精品解析：四川省巴中市南江中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学试题 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 2. 若直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，则时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与垂直， 所以，解得. 故选：B. 3. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程和椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得. 故选：D 4. 已知双曲线，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由双曲线渐近线方程求解. 【详解】双曲线， 则， 所以的渐近线方程为. 故选：A 5. 在三棱柱中，是的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 . 故选：B 6. 从数字中先后不放回地取出两个不相同的数，第一个数记为x，第二个数记为y，则 为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出从数字中先后取出两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率. 【详解】从数字中随机取两个不同的数， 则有种选法，有种选法，共有种情况， 则满足为整数的情况如下，当时，或有种情况； 当时，有种情况；当或时，则不可能为整数， 则共有种情况，故为整数的概率是. 故选：A 7. 椭圆的右焦点为，，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可知，结合椭圆的焦半径范围建立齐次式计算即可. 【详解】由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，即， 因为， 设点，则，则， 所以 ， 所以，即， 整理可得，可得，故， 又因为，故， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：D． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，是棱上的一个动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若点四点在同一平面，则点到直线的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；证明平面判断B；利用线面角的向量法求解判断C；利用向量法求出点到直线距离判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，则共面， 由，得平面，而平面，因此平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，得平面， 因此上任意点到平面的距离相等，即点到平面的距离为定值，B正确； 对于C，设平面的法向量，则，取，得， 而，则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，C错误； 对于D，由平面平面，平面平面， 平面平面，则，又， 因此，点，，点到直线的距离 ，D正确. 故选：C 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分． 9. 有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（ ） A. 数据A的平均数小于数据B的平均数 B. 数据A的方差小于数据B的方差 C. 数据A的极差小于数据B的极差 D. 数据A的中位数小于数据B的中位数 【答案】ABC 【解析】 【分析】依次算出两组数据的平均数，方差，极差，中位数即可比较大小. 【详解】设数据A：1，3，5，7，9的平均数，方差，极差，中位数依次为， 数据B：1，2，4，8，16的平均数，方差，极差，中位数依次为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 圆与圆有四条公切线 D. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，将直线含参部分合并同类项列出方程组求解直线恒过的定点即可；对B，先判断定点与圆的位置关系，弦长最小时即为定点与圆心的连线与已知直线垂直时取得，再运用弦长公式计算即可；对C，利用两个圆心的距离与半径判断两个圆的位置关系；对D，当时直线确定，先求出圆心到直线的距离，再结合半径长度进行判断. 【详解】对于A，直线的方程可变形为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆化成标准方程为， 其圆心为，半径为3，满足， 所以两圆外切，共有三条公切线，故C错误； 对于D，圆，则圆心，半径， 当时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 因为，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：AB. 11. 几何中有很多对称美，如图所示的图形可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），形状如花瓣，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用旋转得出焦点坐标，根据焦点可得方程；B联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；C将直线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；D利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意得，开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A正确； 由，得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B错误； 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以，， 所以， 由图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值， 即在第一象限部分满足， 设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值， 如图， 在（）取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以， 由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若圆与圆相切，则____． 【答案】9或49 【解析】 【分析】由题意两圆相切，可知两圆内切或者外切，则计算出圆心距，求出的值. 【详解】因为圆与圆，所以圆心距，因为圆与圆相切，所以或，所以或. 【点睛】本题考查了已知圆的位置关系求参量的值，注意两圆相切分为内切和外切，求出两个结果. 13. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙两人破译某个密码为独立事件，利用独立事件概率公式求出甲、乙两人均未破译的概率，再利用对立事件概率公式求出该密码被破译的概率． 【详解】设甲破译某个密码为事件，乙破译某个密码为事件, 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为， 甲未破译的概率为，乙未破译的概率为， 甲、乙两人均未破译的概率为， “甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， 该密码被破译的概率为． 故答案为：． 14. 已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题： ①已知，，则； ②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值； ③已知，，则； ④已知，，，则三棱锥的表面积. 其中真命题为________（写出所有真命题的序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】①利用定义表示与，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证； ②作出图形，设，，结合图形得出当的面积取最小值时与的夹角最小，从而判断结论的正误； ③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证； ④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥是棱长为的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积. 【详解】①由定义可得 ， ∵，，，故①错误； ②如图，设，，则点在平面上，点在轴上， 由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标的定义可得 ，故③正确； ④由已知可知三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，即④错误． 故答案为②③. 【点睛】本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 某研究机构为了解高二学生课外阅读的情况，随机统计了某校高二年级名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有人． （1）求和的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图的性质结合已知条件求和的值； （2）利用频率直方图的性质结合平均数定义求解． 【小问1详解】 区间的组距为， 由频率直方图可知频率/组距为， 该区间的频率为， 该区间有人， ； 频率直方图各组频率之和为1，组距均为， ，解得． 【小问2详解】 该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为： ． 16. 已知直线，圆． （1）直线，且，求两平行线间的距离； （2）已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行的直线方程的关系列式求解可得，再根据两平行直线距离公式计算即可； （2）由勾股定理可得当最小时，取得最小值，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，解得． 当时，的方程为，，不重合，符合题意， 故两平行线间的距离为； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为3， 因为，所以当最小时，取得最小值． 设圆的圆心到直线的距离为， 则，所以． 17. 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． （1）求打完两局比赛结束的概率． （2）求比赛4局以内（含4局）结束的概率． （3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛，和四局结束比赛（前两局各赢一局，后两局一人连胜），求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【小问1详解】 打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： ； 【小问2详解】 比赛4局以内（含4局）结束包括：两局结束比赛， 和四局结束比赛（）， 【小问3详解】 甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： . 18. 如图，在四棱锥中,底面是直角梯形,在锐角中,. （1）求证：平面⊥平面; （2）在棱上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，底面为直角梯形， 且，所以，由已知， 又，故平面，又平面，所以平面⊥平面； （2）存在， （3）． 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，需要先证明线面垂直．即先根据条件证明出平面即可； （2）利用线面平行的性质，通过三角形相似找到线段比例关系，即可确定点位置； （3）建立空间直角坐标系，求出相关平面法向量，根据空间向量夹角公式即可求出两平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，连接，若平面， 因为平面，平面平面， 故，又，则， 故为三等分点（靠近点），即， 当时，，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 如图，以为原点，分别以、方向为轴、轴正方向,通过点D作平面的垂线，以该直线的向上方向为轴，如图建立空间直角坐标系， 则, 所以，， 不妨设，则， 所以．设平面PCD的法向量为， 则，可取， 因为与平面所成角为， 则， 解得，故，则， 所以， 可取；设平面的法向量为， 则，可取＝， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，． （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 【答案】（1） （2） ①设，则，由（1）知， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由轴时，，可令， 代入双曲线得，又因为， 解得， 则所求方程为； 【小问2详解】 ①略 ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对 2. 若直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 3. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知双曲线，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱柱中，是的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 从数字中先后不放回地取出两个不相同的数，第一个数记为x，第二个数记为y，则 为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的右焦点为，，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，是棱上的一个动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若点四点在同一平面，则点到直线的距离为 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分． 9. 有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（ ） A. 数据A的平均数小于数据B的平均数 B. 数据A的方差小于数据B的方差 C. 数据A的极差小于数据B的极差 D. 数据A的中位数小于数据B的中位数 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 圆与圆有四条公切线 D. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 11. 几何中有很多对称美，如图所示的图形可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），形状如花瓣，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若圆与圆相切，则____． 13. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 14. 已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题： ①已知，，则； ②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值； ③已知，，则； ④已知，，，则三棱锥的表面积. 其中真命题为________（写出所有真命题的序号）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 某研究机构为了解高二学生课外阅读的情况，随机统计了某校高二年级名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有人． （1）求和的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 16. 已知直线，圆． （1）直线，且，求两平行线间的距离； （2）已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 17. 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． （1）求打完两局比赛结束的概率． （2）求比赛4局以内（含4局）结束的概率． （3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 18. 如图，在四棱锥中,底面是直角梯形,在锐角中,. （1）求证：平面⊥平面; （2）在棱上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，． （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $