精品解析：陕西汉中市仁德学校2026-2027学年高三第三次模拟考试数学试卷

汉中市仁德学校2024级高三第三次模拟考试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，不共线，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A. B. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 10. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 13. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则_________． 14. 已知函数若函数有3个相异零点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 16. 已知与的夹角为. （1）求； （2）求及； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 已知数列的前项和为，满足，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校2024级高三第三次模拟考试卷 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则. 2. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 得 所以 . 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，解得， 所以由推不出，故充分性不成立； 由推出，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知向量，不共线，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的平行性质求解． 【详解】向量，不共线，由，得，得． 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 6. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（     ） A. B. 函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象 C. 点是函数的图象的一个对称中心 D. 函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】对于A由图观察出周期，即可得到，用五点法代入点，可求出，再用诱导公式转换即可判断；对于B利用伸缩变换即可判断；对于C代入检验此点是不是零点，即可判断；对于D判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断. 【详解】对于A，由图可知：，， 用五点法代入点，可得，即， 不妨取，， 因为，故A正确； 对于B，函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的可得的图象，故B正确； 对于C，因为， 所以点不是函数的图象的一个对称中心，故C错误； 对于D，向右平移后的函数， 又，为偶函数，故D正确． 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，，故是奇函数， 所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减； A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确； B选项中图像关于原点中心对称，但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误； C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误； D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误； 8. 已知函数，对都有，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，结合在上单调可得，进而可得或10，最后检验即可． 【详解】由于对都有，故， 即，， 故，解得， 又在上单调，， 故，解得， 故，解得，因此或1， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 故． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果． 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，，，， 所以，故B错误； 对于C，， 所以在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，由可得，解得，故D错误． 10. 函数的最大值为4，则（ ） A. B. 图象关于点中心对称 C. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合正弦函数的性质及平移变换规律逐一判断即得. 【详解】因为的最大值为4， 所以，解得，故A正确； 则，因，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 该函数显然与不是同一函数，故C错误； 对于，当时，， 因函数在上单调递增，故在上的值域为，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的一个周期 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的奇偶性与周期为4，代入特殊值求得，，，即可求解. 【详解】对于A，由，得，由，得， 又，所以，所以，因此A选项正确； 对于B，因为，所以函数为奇函数，因此B选项错误； 对于C，因为，所以，即， 所以，所以函数的周期，因此C选项正确； 对于D，将代入，得，，而， 将代入，得，将代入，得， 所以因此D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 13. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求出，进而求出，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由三角形的面积公式可得，， 即，解得， 在锐角中，， 由余弦定理得，， 所以. 14. 已知函数若函数有3个相异零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又当时，， 所以当时，， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当，， 大致图像如下： 若函数有3个相异零点，即有3个相异的根， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期 ，单调递增区间为 ； （2）值域为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． 【小问2详解】 当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 16. 已知与的夹角为. （1）求； （2）求及； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【小问1详解】 由与的夹角为，得. 【小问2详解】 由（1）得， . 【小问3详解】 由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 17. 已知数列的前项和为，满足，记． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）由（1）得，. 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 又和均随的增大而增大， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，最小值为. 所以． 【解析】 【分析】（1）由与的关系求得； （2）由题意求得，从而求得，再根据裂项相消法求得的表达式，从而证明． 【小问1详解】 因为， 所以，所以. 当时，， 所以，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 【小问2详解】 略 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围； （3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. 【小问2详解】 因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断函数的零点个数，并说明理由； （3）若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】（1） （2）函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $