广东部分学校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第二册第四章。 陈 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.已知集合A={-3,一2,0,1,3}，集合B=(x|x2-4x<0},则A∩B= A.{-3,-2) B.{1,3} C.{0,1,3)》 D.{-3,-2,0} 2.若点M(1,a)在圆C:x2+y2一x一y一6=0的内部，则实数a的取值范围是 A.(-2,3) B.(-3,2) 封 C.(-∞，-2)U(3,十∞) D.(-∞，一3)U(2,+∞) 3.若点P在抛物线C:x2=12y上，点P的纵坐标为3，则点P到抛物线C的准线的距离为 A.12 B.9 C.6 D.4 4.现从①x一y十1=0，②x十y一1=0，③x=1,④y=-1这4条直线中随机抽取2条直线，则 这2条直线垂直的概率为 A号 c 2 D. 5.设等差数列(an)的前n项和为Sn,a7十ag=1,则S1s= 线 A号 B.10 C.15 D.30 6.已知F1,F2是双曲线C:2-2=1(Q>0,6>0)的两个焦点，P为C上一点，且∠F1P℉2 号若△PR,R,的面积是8，则= A.2√2 B.2√5 C.3 D.4 7.已知正三棱台ABC-A1B1C1的高为5，AB=3√3，A1B1=6√2，则该正三棱台外接球的表面 积为 A.68π B.88π C.96π D.100π 【高二数学第1页（共4页）】 : 8.若直线l:(m+n)x+(m一n)y一2n=0与⊙C:x2+(y-1)2=14交于A,B两点，则|AB| 的最小值为 A.3 B.6 C.32 D.6√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的有 A.命题“]x∈R,sinx=x2”的否定为“Vx∈R,sinx≠x2” B.“x=1”是“√x=x”的充分不必要条件 C复数名的虚部为-1 D.如果a>b>0,c<d<0,那么ac>bd 10.已知正项等比数列(an)的前n项和为Sn,公比为q(q≠1)，下列说法正确的是 A.若Sn=3”十m,则m=一3 B若0<g<1,则S,<g C数列}是递增数列 D.若数列(log3(Sn+1)}是以1为公差的等差数列，则a1=2 1.已知曲线C.(2+苦-1)(y2+-1)=0,点A(-3,0,A,6W50,B10,-5, B2(0,√3)，D(0,2),M,N为C上关于y轴对称的两点，则 AC由两个离心率相等的椭圆组成 B.经过点A,的直线y=√2x十m与C有4个公共点 C.存在四个点P,使得|PA,I+|PA2|一4|+1IPB,I+IPB2-4|=0 D.,当△DMN为正三角形时，点D到直线MN的距离的最大值为24+63 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该 乒乓球第3次触地后弹起的高度为 、_cm. 11og2x|,0<x≤4， 13.设函数f(x)= - x+12,x>4. 7 若f(x)=m有4个不相等的实根，则m的取值范 围为 14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2AA1=2,P是线段AB1上的一动点，则点P到直线 BC,的距离的最小值是▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知A(2,1)是圆M:x2+y2十2x一4y十2a=0外一点， (1)求a的取值范围； (2)若a是负偶数，过点B(2,一4)作圆M的切线，求切线的方程. 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(sinA-sinC)2=sin2B-3 sin Asin C. (1)求角B的大小； (2)若3 acos A=b,求sinC的值 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2,AB=BC =1. (1)证明：PC⊥CD (2)若PA=AB,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. B 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在各项均为正数的数列(an)中，a1=l,且{an}满足a+1一a=2an十2an+1,数列{bn}的前n 项和为Sm,Sn=2bn一1. (1)求{am}和(bn)的通项公式 (2)若cn=am·bn,求数列{cn)的前n项和Tn; an,n为奇数 (3)设dn= bn,n为偶数， 数列(d,)的前n项和为Q,且Qa.一2n2+元+4≥0，恒成立， 求λ的最大值 欧 19.(17分) 已知抛物线C:y2=mx的准线方程为2x十1=0. (I)求C的方程 (2)过点(0，一1)且斜率为的直线1与C交于A,B两个不同的点，O为坐标原点. (ⅰ)求k的取值范围； 封 (i)若>m,求OA·O的取值范围； (i)过点A作x轴的垂线，交直线OB于点D,证明：线段AD的中点在一条定直线上， 线 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 1.B因为B={xx2-4x<0}=(0,4),则A∩B={1,3}. 2.A由M(1,a)在圆内，得1+a2-1-a-6<0,解得-2<a<3. 3.C由题可知C的准线方程为y=一3，又点P的纵坐标为3，所以点P到准线的距离为3一 (-3)=6. 4.C这4条直线中，只有直线x一y+1=0与x+y一1=0垂直，直线x=1与y=一1垂直， 这4条直线中随机抽取2条直线，共有6种选法，其中这2条直线垂直的选法有2种，所以所 卡概率为分 5.AS6= 15(a1+a15)15(a7+ag)15 2 2 2 b2 6.A由双曲线焦点三角形的面积公式可知S= an∠FPE 号，解得6=8，即6 b2_83 2 22. 7.D设O为该正三棱台的外接球的球心，半径为R,O2,O1分别是△ABC,△A1B,C,的中 心，O01=t, t2+A1O2=R2, t2+24=R2, 易得A1O1=26,AO2=3,所以 6-十A0=R,得5-)+9R.解得1=1.R= 5,所以该正三棱台外接球的表面积为4π×52=100π 8.B直线l的方程可化为m(x+y)+n(x-y-2)=0,所以l恒过定点D(1,-1). 又⊙C的圆心C(0,1),半径为I4,CD|=√5，所以当CD⊥1时，|AB|取得最小值，最小值 为2/14-5=6. 9.AB命题“3x∈R,sinx=x2”的否定为“Hx∈R,sinx≠x2”,A正确； 由√x=x,可得x=0或x=1,则“x=1”是“x=x”的充分不必要条件，故B正确； 2 21+i)一=21+=1+i,虚部为1，故C错误； 之=1户(1-i0(1+i)1- 因为c<d<0,所以-c>-dl>0,又a>b>0,所以-ac>-bd,故ac<bd,D错误. 0,0D由题可知S4-g-D,若5，=3+m,则m=1A错误， 若0<g1,s-,1-g)兰gB正确 41 9g-1 an ggg),当0<9<1时，g<8y-9g单洞递减，所以 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 数列S 是遂增数列小，当g>1时7>0y9,单调透增所以数列3 是递增数 列.综上，数列 三是递增数列，C正确。 41 若数列{1og3(Sn+1)}是以1为公差的等差数列，则 解得a1=2,D正确. 1og3q=1, 11.ACD (r+-(+号-)=6，得+号 =1或y2+ 牙=1，所以C由椭圆C:2+=1与椭圆C:+若-1组 成，B1(0,-√)，B2(0√5)是C1的两个焦点，A1(-√，0)， M A2(3,0)是C2的两个焦点.由图可知，C1与C2有4个交点，所 以存在四个点P,使得PA1|+|PA2=4,且|PB1|+|PB2|=4, C正确.C与C的离心率均为于-誓A正确当直线y一巨十m经过友时y -2x+m即y-反(x+8).代入xr+关-1，得8x2+25x+1=0,因为△=12-12 0,所以直线y=2(x十√)与C1相切，且切点不在C2上，易知直线y=√2(x+√3)与C1 相交，所以经过点A1的直线y=√2x十m与C有3个公共点，B错误.不妨设M在N的左 边，当△DMN为正三角形时，直线DM的倾斜角为60°，则直线DM的方程为y=√3x十2， 由图可知，当M在C,的下半部分时，△DMN的周长最大，将y=x+2代人+号 1,得13y2-4y一8=0，解得y=2士65，所以点D到直线MN的距离的最大值为2 13 2-63_24+63 ,D正确， 13 13 12.15依题意可得该乒乓球第3次触地后弹起的高度为120×（号）'-15cm 13.(0,2)画出f(x)的大致图象，如图所示.易得m的取值范围为(0,2). 14.号以A为原点，ABAA,所在直线分别为x辅：辅，建立如图所示的空间直角坐标系 因为AB=2AA1=2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,1),C1(1,W3,1),所以BA= 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 (-2,0,0),AB1=(2,0,1),BC=(-1,W5,1).设AP=kAB1=(2k,0,At k)(0≤k≤1)，则BP-BA+AP=(2k-2,0,k),故点P到直线BC1的 高1萨（完必++ 5 V-)+号 15.解：(1)因为方程x2+y2+2x-4y十2a=0表示圆， 所以2+(-02-8a>0,解得a<号 …2分 又A(2,1)是圆M:x2+y2+2.x-4y+2a=0外一点，所以4+1+4-4+2a>0,解得a> 5 2’ …4分 所以a的取值花围划-号，》。 …5分 (2)由题可知a=一2，则圆M:x2+y2+2x一4y-4=0,即(.x+1)2+(y一2)2=9，圆M的 圆心为M(一1,2)，半径为3.…7分 当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=2, 此时圆心M(一1,2)到直线x=2的距离为3=r,故满足相切关系；…9分 当切线的斜率存在时，设切线方程为y+4=k(x一2)，即kx一y一2k一4=0， 则圆心C(-1,2)到直线x一y一26一4=0的距离为一6一2一2张-1-3，解得=一3 1+k 4 5 所以切线方程为一义)0，即3十4y+10=0.……12么 故所求切线的方程为3x十4y十10=0或x=2.… …13分 16.解：(1)由题意可得sin2A十sin2C-sinB=-sin Asin C,…1分 根据正弦定理可得a2十c2-b2=一a心，…2分 所以cosB=+c2-b=ac 1 …4分 2ac 2ac 2 因为B∈(0，)，所以B=2= …6分 (2)因为√3 acos A=b,所以W3 sin Acos A=sinB,… 7分 所以Sin2A=1,… 9分 则2A=2,即A=开， …11分 sin C-sin(A)xx6 21 22 2 15分 17.(1)证明：连接AC,因为ADBC,∠ABC=90°，AD=2,AB=BC=1,所以AC=√2，CD= 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 2. …1分 又AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD. 2分 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,… 3分 因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC. 4分 因为PCC平面PAC,所以PC⊥CD.… 6分 (2)解：以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y, 之轴建立空间直角坐标系， 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),CD=(-1,1,0),PD (0,2,-1).…8分 0 设平面CDP的法向量为n=(x,y,之)， CD·n=-x+y=0, 则 取y=1,则x=1,之=2， PD·n=2y-x=0, 所以平面PCD的一个法向量可以为n=(1,1,2),…11分 显然m=(0,1,0)是平面PAB的一个法向量.…13分 设平面PAB与平面PCD的夹角为O, 则cos0=lcos(n,ml=nm-1X/后 n·m 1 √6 6 、所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为6， 15分 l8.解：(1)由a+1-a员=2an十2au+1,得(a+1-an)(a+1十an)=2(aw+1十an),…1分 因为am+1十am>0,所以am1一am=2,所以{a,n}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以以n=2-1.…3分 由Sn=2bn-1,得当n=1时，b1=2b1-1,解得b1=1,…4分 当n≥2时，bn=S,-Sw-1=2bw-1-(2b-1-1),所以b,=2bm-1(n≥2)， 所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列，即b,=2”一1.…6分 (2)因为cn=am·bn=(2-1)·2”-1, 所以Tm=1×2°+3×2+…+(2n-3)·2”-2+(2n-1)·2”-1, 所以2Tm=1×2+3×22+…+(2n-3)·2”-1+(21-1)·2”, 则-Tm=1+2(21+22++2”-1)-(2n-1)·2”=1+2. 2-2” 1-2 -(2n-1)·2” =(3-2n)·2”-3,所以Tn=(2n-3)·2”+3.…10分 (3)由等差数列的求和公式及等比数列的求和公式可得Q,=n+”,1).4+2(4”1) 2 4-1 2(4”-1) =2n2-n+ 3 000…6e4…004te0e…e……0e0e4e0…0…2分 所以Q,-2m+n+≥等价于 2(4”-1),3 3 3≥·2-1， 22+1+32 化简可得入≤3·2丁' ……14分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 令2w-1=t≥1，则 2-2-号+号-+片)≥器当且仅当=2.即a=2 3.2"-1 3L 3 ,等号万戒订。…………*…* …16分 所以1<号，即入的最大值为号 …17分 1.(1)解：因为C的准线方程为x=一之所以一专=一专即p=1 ……1分 所以m=2p=2,则C的方程为y2=2x.… …2分 (2)(ⅰ)解：依题意得直线1的方程为y=kx-1, 代入y2=2x,得k2x2-(2k十2)x+1=0, …3分 则△=4(k+1)2-4k2=8k十4>0，且k≠0， …5分 所以k的取值范围是(-分0U(0,十o.… 6分 2k+2 1 (i)解：设A(x1y1),B(x2,y2),则x1十x2 k2,x1x2=, …7分 所以OA·OB=x1x2十y1y2=x1x2十(kx1-1)(k.x2-1)=(1+k2)a1x2-k(x1十x2)+1 …8分 12 1十62k+2k+12 k2 k2 …9分 若k>m,即>2.则0<g<号则2-是-（合-）-1(-是)， 即O·O谚的取值范围是(-子，0）。 10分 (m)证明：因为直线OB的方程为y=兰， …11分 所以点D的坐标为(x1, …12分 设线段AD的中点为N(x0y),则x=x1y。=2+2x2 _y11y2 ,…13分 圆士=x士y22x1十z2十2-2zi十x1-D士ik红-D 2x2 2x2 2x2 …14分 (2k+2 12k+2 =（2k+2)1x2-(1十x2) k2 =0, 2x2 2x2 …16分 所以点N(xo,yo)在直线x十y=0上，故线段AD的中点在一条定直线上.…17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】