离散型随机变量及其分布列、数字特征 测试题-2026届高三数学一轮复习

2025-2026学年广东高考复习《离散型随机变量及其分布列、数字特征》测试题 一、单选题 1．设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 2．已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 3．已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 4．设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 5．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 6．一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 7．（2025·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 10．（2025·云南·模拟预测）某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（    ） 甲品牌的走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A．， B． C．若，则 D．甲乙两种品牌中甲的质量更稳定 11．某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 三、填空题 12．设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 13．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 14．一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则 ． 四、解答题 15．某班4名男生3名女生组队参加学校组织的知识竞赛，题库中只有学科类或常识类问题，且题库中学科类问题占比为.每轮问答中主持人随机从题库中抽取一道题目，再从该小队中随机选出两名男生两名女生分别独立作答，每人是否答对题目互不影响.若抽中学科类问题，男生中有且仅有三人能答对，女生能答对的概率均为；若抽中常识类问题，男生能答对的概率为，女生中有且仅有两人能答对， (1)求一轮问答中该小队至少有两人答对的概率； (2)一轮问答中该小队至少有三人答对，小队积分加1分，否则扣1分，小队初始积分为1分，主持人最多提问四轮，当小队积分为3分时则成功晋级，积分为0分或四轮作答完毕积分不足3分时淘汰，小队晋级或淘汰均停止作答，设随机变量为小队停止作答时被提问的轮数，求的分布列. 16．（2025·湖北·模拟预测）2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望. 17．“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M=“了解村BA”，N=“学生为女生”.据统计数据得，. (1)根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关； (2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 18．湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 19．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 2025-2026学年广东高考复习《离散型随机变量及其分布列、数字特征》测试题解析 一、单选题 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】B【解答过程】依题意可得，解得. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C【解答过程】由题得，则， 故． 3．已知一组数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（   ） A．3 B．7 C．12 D．13 【答案】C【解答过程】因为一组数据，，…，的方差为， 则数据，，…，的方差为. 4．（2025·甘肃陇南·模拟预测）设随机变量的概率分布列如表所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解答过程】由题意可得. 5．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.3 0.1 若随机变量，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】A【解答过程】由题可得. 6．一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A【解答过程】由题意，的值可以为：6,7,9 表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以； 表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以； 表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以. 所以的分布列为： 6 7 9 所以. 7．（2025·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 【答案】B【解答过程】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”， 事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”，事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”； ，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以； 随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是： ， 设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为， 则；；， 期望为：. 8．从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】由分布列可得， ， ， ， 所以，. 二、多选题 9．（2025·福建福州·模拟预测）已知离散型随机变量X的分布列如下，则下列选项中正确的是（    ） X 0 1 2 P 0.36 A． B． C． D． 【答案】ABD【解答过程】A，由可得，正确；B，因为，正确；C，因为，错误； D，因为，正确． 10．（2025·云南·模拟预测）某高中打算采购一批教室挂钟，现有甲、乙两种品牌的挂钟，已知甲乙使用一年后它们的走时误差分别为X和Y（单位：秒），其分布列如下，则下列选项正确的是（    ） 甲品牌的走时误差分布列 X -1 0 1 P 0.1 0.6 a 乙品牌的走时误差分布列 X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 b 0.4 0.1 A．， B． C．若，则 D．甲乙两种品牌中甲的质量更稳定 【答案】ABD【解答过程】A、由，得， ，得，A正确； B、；，所以，B正确； C、，因为，所以，C错误； D，， 因为，方差越小数据越稳定，所以甲的质量更稳定，D正确. 11．某游戏推出两种抽奖活动和，玩家可以通过参与活动获得游戏币，从而换取稀有道具.活动和活动的抽奖收益，（单位：千个）及其概率分布如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 活动的收益分布： 3 7 11 0.4 0.3 活动的收益分布： 0 8 18 0.6 0.1 A． B． C．两个活动的收益期望一样多 D．活动的收益风险低于活动 【答案】AC【解答过程】依题意可得，所以，，则，故A正确；所以， ，则，故C正确； 而，故B错误； 因为， ， 即，所以活动的收益风险高于活动，故D错误. 三、填空题 12．设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】【解答过程】由已知可得，解得， 则， 13．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望 . 【答案】【解答过程】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：， 故，所以. 14．一个盒子中有2个红球，3个白球．从中随机取一个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的1个球，再从中不放回地取2个球，若取到的两个球中红球的个数为，则 ． 【答案】【解答过程】设“第1次取出的球为红球”为事件，则，，的可能取值为0，1，2．，，．所以． 四、解答题 15．某班4名男生3名女生组队参加学校组织的知识竞赛，题库中只有学科类或常识类问题，且题库中学科类问题占比为.每轮问答中主持人随机从题库中抽取一道题目，再从该小队中随机选出两名男生两名女生分别独立作答，每人是否答对题目互不影响.若抽中学科类问题，男生中有且仅有三人能答对，女生能答对的概率均为；若抽中常识类问题，男生能答对的概率为，女生中有且仅有两人能答对， (1)求一轮问答中该小队至少有两人答对的概率； (2)一轮问答中该小队至少有三人答对，小队积分加1分，否则扣1分，小队初始积分为1分，主持人最多提问四轮，当小队积分为3分时则成功晋级，积分为0分或四轮作答完毕积分不足3分时淘汰，小队晋级或淘汰均停止作答，设随机变量为小队停止作答时被提问的轮数，求的分布列. 【解答过程】（1）设随机变量为一轮问答中该小队答对的题目数，则， ，则； （2） 则， 即一轮问答中该小队至少有三人答对的概率为.且 ， ，， 故的分布列为： 1 2 3 4 16．（2025·湖北·模拟预测）2025年4月25日，中国人形机器人生态大会在上海汽车会展中心举办.其中，人形机器人拳王争霸赛让人大开眼界：在4米乘以4米的拳台上，可以看到各家公司在多模态融合算法、运动控制、视觉、感知等技术上的突破.比赛前，某科技公司机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队都需派不同机器人参赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分（每局比赛都分胜负，没有平局）.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人，机器人每局比赛获胜的概率分别为. (1)设前两轮比赛中甲队得3分为事件，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求； (2)机器人续航时间有限，规定本次比赛最多进行6轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的分布列及数学期望. 【解答过程】（1）设前两轮比赛中得分为事件得分为事件 ， 由题意各轮比赛，各局比赛结果互不影响，与互斥， ， . （2）由题意，， 设第轮两队比分为为事件 各局比赛互不影响，， 由题意，时，时，事件“”， 各轮比赛互不影响， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 . 17．（2025·甘肃嘉峪关·三模）“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M=“了解村BA”，N=“学生为女生”.据统计数据得，. (1)根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关； (2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【解答过程】（1）结合男生和女生各80名，可作出如下列联表： 了解“村BA” 不了解“村BA” 总计 男生 30 50 80 女生 5 75 80 总计 35 125 160 计算可得， 因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关． （2）由（1）可知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为，女生人数为． 易知随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 且，，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 数学期望． 18．（2025·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【解答过程】（1）记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件，则． （2）． （3）记三幅作品成为成品的事件分别为， 则，由可取， 则，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 19．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【解答过程】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故，故. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $