安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学9.5周测试卷

高二数学试卷9.5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足其中为虚数单位，则复数的实部与虚部的和为(    ) A. B. C. D. 2.“或”是“幂函数为偶函数”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知向量满足，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知中，，，则此三角形为(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 7.某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是    A. B. C. D. 8.已知向量，，，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列函数中，在区间上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，若，，，则下列说法中正确的是(    ) A. B. C. 直线和直线相互垂直 D. 直线和直线所成角的余弦值为 11.如图，正方体的棱长为，是的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为            ． 13.已知坐标平面内当取最小值时的值为          ． 14.若，且，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，． 若，求； 若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16.本小题分 如图，在等腰梯形中，是边上一点含端点，与交于点，若，且设．    若，求的值； 求的取值范围． 17.本小题分 如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面． 18.本小题分 已知，，且． 求的值； 求的值． 19.本小题分 已知函数是奇函数． 求的值； 若，当时，恒成立，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查复数的运算法则、复数的概念，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用复数的运算法则，以及复数相等可得即可得出． 【解答】 解：设，则，整理得， 由复数相等可得，解得，， 故． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：由为幂函数，可得，解得或， 且时，为偶函数， 当时，也为偶函数 ，故“或”是“幂函数为偶函数”的充要条件． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：因为，，， 所以， ， 所以 故选： 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量在平面几何中的应用，属于基础题． 根据向量的数量积及模的运算即可得出结果． 【解答】 解：设  为  中点，则  ，可知  ，即  为等腰三角形， 又  ，所以   ，故  ，所以  ． 综上可知三角形为等边三角形． 故选： 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积与垂直的关系，线面垂直的判定与性质，以及充分、必要条件的判断，属基础题． 根据定义判断即可． 【解答】 解：若平面，则，，， 反之，若，则，，并不能保证平面． 故选B 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的基本定理，属基础题． 根据空间向量的线性运算求解即可． 【解答】 解： ， 故选D． 7.【答案】  【解析】解：在中，， 由正弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：向量，，故， 所以，解得或． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：对于，函数，所以在上单调递减，故A正确； 对于，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量的数量积求夹角，属中档题． 用、、表示出即可判断；对的结论平方，结合数量积公式计算即可得模判断利用数量积公式计算判断；利用数量积求模，进而求夹角余弦值，即可判断． 【解答】 解：对于， ，故选项A正确 对于，因为，，， 所以，， 所以 ， 所以，故选项B正确 对于，，， 所以 ，故选项C不正确 对于， ， ， 所以， ，故选项D正确． 故选ABD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量法判断线线垂直、线面平行、求线面角，以及求棱锥的体积，属中档题． 以为原点建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，进而根据相关定义逐项判段即可． 【解答】 解：如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 所以，，，． 对于，设平面的法向量为，则 即取， 则，即， 又直线平面， 所以直线平面，故A正确 对于，因为， 所以，所以，故B正确 对于， ，故C错误 对于，由题意易知，为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成的角为， 所以，所以，故D错误． 故选AB 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题． 利用两个向量夹角公式以及数量积的定义即可得到结果． 【解答】 解：因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 所以， 所以与的夹角为． 故答案为：． 13.【答案】   【解析】解：因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：，，， ， 当且仅当即时等号成立， 又，， ，则的最小值为． 故答案为：． 15.【答案】解：，，， ， 解得； 在方向上的投影向量为， ，解得， ，，， 与的夹角为锐角， ，且与不共线， ，解得且， 的取值范围为：．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：由三点共线，且， 可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得 所以； 由知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    因为等腰梯形中，， 所以， 可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点含端点，，则， 所以．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】 如图所示，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，，则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以，因为平面的一个法向量为，  所以，即又因为不在平面内，所以平面   ，所以，所以， 又不在平面内，所以平面又因为，，平面， 所以平面 平面  【解析】本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，空间向量法证明线面，面面位置关系，属于基础题． 利用空间向量法证明线面平行；   利用空间向量法证明面面平行． 18.【答案】解：因为， 所以 ； 且， ，则， ， ， ，，且 解得负值舍去， ， 又，，， ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：方法一：由为奇函数，得， 即， 则，即，整理得， 由上式对定义域内一切都成立，得，解得或， 当时，的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数； 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以． 方法二：当时，的定义域为，关于原点对称， 由为奇函数，得，即，解得， 当时，，， 因此，为奇函数，满足题意， 当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数， 所以． 由知，定义域为， 当时，函数单调递减，且，则， 令，则，恒成立等价于恒成立， 当时，，当时，恒成立，即恒成立， 又，当且仅当，即时取等号，因此， 所以的取值范围是．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学试卷9.5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足其中为虚数单位，则复数的实部与虚部的和为(    ) A. B. C. D. 2.“或”是“幂函数为偶函数”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知向量满足，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知中，，，则此三角形为(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5.已知向量，是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点设，，，用，，表示，则(    ) A. B. C. D. 7.某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离是    A. B. C. D. 8.已知向量，，，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列函数中，在区间上单调递减的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，若，，，则下列说法中正确的是(    ) A. B. C. 直线和直线相互垂直 D. 直线和直线所成角的余弦值为 11.如图，正方体的棱长为，是的中点，则下列说法正确的是(    ) A. 直线平面 B. C. 三棱锥的体积为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为            ． 13.已知坐标平面内当取最小值时的值为          ． 14.若，且，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，． 若，求； 若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16.本小题分 如图，在等腰梯形中，是边上一点含端点，与交于点，若，且设．    若，求的值； 求的取值范围． 17.本小题分 如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点． 求证：平面； 求证：平面平面． 18.本小题分 已知，，且． 求的值； 求的值． 19.本小题分 已知函数是奇函数． 求的值； 若，当时，恒成立，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、