精品解析：广东惠州市仲恺高新区2025-2026学年上学期 八年级数学期末考试

2025—2026学年度第一学期学校期末考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 6. 已知，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 7. 如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（ ）． A. 8或15 B. 4 C. 4或5 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________ 12. 一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为________． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 14. 点在内，且到三边的距离相等，若，则_____． 15. 如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 20. 北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融受到大家的喜爱．某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪融融的进价贵10元，用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪融融的数量相同． （1）求冰墩墩和雪融融每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店冰墩墩纪念品每件售价65元，雪融融纪念品每件售价50元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于2400元，求雪融融纪念品最多购进多少件？ 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：． （2）已知，，求式子的值． （3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 23. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期学校期末考试 八年级数学 （考试时间：120分钟，全卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义，是解题的关键．分式是指分母中含有字母的式子，根据定义判断即可． 【详解】解：分式要求分母中含有字母， 选项A分母π是常数，选项C不是分式形式，选项D分母5是常数，均不符合分式定义； ∵选项B分母中含有字母x， ∴选项B是分式． 故选：B． 4. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式必须成立． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是乘法运算，右边不是积的形式，不属于因式分解； 选项B：右边是和的形式，不是积的形式，不属于因式分解； 选项C：，右边是整式的积，且等式成立，属于因式分解； 选项D：，等式不成立，不属于因式分解； 故选：C． 5. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 6. 已知，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 32 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法运算，将和转化为以2为底的指数形式，利用已知条件直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 7. 如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 8. 如图，一个正方形纸片，剪去一个角后得到一个五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正方形的性质，根据正方形的性质求出，根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和为，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， 故选∶C． 9. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷， 根据题意得，， 故选：A． 10. 如图所示，，，足够长，于点，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为（ ）． A. 8或15 B. 4 C. 4或5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 由题意得，设，，则，分两种情况讨论：①，，；②，，，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 运动的速度之比， 设，， ， ∴， ①当，，， ， 解得：， ； ②当，，， ， 解得：， ； 故选：A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分腰长为或两种情况，分别利用三角形的三边关系进行判断，并求周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三边分别为、、，由于，不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能构成三角形； 当腰长为时，三边分别为、、，由于，满足三角形三边关系，能构成三角形，周长为． 故答案为12． 13. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 14. 点在内，且到三边的距离相等，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 15. 如图，在四边形中，，，，若平分，则四边形的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，理解并掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作，交延长线于点，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，然后由四边形的面积求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴四边形的面积 ． 故答案为：20． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题6分，第17题7分，第18题8分，共21分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则和解分式方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，8 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用“边边边”证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵根据三角形内角和，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，点P即为所求； （3）或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 20. 北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪融融受到大家的喜爱．某冬奥商品授权经销店欲购进这两种纪念品，已知每件冰墩墩的进价比雪融融的进价贵10元，用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪融融的数量相同． （1）求冰墩墩和雪融融每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店冰墩墩纪念品每件售价65元，雪融融纪念品每件售价50元，这两种纪念品共购进200件，全部售出后总获利不低于2400元，求雪融融纪念品最多购进多少件？ 【答案】（1）雪融融每件的进价为40元，冰墩墩每件的进价为50元 （2）雪融融最多购进120件 【解析】 【分析】（1）设雪融融每件的进价为x元，则冰墩墩每件的进价为元，再由用450元购进冰墩墩的数量与用360元购进雪融融的数量相同列方程，再解方程即可； （2）设雪融融购进a件，则冰墩墩购进件，由总获利不低于2400元，再列不等式，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：设雪融融每件的进价为x元，则冰墩墩每件的进价为元． 根据题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则． 答：雪融融每件的进价为40元，冰墩墩每件的进价为50元． 【小问2详解】 设雪融融购进a件，则冰墩墩购进件， 根据题意得：， 解得：． 答：雪融融最多购进120件． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 21. 请根据以下素材，完成探究任务． 探究等角三角形 素材 定义1 如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 定义2 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 任务图 探究任务 任务1 如图1，在中，，，和_____等角三角形（填“是”或者“不是”）． 任务2 如图2，在中，为角平分线，，，求证：为的等角分割线． 任务3 在中，，是的等角分割线，若是等腰三角形，请求出的度数． 【答案】任务1：是； 任务2：证明：在中，， 则， 为角平分线， ， ， 则， ，， ， 则， ，，，， 为的等角分割线． 任务3：或 【解析】 【分析】任务1：推出，,从而得出结论; 任务2：可计算得出，得出是等腰三角形，再结合，从而得出结论； 任务3：当是等腰三角形时，分为：三种情形讨论即可； 本题是在新定义的基础上，考查了等腰三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类讨论． 【详解】解：任务1：是 ∵ 和是等角三角形； 任务2：略 任务3： ①当时，如图1， ， 是的等角分割线， ， ②当时，如图2， ， 是的等角分割线， ， 则， ③当时，， 则， 那么（舍去）， 故的度数为或． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：． （2）已知，，求式子的值． （3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）等边三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，再求得，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质即可求解. 【小问1详解】 解：因式分解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴， 原式； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 23. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2） 解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3） ；理由如下： 如图，在的延长线上找一点E，使， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【小问1详解】 略；略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $