精品解析：江西省于都中学2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试卷

2026~2027学年第一学期八年级第一次学情反馈数学试卷 一．选择题 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项中两条较短线段之和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项、，不能组成三角形； B选项、，不能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 2. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 3. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 4. 黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（　　） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． 5. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由是、两边的夹角，再根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，是、两边的夹角， ∴度数是． 6. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 二．填空题 7. 如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____．  【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 8. 如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的________．     【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的稳定性． 9. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件___，使△ABC≌△DEF． 【答案】AB=DE（答案不唯一） 【解析】 【分析】可选择利用AAS或SAS进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可. 【详解】∵BE=CF， ∴BC=EF. ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF. ∴在△ABC和△DEF中，已有一边一角对应相等. ∴添加AB=DE，可由SAS证明△ABC≌△DEF；添加∠BCA=∠F，可由ASA证明△ABC≌△DEF；添加∠A=∠D，可由AAS证明△ABC≌△DEF；等等. 10. 在直角中，，平分交于点D，若，则点D到斜边的距离为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据点D在的平分线上则点D到角的两边距离相等即可求解． 【详解】解：作，则即为所求， ∵平分于点D， ∴（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了角平分线上的点的性质，解题的关键是正确理解点到两边的距离相等． 11. △和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，的坐标分别为，，点在轴上，且，则点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：点，的坐标分别为，， ，， ∵， ， ， ， 点的坐标为． 12. 如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 三．解答题 13. 解答以下问题： （1）如图，在中，，外角，求的度数． （2）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据外角的定义和性质，即可解决； （2）利用线段求和得到，再根据全等的性质，即可求得． 【小问1详解】 解：∵是的外角， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据（1）所求，结合角平分线的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 平分， ， ． 15. 如图，在中，，平分，求证：． 【答案】 证明：平分， ， 在和中 ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定．根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案． 【详解】略 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中的边上找到格点D，连接，使平分的面积； （2）在图②中画，使，且点E与点A不重合； （3）在图③中画，使与全等． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）都是长为2，宽为1的长方形的对角线，可得，则点D为的中点，根据三角形中线的性质，可得平分的面积； （2）根据，得到，再由，可推导出，即可解答； （3）点M可看作由点C向下平移1得到，将点B，A也向下平移1，分别得到点P，N，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，图略； 【小问2详解】 解：如图所示，图略； 【小问3详解】 解：如图所示，图略； 17. 如图，垂直于点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求证：是直角三角形． 【答案】（1）． 理由如下：∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）证明：∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）根据锐角互余的三角形是直角三角形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题 18. 现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 【答案】（1）或 （2） ①等腰三角形，理由如下： 当时， ，即 此时无法组成三角形， a、b、c是三条边的长度时，， ， 是等腰三角形； ②7 【解析】 【分析】本题考查了乘方，绝对值，等腰三角形的判定，正确求得a、b、c的值是解题的关键． （1）利用偶次方的非负性，绝对值方程，可得a、b、c的值； （2）① 分情况讨论可得时，无法组成，可得，此时为等腰三角形； ②根据①求出的周长即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 或； 【小问2详解】 解：①略 ②此时的周长为． 19. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 【答案】（1）证明：在和中， ， ． （2）证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． （1）用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 证明：平分， （角平分线的定义）． 在和中 ． （全等三角形的对应角相等）． ， ． （垂直的定义）． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五．解答题 21. 为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： （1）以上两位同学方案可行的是______的方案； （2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； （3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 【答案】（1）小涵 （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． （3）解：对小宇方案增加“使”； 理由：， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行； （3）对于小宇的方案，原始条件仅和，无法证明三角形全等；通过增加的条件，构造出直角相等，结合已有条件，利用全等三角形的判定证明，从而得到，使方案可行． 【小问1详解】 解：∵小涵的方案可以证明，即， 而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：略． 22. 一线三垂直问题： （1）如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； （2）如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明，则，即可解答． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E， 由（1）理可证，， ， ， ， ， ， ． 六．解答题 23. （1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3； （2）6； （3）①与是偏等积三角形． 理由：如图3，     ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E，     与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期八年级第一次学情反馈数学试卷 一．选择题 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，5，11 B. 5，6，11 C. 3，6，10 D. 3，5，7 2. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 角平分线、中线、高线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 4. 黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（　　） A. 三个角的平分线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 5. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（ ） A. 3 B. 3.6 C. 4.8 D. 5.2 二．填空题 7. 如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____．  8. 如图，人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做是利用了三角形的________．     9. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件___，使△ABC≌△DEF． 10. 在直角中，，平分交于点D，若，则点D到斜边的距离为______． 11. △和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点，的坐标分别为，，点在轴上，且，则点的坐标为___． 12. 如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 三．解答题 13. 解答以下问题： （1）如图，在中，，外角，求的度数． （2）如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 14. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）求的度数； （2）求的度数． 15. 如图，在中，，平分，求证：． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法． （1）在图①中的边上找到格点D，连接，使平分的面积； （2）在图②中画，使，且点E与点A不重合； （3）在图③中画，使与全等． 17. 如图，垂直于点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求证：是直角三角形． 四．解答题 18. 现有a、b、c三个有理数，且，． （1）求a、b、c的值； （2）若a、b、c分别是三条边的长度， ①判断形状，并说明理由； ②求出此时的周长． 19. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． （1）求证：． （2）求证：平分． 20. 在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． （1）用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 五．解答题 21. 为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： （1）以上两位同学方案可行的是______的方案； （2）请你选择可行的方案，并说明它可行的理由； （3）请你将不可行的方案稍加修改，使其可行，并说明理由． 22. 一线三垂直问题： （1）如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________； （2）如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________． 六．解答题 23. （1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $