精品解析：福建福州市连江县2025-2026学年第一学期八年级期末适应性练习 数学(A)

2025-2026学年第一学期八年级期末适应性练习数学(A) （全卷共7页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 人类进入时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A 2 B. 1 C. 0 D. 3. 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若，下列分式从左到右变形正确的是（ ）. A. B. C. D. 8. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（ ） A B. 垂直平分 C. D. 10. 已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（ ）． A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最大值，且最大值为 D. 有最小值，且最小值为 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围为__________． 12. 计算：(x＋2)(x－3)＝___________； 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接，若，，则的周长为__________． 14. 若，则的值为__________． 15. 在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 16. 如图，在中，，，，平分交于点，点为线段上的中点，过点作交于点，交的延长线于，则的长为__________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）分解因式： （2）计算： 18. 如图，是的平分线，，求证： 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中 21. 在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形，纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图和图，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． （1）请用含，的代数式表示： 图中阴影部分的面积为__________； 图中阴影部分的面积为__________． （2）若图，图中阴影部分的面积分别为和，求与的值． 22. 如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． （1）求的度数； （2）请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 23. 下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 24. 连江县被誉为“中国鲍鱼之乡”，1月份某经销商采购甲、乙两种鲍鱼，甲种鲍鱼用了元，乙种鲍鱼用了元，甲种鲍鱼的采购数量比乙种鲍鱼多千克，乙种鲍鱼的采购单价是甲种鲍鱼的倍， （1）求1月份甲、乙两种鲍鱼的采购单价各是多少？ （2）2月份该经销商计划用于采购甲、乙两种鲍鱼的总费用与1月份相同，且采购甲、乙两种鲍鱼的费用各为总费用的一半，现提供两种采购方案． 方案一：甲、乙两种鲍鱼单价分别为元／千克和元／千克； 方案二：甲、乙两种鲍鱼单价均为元／千克． 若，试通过计算说明该经销商选用哪种方案采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 25. 如图，在中，，以为一边作等边三角形，且点在的右侧，设． （1）求作的对称轴，且分别交，于点，； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接． 求的度数（用含的式子表示）； 过点作交于点，连接交于点，请补全图形，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级期末适应性练习数学(A) （全卷共7页；满分：150分；完卷时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本卷上的一律无效！ 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 人类进入时代，科技竞争日趋激烈．据报道，我国已经能大面积生产14纳米的芯片，14纳米即为0.000000014米，数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式，为整数，把原数变为时，当原数的绝对值大于或等于1时，n为非负整数；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于小数点移动的位数，掌握科学记数法的表示形式，、的取值方式是解题的关键，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零．根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 3. 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当4为底时，其它两边都为8，则4、8、8可以构成三角形，周长为20； 当4为腰时，其它两边为4和8，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、相除、幂的乘方和积的乘方等，根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解： A． ，符合同底数幂的乘法法则，运算正确，符合题意； B．，不符合同底数幂的除法法则，运算错误，不合题意； C．，不符合幂的乘方法则，运算错误，不合题意； D． ，不符合积的乘方法则，运算错误，不合题意； 故选：A． 5. 如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度， ∴横坐标为，纵坐标为1，即． ∵关于x轴的对称点为， ∴的横坐标不变为1，纵坐标变为，即． 故选：B． 7. 若，下列分式从左到右变形正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟悉分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，是解题的关键．选项通过约分化简后等式成立，而其他选项均不满足分式的基本性质． 【详解】解；选项中，取（满足）验证：中，中当时，分母，分式无意义，中，故均不成立． 选项：∵ ， ∴ 等式成立， 故选：． 8. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零次幂，负整数指数幂，解题的关键是先计算出和的值．先根据零次幂和负整数指数幂的计算法则，计算出和的值，然后比较大小即可． 【详解】解：，，， ． 故选： B． 9. 如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定逐一判断即可，掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， A．在和中， ， ∴， ∴，故原选项结论正确，不符合题意； B．∵，， ∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意； C．∵，， ∴， 而题目没有给出， ∴不一定等于，故原选项错误，符合题意； D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 10. 已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（ ）． A. 有最大值，且最大值为 B. 有最小值，且最小值为 C. 有最大值，且最大值为 D. 有最小值，且最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为 0 时，分式有意义．根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 计算：(x＋2)(x－3)＝___________； 【答案】x2﹣x﹣6 【解析】 【分析】多项式乘以多项式就是用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式中的每一项，然后相加即可． 【详解】解：原式=x2﹣3x+2x﹣6=x2﹣x﹣6． 故答案为：x2﹣x﹣6． 【点睛】考点：多项式乘多项式． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接，若，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，掌握线段的垂直平分线性质是解题的关键．由线段的垂直平分线性质可得，通过等量关系求得的周长等于的长即可． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， 的周长为： ． 故答案为：． 14. 若，则的值为__________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的相乘法则，求代数式的值等知识，先求出，利用同底数幂的乘法法则，将原式化为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：27． 15. 在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，平分交于点，点为线段上中点，过点作交于点，交的延长线于，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用各性质定理．过点作于点，连接，根据勾股定理可求得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一可得，在中，根据勾股定理可求得的长，再由已知结合角平分线的性质证明是等腰直角三角形，得到，进而根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 在中，，， ， 点为线段的中点， ， ， 在中，， 平分，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）分解因式： （2）计算： 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，多项式除以单项式，熟记提公因式、完全平方公式分解因式，积的乘方、多项式除以单项式的运算法则，是解本题的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）除式用积的乘方法则化简，把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 18. 如图，是的平分线，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，根据角平分线的定义得出，根据补角的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线，点在上， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质．先运用二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、二次根式的代入求值．熟悉分式的混合运算法则，运用平方差公式进行因式分解，以及二次根式的代入求值与分母有理化的计算，是解题的关键． 根据分式的混合运算法则，先计算括号内的算式，经过通分，除法转化为乘法，因式分解，约分等步骤后得到最简分式，代入，并进行分母有理化即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 21. 在学习“整式的乘法”时，我们归纳并推导了整式的乘法法则和乘法公式，并借助几何图形的面积关系对法则和公式进行直观解释，感受了代数与几何的内在联系．如图，现有正方形，纸片，将纸片分别放在纸片上（两邻边重合），得到图和图，设正方形的边长为，正方形的边长为，且． （1）请用含，的代数式表示： 图中阴影部分的面积为__________； 图中阴影部分的面积为__________． （2）若图，图中阴影部分的面积分别为和，求与的值． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形面积的计算，掌握乘法公式是解题的关键． （1）图中阴影部分是边长为的正方形，图中阴影部分是边长为的大正方形减去边长为的小正方形，然后根据正方形面积公式分别计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式对已知代数式进行变形求解即可． 【小问1详解】 解：图中阴影部分的面积为； 图中阴影部分的面积为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：图，图中阴影部分的面积分别为和， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ． 22. 如图，在和中，，且点在上，交于点，连接，若． （1）求的度数； （2）请用等式表示和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质． （1）根据证明，得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，即可求解； （2）先求出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据等角对等边得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 理由：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 下列每组中两数的和为定值，观察它们的积的变化规律，回答下列问题． ①； ②． 【发现规律】 （1）两数的和一定时，两数的差的绝对值越小，则它们的积就越__________；（填“大”或“小”）当两数的差的绝对值为0（即两数相等）时，它们的积最__________；（填“大”或“小”） 【解释规律】 （2）设两数为和，其中为定值，．请你解释以上所发现的规律； 【应用规律】 （3）用长的绳子围成一个长方形，当长方形的两条邻边长各为多少时，长方形的面积最大？最大面积是多少． 【答案】（1）大；大 （2）见解析 （3）当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查数字规律探索问题． （1）通过观察给定数据，发现和一定时，两数差绝对值越小积越大，差为0时积最大； （2）设两数为和，其和为定值，积为，分析b对积的影响； （3）利用周长固定下长方形面积与边长的关系，结合规律求解． 【详解】（1）解：观察数据：第一组和均为60，差绝对值分别为0，10，26，44，对应积900，875，731，416； 第二组和均为100，差绝对值分别为0，6，48，82，对应积2500，2491，1924，819． 差绝对值越小，积越大；差绝对值0时积最大． 故答案为：大，大． （2）证明：设两数为和，其中a为定值，， 其和为定值，积为， 两数和（定值）． 两数积为． ∵ 为定值，， ∴ 当b越小，越大； 当时，积最大． 故规律成立． （3）解：设长方形两条邻边长分别为和． 周长为， ∴ （定值）． 面积． 由规律，当即时，S最大． ∴， ∴． 答：当长方形的两条邻边长各为时，面积最大，最大面积为． 24. 连江县被誉为“中国鲍鱼之乡”，1月份某经销商采购甲、乙两种鲍鱼，甲种鲍鱼用了元，乙种鲍鱼用了元，甲种鲍鱼的采购数量比乙种鲍鱼多千克，乙种鲍鱼的采购单价是甲种鲍鱼的倍， （1）求1月份甲、乙两种鲍鱼的采购单价各是多少？ （2）2月份该经销商计划用于采购甲、乙两种鲍鱼的总费用与1月份相同，且采购甲、乙两种鲍鱼的费用各为总费用的一半，现提供两种采购方案． 方案一：甲、乙两种鲍鱼单价分别为元／千克和元／千克； 方案二：甲、乙两种鲍鱼单价均为元／千克． 若，试通过计算说明该经销商选用哪种方案采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 【答案】（1）甲种鲍鱼的采购单价是元/千克，乙种鲍鱼的采购单价是元/千克． （2）该经销商选用方案一采购甲、乙两种鲍鱼的总数量多． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，作差法比较代数式大小，根据题意正确列方程是解题的关键． （1）设甲种鲍鱼的采购单价为元/千克，则乙种鲍鱼的采购单价为元/千克，根据“甲种鲍鱼的采购数量比乙种鲍鱼多千克”列出方程求解即可； （2）方案一采购总数量为千克，方案二采购甲、乙两种鲍鱼的总数量为千克，作差法比较二者大小即可． 【小问1详解】 解：设甲种鲍鱼的采购单价为元/千克，则乙种鲍鱼的采购单价为元/千克，根据题意，可列方程: 解得； 把代入，故是原方程的解，且符合题意． 则乙种鲍鱼的采购单价为(元/千克)． 答:甲种鲍鱼的采购单价为元/千克，乙种鲍鱼的采购单价为元/千克． 【小问2详解】 解：1月份采购甲、乙两种鲍鱼的总费用为(元)． 2月份采购甲、乙两种鲍鱼的费用均为(元)． 方案一：采购甲种鲍鱼的数量为千克，采购乙种鲍鱼的数量为千克，则方案一采购总数量为千克； 方案二：采购甲、乙两种鲍鱼的总数量为千克． 方案一采购的总数量多． 答：时，选用方案一采购两种鲍鱼的总数量多． 25. 如图，在中，，以为一边作等边三角形，且点在的右侧，设． （1）求作的对称轴，且分别交，于点，； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接． 求的度数（用含的式子表示）； 过点作交于点，连接交于点，请补全图形，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）；补全图形见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接，即为所求； （2）根据等边三角形的性质结合三角形内角和定理，利用列式计算即可；在上截取，连接，，，根据对称的性质可得，，，，先证明，得到，，证明是等边三角形，得到，证明，得到，根据，可证明是等边三角形，得到，进而证明，得到，进而证得垂直平分，推出，根据等角对等边可得，等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； 补全图形如图所示， 证明：在上截取，连接，，， 是的对称轴， ，，，， 由可知，，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，对称的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并作合适的辅助线构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $