精品解析：黑龙江省牡丹江市海林朝鲜族中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科第三次考试（选择性必修一、二第四章人教版） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A. 205 B. 410 C. 230 D. 460 2. 已知是等比数列的前项和，，则（　　） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 3. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（     ） A. B. C. D. 5. 已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ） A 1325 B. 1300 C. 1350 D. 1375 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，则在上投影向量为 10. 已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减的等差数列 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最小正整数的值为23 11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 不存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 数列前项和为，若，则____________. 13. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 14. 在数列中，，，则的通项公式为_________． 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知数列为等差数列，为其前n项和，， （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 16. 已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 17. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． 18. 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 19. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线方程； （3）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高二年级数学学科第三次考试（选择性必修一、二第四章人教版） 命题人：姜磊 审核人：姜磊 一、单项选择题（每小题5分 共40分） 1. 在等差数列中，为其前项和．若，则（　　） A. 205 B. 410 C. 230 D. 460 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出. 【详解】因为，所以， 由等差数列的性质得， 所以． 故选：A． 2. 已知是等比数列的前项和，，则（　　） A. 18 B. 21 C. 24 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列性质求得，即可得结果. 【详解】已知数列是等比数列，又， 则公比，， 故选：B 3. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 4. 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的纵坐标的绝对值为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质及椭圆中三角形的面积确定正确选项. 【详解】依题意，设的纵坐标的绝对值为， 因为，且的面积为，则. 所以. 故选：B. 5. 已知直线截圆所得的弦长为4，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用垂径定理列方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得，解得，满足. 故选：A. 6. 已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法，即公式，求点面距离即可得解. 【详解】由题意得，点到平面的距离为. 故选：A. 7. 已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】易知焦点坐标，根据三角形重心性质以及抛物线焦半径公式可知. 详解】设， 抛物线，则， 焦点恰好是的重心， 则， 故． 故选：A． 8. 在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ） A. 1325 B. 1300 C. 1350 D. 1375 【答案】B 【解析】 【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列， 则； 当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1， 则， 从而 故选：B 二、多选题(每小题6分，部分选对无错选得2分，共18分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据空间中线面的位置关系，分析即可判断A的正误；根据四点共面的定理，可判断B的正误；根据夹角公式，即可判断C的正误；根据投影向量的求法，代入数据，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，则 ，故A错误； 选项B：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 选项C：若，则， 所以与夹角为钝角或平角，故C错误； 选项D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD 10. 已知数列满足，记为其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递减的等差数列 C. 当时，取得最大值 D. 使得成立的最小正整数的值为23 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出首项和公差，并结合题意得到，进而判断A，利用等差数列的求和公式并结合等差数列的定义判断B，利用等差数列的性质判断C，结合题意建立不等式，进而得到且，从而判断D即可. 【详解】因为，所以是等差数列， 因为，所以， 设首项为，公差为，则，解得， 对于A，可得，故A正确， 对于B，由等差数列性质得， 则，， 可得， 而，则为递减的等差数列，故B正确， 对于C，因为，，所以， 因为，，所以为递减的等差数列， 则的前11项均为正，从第12项起为负， 则当时，取得最大值，故C错误， 对于D，令，则， 而，可得，且，解得， 则使得成立的最小正整数的值为23，故D正确. 故选：ABD 11. 已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 不存在点，使得 C. 当时，的最大值为 D. 的最小值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，由已知可得，，所以， 则，故A正确； 对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确； 对于C，由已知，，所以，． 又，则． 根据椭圆的定义可得， 所以， 由图可知，， 所以 当且仅当，，三点共线时，取得等号． 故的最大值为，故C正确； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以，的最小值为，故D错误． 故选：ABC 【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用. 三、填空题(每小题5分，共15分） 12. 数列的前项和为，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 13. 已知向量，向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量夹角为锐角得向量数量积大于0且两向量不共线，列出不等式组，进而求出结果. 【详解】由题意得，则，解得； 当，则，此时，舍去. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14. 在数列中，，，则的通项公式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将，代入已知化简可得，即可得出为等差数列，求出.即可求得时，.代入检验不满足，即可得出答案. 【详解】由已知. 当时，. 由已知可得， 整理可得. 显然，所以有， 所以，为以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，. 当时，. 因为，时，，不满足. 所以，. 故答案为：. 四、解答题（15题13分，16，17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知数列为等差数列，为其前n项和，， （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量运算求出，进而求出通项公式； （2）由（1）求出通项，利用裂项相消法求得，得证. 【小问1详解】 由题意等差数列中，，，设公差为， 可得，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可得， 故. 因为，所以，得证. 16. 已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. （1）求圆的方程； （2）若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为一般方程，代入三点坐标可得答案； （2）判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； 小问2详解】 直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 17. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，且 （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出等式求出公比和首项，即可得数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法求出其前项和为，即可得证 【小问1详解】 因为，，成等差数列，所以， 即，整理可得，所以公比. 由，可得，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 则， ， 上面两式相减可得 ， 所以. 又因为，所以． 18. 如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设AB的中点为G，连接CG，易得四边形ADCG为边长为1的正方形，得到，再由，从而证得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标，设 ，易知 为 平面 PAC的一个法向量，再求得平面EAC的一个法向量 ，由，求得 ，从而得到 求解. 【小问1详解】 证明：如图所示： 因为PC⊥底面ABCD，AC底面ABCD， 所以，又，在中，， 设AB的中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形， 所以，且， 则，所以，又， 所以平面PBC，又平面EAC， 所以平面EAC⊥平面PBC； 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 设 ，则 ， 所以 ， 因为 ， 所以 平面PAC，则 为 平面 PAC的一个法向量， 设平面EAC的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，则 ， 所以 ， 解得 ，则 ， 设直线PA与平面EAC所成的角为 ， 则 ， 所以 直线PA与平面EAC所成的角的正弦值为. 19. 已知椭圆，分别是的左右焦点，点均在上，且点是第一象限点，直线经过点，直线均经过点． （1）求椭圆的离心率； （2）若，直线的方程； （3）求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合椭圆离心率定义，即可求解； （2）设，得到，由，代入求得，结合，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）设的方程为，联立方程组求得，再设的方程为，联立方程组，求得，，同理求得，，结合，化简得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. 小问2详解】 解：由（1）知，椭圆的左焦点， 设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得， 又由过点，所以的方程为，即. 【小问3详解】 证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则， 又因为， 又由， 即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $