，，三点共线， ，即，解得． 故选：． 7.已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量共面定理，属于基础题． 设，其中、，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程 组，即可解得的值． 【解答】 解：因为三向量、、共面，设 ，其中、， 则解得． 故选：． 8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，空间向量共面定理，属于中档题． 由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解． 【解答】 解：由题意可知， ， 因为，，，四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以 所以． 故选：． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是(    ) A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算、向量的加减与数乘混合运算，属于较难题． 由，，求出即可判断；结合垂径定理和向量数量积的概念可得，，求出即可判断；由可得，结合即可判断；根据重心的性质，和向量数量积，结合正弦定理即可判断． 【解答】 解：由点是的重心，可得， 所以，故A项正确； 过的外心分别作、的垂线，垂足为、，如图， 易知点、分别是、的中点， 则 ，故B项错误； 因为点是的重心，所以， 故 ， 由欧拉线定理可得，则，故C项正确； 对选项，作于，则为中点， ，，， 由余弦定理可得，则， 设外接圆半径为，则，即， 则， 则，故D项正确． 10.已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查空间向量的判断，属于中档题． 【解答】 解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确． ，，两两共面，但是，，不一定共面，故B错误． 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，得到后面的结论，故C错误 若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 11.已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有(    ) A. 已知，则 B. 已知，其中，，，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，则 D. 已知，则三棱锥的表面积 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积，运算空间向量基本定理，棱锥的侧面积和表面积，空间向量的线性运算，由基本不等式求最值或取值范围，三角形面积公式，属于中档题． 对于选项A、、，由题意转化为 的向量运算即可；选项D，由题意知三棱锥为正四面体即可求表面积． 【解答】 解：由单位向量两两的夹角均为，且， 则， ， 选项A，由题意得， ，， 则 ， 由，且， 得，故A错误； 选项B，由题意得，，， 则 ，， 则 ， 因为，，，则 ， 由 ， 则 当，向量的夹角取最小值， 故当且仅当时，等号成立， 即向量的夹角取得最小值，故B正确； 选项C，已知， 则 ，故C正确； 选项D，由题意知， ，，两两夹角均为， 且， 则三棱锥各面均为正三角形， 故三棱锥的表面积： ， 故D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，属于中档题． 由题意利用两个向量的数量积公式求得，再两个向量共线的性质，两个向量的夹角公式，求得的范围． 【解答】 解：向量，，，且、不平行． 与的夹角为钝角，设与的夹角为， 与不共线且， 即，且， 即，且． ， 即，且， 求得，且． 故的取值范围为， 故答案为． 13.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则           ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查线面平行的向量表示，属于基础题． 依题意可得  ，则  ，根据数量积的坐标表示得到方程，即可得解． 【解答】 解：因为直线  的一个方向向量  ， 平面  的一个法向量  且  ， 所以  ，所以  ，即  ， 所以  ． 故答案为： ． 14.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是          ． 线段长度的最大值是             直线与直线 一定异面           三棱锥的体积为定值． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间中直线与直线的位置关系，棱锥的体积，面面平行的性质，线线垂直的向量表示，属于较难题． 由题意知点必在线段上，由此可判断在或最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得线段的最大值建立空间直角坐标系，利用向量法可判断不一定成立；连接，，，可判断与为相交直线；线段上的点到平面的距离都相等又点在线段上，即可判断三棱锥的体积为定值． 【解答】 解： 如图，延长至，使得，则有， 取的中点，连接，则有， 连接并延长交于点，则点为的中点． 因为，平面，平面， 所以平面   同理可得平面． 又，在平面内，且相交于点，所以平面平面． 故点在线段上 由图知，，故选项正确； 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．   则，，，，． ，，． 因为，所以与不垂直， 而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项错误； 如图，连接，，，则有，且， 故四边形为梯形，与为相交直线，故选项错误； 因为点，分别为，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 故线段上的点到平面的距离都相等． 又点在线段上， 所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项正确． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.在直角梯形中，，，，点是边上的中点． 若点满足，且，求的值； 若点是线段上的动点含端点，求的取值范围． 【答案】解：如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得， 所以； 法：以点为 坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点含端点，可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值 ， 可得； 法：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 ， 显然当点位于点时，取到最大值，当点位于点时，取到最小值， 可得．   【解析】本题考查向量的加减法运算，向量的数量积运算，属于中档题． 利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； 法：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法：利用极化恒等式得出，即可得出结果． 16.已知，，是空间中不共面的向量，若，，． 若，，三点共线，求，的值； 若，，，四点共面，求的最大值． 【答案】解：因为，，三点共线，则，  又，  ，  有解得 因为，，，四点共面，则，  则 ，  有  解得，  所以 ，  当时，取到最大值．   【解析】本题考查空间向量的共线定理和共面定理，属于基础题  因为，，三点共线，则，  又，，可得求解即可得结果 因为，，，四点共面，则，  则 ，  有得，利用二次函数求最值求得结果． 17.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，． 试用向量，，表示向量 若，，，求的长． 【答案】解：． ， ，，即．   【解析】本题考查空间向量的基本定理和根据数量积求模长，属于基础题． 18.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． 用，，表示向量； 在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】解： 设，， 则， 若存在，使， 则， 所以， 所以， 因为，，， 所以，，，， ， 所以， 解得：， 所以当是上靠近的三等分点时，  【解析】本题考查空间向量基本定理，考查向量数量积的运算，属于中档题． 利用空间向量的加减，数乘运算求解即可； 利用空间向量数量积运算求解即可． 19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． 求证： 求与夹角的余弦值． 【答案】证明：结合图形，知， ， 则， 所以，即． 解：设， 由于，， 则， 故， ， 故， ， 故，． 则与夹角的余弦值为．   【解析】本题考查利用空间向量判断线线垂直和求空间向量的夹角，考查推理能力和计算能力，属于较难题． 通过求证，即可求证 通过求，，即求出与夹角的余弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜阳三中数学周末作业9.12 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列关于向量的命题正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2.已知平面向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.在四面体中，空间中一点满足，若点，，，共面，则(    ) A. B. C. D. 5.已知的重心为，内角，，的对边分别为，，若，则的形状是(    ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6.如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边，分别相交于点，，若，则(    ) A. B. C. D. 7.已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数(    ) A. B. C. D. 8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线称为欧拉线该定理称为欧拉线定理已知的外心为，重心为，垂心为，且，，以下结论正确的是(    ) A. B. C. D. 若，则 10.已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，两两共面，则，，共面 C. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 11.已知单位向量两两的夹角均为，且，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的有(    ) A. 已知，则 B. 已知，其中，，，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，则 D. 已知，则三棱锥的表面积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为          ． 13.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则           ． 14.如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是          ． 线段长度的最大值是             直线与直线 一定异面           三棱锥的体积为定值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.在直角梯形中，，，，点是边上的中点． 若点满足，且，求的值； 若点是线段上的动点含端点，求的取值范围． 16.已知，，是空间中不共面的向量，若，，． 若，，三点共线，求，的值； 若，，，四点共面，求的最大值   17.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，． 试用向量，，表示向量 若，，，求的长． 18.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点． 用，，表示向量； 在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由． 19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． 求证： 求与夹角的余弦值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $