安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学1.30周测

2026年1月30日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．方程表示的图形是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段 2．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 7．已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 10．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．若为的中点，则平面 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台的外接球表面积为 11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．抛物线的焦点到准线的距离为，则 ． 13．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 14．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 四、解答题 15．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 16．如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点． (1)证明：． (2)求二面角的正弦值． 17．已知数列的前n项和分别为，， ． (1)求的通项公式； (2)若，求n的最小值． 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 19．已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年1月21日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C D A B D ABD ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据关系式的几何意义判断. 【详解】设，， 则即， 所以动点到定点的距离之和等于， 故点的轨迹是线段， 即方程表示的图形是线段， 故选：D. 2．B 【分析】先求出已知直线的倾斜角，进而求出直线的倾斜角，结合直线过点求出直线方程． 【详解】设直线的倾斜角为α，则， 直线的斜率为1， ，故， 直线l过点，其倾斜角是直线的两倍， 直线l的倾斜角为， 直线l的斜率不存在，又直线过点， 直线方程为，即，故B正确． 故选：B． 3．A 【分析】将数列类比成函数后递推即可求得周期. 【详解】因为，且， 所以 ，， 所以数列的周期为2，故 故选：A 4．C 【分析】根据圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系，以确定两圆公切线的条数. 【详解】圆，圆心，半径. 圆16，圆心，半径. 所以， 则， 则两个圆相交，所以两圆的公切线有2条． 故选：C． 5．D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6．A 【分析】按照首位数字为进行分类，计算每种情况下的“吉祥数”个数，相加得到总数. 【详解】当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 因此，所有的“吉祥数”共有个. 故选：A 7．B 【分析】法一：先求出总情况数，再先全排列乙、丙、丁，然后插空得到满足题意的情况数，再利用古典概型计算概率即可得到答案；法二：先求出总情况数，再采用正难则反的原则即可得到答案. 【详解】解法1：总的安排方法数为种，其中乙、丙、丁全排列方法数为种， 甲在乙、丙、丁的排列形成的四个空当中任选两个的方法数为种， 故所求概率， 解法2：总的安排方法数为种，其中甲两天相邻的排列方法数为种， 故所求概率， 故选：B． 8．D 【分析】根据条件结合椭圆定义得出，设焦距，根据余弦定理，化简计算，即可求出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 设焦距，因为， 所以，， 因为在中，， 所以， 则 所以，所以. 故选：D. 9．ABD 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为，    对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面，B对； 对于C选项，侧面的斜高为， 所以此四棱台的侧面积为，所以C错； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,, 设点，则， 由可得，解得， 故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D对. 故选:ABD． 11．ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数． 【详解】由题设，抛物线的标准形式为，则，可得， 故答案为：． 13． 【分析】将整理为，发现该曲线为双曲线的一支，在坐标系中画出该曲线及其渐近线，再结合双曲线的性质，数形结合即可确定的取值范围. 【详解】可整理为，其图象为双曲线的一支，其渐近线为. 过定点，过该定点且与渐近线平行的直线为与. 由双曲线的性质，并结合图象可知，当时，与双曲线的右支只有一个公共点. 故答案为：. 14． 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 15．(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可； 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以. 在等边中，是的中点，所以. 因为，平面.所以平面. 因为平面，所以. （2）解：不妨设，平面，平面，则平面平面，在等边中，做，则平面， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 取，得， 设平面的法向量为，则， 取，得. 又， 所以，所以二面角的正弦值为. 17．(1) (2)6 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）根据等差数列的求和公式，可得表达式，根据等比数列求和公式，结合分组求和法，可得表达式，根据条件，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 则，解得， 又，所以，即， 设数列的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）得，所以，则， 又， 所以 ， 因为， 所以， 整理得， 因为， 所以n的最小值为6. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可求出切线方程； （2）对的取值分类讨论，根据的单调性可求得，分析法证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性可证. 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 19．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【详解】（1）由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． （2）①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 【点睛】 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 2026年1月30日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．方程表示的图形是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．线段 2．已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．设数列满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 4．圆与圆的公切线有（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 7．已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 10．已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（   ） A．该四棱台的体积为14 B．若为的中点，则平面 C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台的外接球表面积为 11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．抛物线的焦点到准线的距离为，则 ． 13．若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是 . 14．已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 四、解答题 15．已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 16．如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点． (1)证明：． (2)求二面角的正弦值． 17．已知数列的前n项和分别为，， ． (1)求的通项公式； (2)若，求n的最小值． 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 19．已知椭圆（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $