四川泸州市三校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试（期中）数学试题

泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数 学 试 题 参 考 答 案 一、选择题：本大题共11个小题，第1～8题每小题5分，第9～11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D C B A A AD ACD ABD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．（1，0） 13．0.58（或） 14．［1，+ ∞） 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15．（本小题满分13分） 解：（1）由正弦定理可得：， 即：， 因为，所以，由得：． （2）因为，的周长为，所以， 由余弦定理可得：， 所以，即的面积：． 16．（本小题满分15分） 解：（1）因为，，且，所以四边形为菱形，则, 又因为平面，平面， 所以，又，、平面，所以平面， 又平面，所以． （2）（方法一）因为平面， 所以直线与平面所成的角为，即， 因为平面，平面，则，则， 令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，， 设平面的法向量， 则，取，则，，故， 易知平面的一个法向量为， ， 故平面与平面的夹角余弦值为． （方法二）因为平面， 所以直线与平面所成的角为，即， 因为平面，平面，则，则， 令，由四边形为菱形，，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 所以，， 取中点，连接、， 等腰直角中，且， 由勾股定理得， 因为，则，且， 因为，，平面平面， 所以平面与平面的夹角即， 在中，，，，则，即， ，故平面与平面的夹角余弦值为． 17．（本小题满分15分） 解：（1）由题意可得，解得， 由频率分布直方图可知的频率为，而的频率为， 所以第85百分位数在区间内，设第85百分位数为， 则，解得， 所以第85百分位数为． （2）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为， 所以， ． （3）由频率分布直方图可知年龄为，的两组观众频率之比为：， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在中的观众应抽取4人，年龄在中的观众应抽取1人； 记的四名学生编号为1、2、3、4，记的一名学生编号为5， 则选出两名学生的可能结果为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种； 设事件“抽到的两名学生的年龄都来自”， 则事件包含的样本点有12，13，14，23，24，34，共6种， 所以两名学生的年龄均在的概率． 18．（本小题满分17分） 解：（1）由题意得， 解得，． （2）比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0，2，3，5， 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， ，相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且，，彼此互斥， 易得，， ，， 所以 ， 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为． （3）记甲得分为分的事件为，乙得分为分的事件为， 、、、两两互斥， 则 ， ， ， 因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 即． 19．（本小题满分17分） 解：（1）证明：根据题意可知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面． （2）①证明：过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面． 又因为平面，则； 根据题意，平面图形翻折后，， 且是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面． 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以． ②方法一： 直角梯形中，，，且， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴； 几何体的体积为 ； 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 在中，， 在中，，∴，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． 方法二： 直角梯形中，，且在平面上， 由①可知平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以点到底面的距离为， 在中，设点到的高，即， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式，∴． 几何体的体积为 ． 过点作的垂线交直线于，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， ， 令，可得， ，设平面的法向量为， ， 令，可得， 因为平面平面，所以，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故当取得最大值时，即取得最小值，， 所以几何体体积． ( 高二 · 数学答案 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共11个小题，第1~8题每小题5分，第9~11题每小题6分，共58分。 题号 1 2 4 6 7 9 10 11 答案 B D B A AD ACD ABD 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.(1,0) 13.0.58(或29) 14.[1,+o) 50 三、解答题：本大题共5个小题，共77分。 15.(本小题满分13分) 解：(1)由正弦定理可得：2 cos A(sin B cos C+sin Ccos B)=V3sinA, 即：2 cos Asin(B+C)=2 cosAsin A=V3sinA, 因为血4=0，所以co4:发，由4e0可将：4- 6 (2)因为a=1,△ABC的周长为V5+1,所以b+c=√5， 由余弦定理可得：cosA=2+c-a_b+c-2c-d_5-2c-12-bcV5 2bc 2bc 2bc bc 2 25845,即△48c的面积：cn4g4永2-5 所以bc=4 2 16.(本小题满分15分) 解：(1)因为BB∥CC,BB=CC,且BC=BB,所以四边形BB,CC为菱形，则B,C⊥BC, 又因为AO⊥平面BB,CC,BCC平面BB,CC, 所以AO⊥B,C,又AO⌒BC1=O,AO、BCC平面ABC1,所以B,C⊥平面ABC1, 又ABC平面ABC1,所以AB⊥B,C. (2)(方法-)因为AO⊥平面BB,CC, 所以直线AB与平面BB,CC所成的角为∠ABO,即∠ABO=45°， 因为AO⊥平面BB,CC,OBC平面BB,CC,则AO⊥OB,则OA=OB, 令BB,=2,由四边形BB,CC为菱形，∠B,BC=60°，则△BB,C是边长为2的等边三角形， 所以，0C,=0B=BCsm60=2x5-5,OB=0C=1,O4=0B=5, 高二·数学答案第1页共6页 因为AO⊥平面BB,CC,OB⊥AC, 以点O为坐标原点，OB、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立如下图所示的空间直角坐 标系， 则B(V5,0,0)、C(-V3,0,0）、B(0,1,0)、A(0.03)、C(0,-1,0), 则AB=(30,-5),BC=（3,-10), 设平面ABC的法向量n=(x,y,z), 元.AB=√5x-V3z=0 则 CV-v=0取=，则v=VB,1,故i=（-B 易知平面ABC1的一个法向量为m=(0,1,0), cos(= m.元。-5 m园√5.15 故平面ABC,与平面ABC的夹角余弦值为 5 (方法二)因为AO⊥平面BB,CC, 所以直线AB与平面BB,CC所成的角为ABO,即∠ABO=45°， 因为AO⊥平面BB,CC,OBc平面BB,CC,则AO⊥OB,则OA=OB, 令BB,=2,由四边形BB,CC为菱形，∠B,BC=60°，则△BB,C是边长为2的等边三角形， 所以，0C=OB=BC sin60=2x5-V5,OB=0C=1,0OA=OB=5, 所以，AB=VOA+OB2=√6， 取AB中点D,连接OD、CD, 等腰直角△4OB中，ODLB且ODB=y6 2 由勾股定理得AC=VOA2+0C2=2, 因为BC=2=AC,则CD⊥AB,且CD=VBC2-BD2 6 10 、2 因为OD⊥AB,CD⊥AB,平面ABC∩平面ABC=AB, 所以平面ABC1与平面ABC的夹角即∠ODC, 在a0DC中，0C=1,OD=6,cD=,则oc+oD=cD,即0C10D, 2 2 c0s∠opC-OD×。-5,枚平面ABC与平面ABC的夹角余弦值为V15 5 高二·数学答案第2页共6页 17.(本小题满分15分) 解：(1)由题意可得10×(0.010+a+0.022+0.025+0.020+0.005)=1,解得a=0.018, 由频率分布直方图可知[0,40)的频率为0.75，而[40,50)的频率为0.2， 所以第85百分位数在区间[40,50)内，设第85百分位数为m, 则0.75+0.02(-40)=0.85，解得2=45， 所以第85百分位数为45. (2)由频率分布直方图可知[0,10)的频率为0.1，[50,60)的频率为0.05， 所以x=6×。01 0.05 +57× =23, 0.1+0.05 0.1+0.05 om90s21625fl90s-51652. (3)由频率分布直方图可知年龄为[40,50)，[50,60)的两组观众频率之比为：4：1， 所以按比例用分层随机抽样的方法抽取5人， 则年龄在[40,50)中的观众应抽取4人，年龄在50,60)中的观众应抽取1人： 记[40,50)的四名学生编号为1、2、3、4，记[50,60)的一名学生编号为5， 则选出两名学生的可能结果为12,13,14,15,23,24,25,34,35,45，共10种： 设事件A=“抽到的两名学生的年龄都来自[40,50)”， 则事件A包含的样本点有12,13,14,23,24,34，共6种， 所以肉软学车的4龄均和0的楼字P团名 18.(本小题满分17分) 1 pq= 3 解：(1)由题意得 - 2 1 解得卫=3,9=21 (2)比赛结束后，甲、乙个人得分可能为0,2,3,5， 记甲得分为i分的事件为C,(i=0,2,3,5),乙得分为i分的事件为D(i=0,2,3,5), C,D相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E, 则E=C3D+C5D3+C5D,且C3D,C5D,C5D彼此互斥， 5得Pe,)名p)-》子名 高二·数学答案第3页共6页 Pc片pa)- 所以P(E)=P(CD+CD,+CD)=P(CD)+P(CD)+P(CD) 1、1,11,1111 623632-36 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为6 ,11 (3)记甲得分为i分的事件为Ci=0,2,3,5),乙得分为i分的事件为D(i=0,2,3,5), C5D、C3D2、C2D、两两互斥， 则？=P(CD+C3D2+C2D3+CD) =四-引-0-pg-引pa-9*1-我子+a-pa-亦子号 342 321 R=P(C,D,)=四4号2， (1 -4p9+4p+3q-6_4p9+p+3p+g)-6 12 12 因为p+q=1,0<p<1,0<q<1, 以网2子当服p:7®等彩 所以月-R=四+p+30+g)-6_4g+p-3_4×4 3 s4+p-3 0, 12 12 2 12 即R>P. 19.(本小题满分17分) 解：(1)证明：根据题意可知AF∥DE,AB∥CD, 因为AFa平面DCE,DEC平面DCE,所以AF∥平面DCE, 同理，因为ABa平面DCE,DCC平面DCE,所以AB∥平面DCE, 又因为AF,AB是平面ABF内的两条相交直线，所以平面ABF∥平面DCE, 因为BFC平面ABF,所以BF∥平面CDE. (2)①证明：过点C作CH⊥EB交EB于点H, 因为平面FBE⊥平面CBE,平面FBEO平面CBE=EB,所以CH⊥平面FBE· 又因为BFC平面FBE,则BF⊥CH; 根据题意，平面图形翻折后AD⊥AB,AD⊥AF, 高二·数学答案第4页共6页 且AF,AB是平面FAB内两条相交直线， 所以AD⊥平面FAB,又BCI∥AD,得BC⊥平面FAB. 又BFC平面FAB,则BF⊥BC, 因为CH,BC是平面BCE内两条相交直线，所以BF⊥平面BCE, 因为CEc平面BCE,所以BF⊥CE, ②方法一： 直角梯形BCEF中，BFICE,∠BCE=90°，且AD/BC, 由①可知AD⊥平面FAB, 由(1)可知由题意平面ABF∥平面DCE, 所以E到底面AFB的距离为AD, 在△CDE中，设点E到DC的高EK,即EK⊥CD, 因为BC⊥平面CDE,所以BC⊥EK, 因为CDOBC=C,所以EK⊥平面ABCD, 设点E到底面ABCD的高为EK, 在aCDE中，根据三角形的面积公式×smu=xBK,K-4sna: 几何体EFABCD的体积为 V=Vg-ABcD+'E-A阳= 6-04ma-号sma(6-小-3a(5-小a 32 取DE的中点S,连接SC, 因为SFBC,SF=BC,所以四边形SFBC是平行四边形，所以SC∥BF,SC=BF, 因为BF⊥平面BCE,所以SC⊥平面BCE,又因为CEC平面BCE,所以SC⊥CE, 在△SDE中，SC2=4+t2-4 tcosa, 在△ECD中，EC2=16+t2-8 tcosa, t4 在△SCE中，SC2+EC2=SE2,∴.20+2t2-12tcos=4,化简得到cosa= 63t1 因为au∈(0，π)，0<t<5,所以cos≥2 x车25，当且仅当1=22时等号成立， 63t3 故当a取得最大值时，即cosx取得最小值25，Sa=} 3 3 所U体体积7-6-6na26-380G-0 方法二： D 直角梯形BCEF中，BFICE,∠BCE=90°，且ADIIBC在平面FBE上， 由①可知ADL平面AB, 高二·数学答案第5页共6页 由(1)可知由题意平面ABF∥平面DCE, 所以点E到底面AFB的距离为AD, 在△CDE中，设点E到DC的高EK,即EK⊥CD, 因为BC⊥平面CDE,所以BC⊥EK, 因为CD∩BC=C,所以EK⊥平面ABCD, 设点E到底面ABCD的高为EK, 在CDB中，根据三角形的面积公式号×4sma=xBK,BK-4sna. 几何体EFABCD的体积为 r-gm+m含46-4ma+分321smax(6-小-46-ma. 32 过点D作DC的垂线交直线CE于G,分别以DA,DC,DG为x,,z轴正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(5-t,0,0),C(0,t,0),B(5-t,t,0),E(0,4cos,4sin),F(5-t,2cosa,2sin), BF=(0,2cosa-t,2sina),EF=(5-t,-2cosa,-2sin a, 设平面FBE的法向量为i=(x,y,), m.BF=(2cos a-t)y+2z sina=0 mEF=(5-1)x-2y cos a-2z sin =0' t 令y=sina,可得i= t ,sin a.cos c CB=(5-t,0,0),CE=(0,4cos0-t,4sino,设平面EBC的法向量为i=(5,,), i.CB=(5-t)x=0 .CE=(4cosa-1)y+4sina=0 令4=sina,可得i=0,sin,4cosa 因为平面B81平面CBa,所以元m=smu+(任-cosa台oa-0,化简符到cosa t。4 63t 因为∈(0，π)，0<t<5,所以cosa≥2 ×4-25 V63t3 ,当且仅当t=2√2时等号成立， 故当a取得最大值时，即c0su取得最小值2 sina= 3 3 所以几何体体积r=xt5-)sima=×2W5-22)x0W5-40 2 3 9 高二·数学答案第6页共6页泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数学试题 命题单位：四川省合江县中学校命题人：王艳审题人：鄂岚昆 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(（非选择题)两部分。第I卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至4 页，满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。 3,填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔 绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的。 1。复数〉，在复平面内对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.有一组样本数据1,2,2,2,3,5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（) A.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，，若甲、乙两人一起破译 这份密码，则密码不能被成功破译的概率为() 吉 C.i 4,若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为)，则这个圆锥的体积为(） 2 A.3 B.V3 C.v3 3 D. 3 12 24 5.下列说法正确的是() A.数据1,8,3,5,6的第60百分位数是5 B.按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 C.若x1,x2,…,x10的方差为4，则-2x1+3,-2x2+3,-2x3+3,…,-2x10+3的方差是16 D.若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于 中位数 6. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险：丙，理财类保险：丁，定期 寿险：戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户 进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法错误的是() 5 个比例 周岁1829 700,人均参保费用/元 10% 周岁 6000 15% 5000 4000 42-53周岁 30-41周岁 3000 0. 35% 2000 0.020.04 40% 1000 年龄 甲乙丙丁戊险种 09 、全段 参保险种比例 18-2930-4142-5354周岁以上 参保人数比例 不同年龄段人均参保费用 高二·数学第1页共4页 A.丁险种参保人数超过五成 B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C.18一29周岁人群参保的总费用最少 D.人均参保费用不超过5000元 7.如图，在斜四棱柱ABCD-4BCD中，AA=AB=BC=CD=号AD=1, D B BCHAD,AAB=∠AAD=∠BMD-号，则A-（） A.√2 B.3 C.2W2 D.2V3 8。定义两个向量立与下的向量积ix下是一个向量，它的模ix-园sn(么，可，它的方向与i和下同时 垂直，且以u,v,n的顺序符合右手法则（如图）， ux 在棱长为2的正四面体ABCD中，则ABxAD)·AC= () A.4V2 B.4 C.4V3 D.2W3 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确的是() A.若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=O B.若向量AB,CD,满足AB=CD,则AB∥CD C.空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D.对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+OC(其中x,y,二eR, 且x+y+二=1)，则P,A,B,C四点共面 10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲 表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表 示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则 () A.乙发生的概率为} B.丙发生的概率为 2 C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件 11.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面ABCD内 一动点，则下列结论正确的为() D C A.存在点P,使得EP∥平面FBC B B.当P为AB中点时，过E,F,P三点的平面截正方体所得截面图形 的面积为3√3 E C.三棱锥C-4B,P的体积为召 D.当P在棱AB上时，若∠APB为120°，三棱锥A-CBP外接球表面积为4r 3 高二·数学第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米，黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认 后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 (2)本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=（1,0),向量b=1,2),则b在a方向上的投影向量的坐标为 13.某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓 厚的兴趣.若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为 0.21,则甲只加入其中一个社团的概率为 14.已知正三棱柱ABC-AB,C1的底面边长为2，M是BC的中点，若线段CC上有一点N,使得 MN⊥AB,则侧棱AA长的取值范围是 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(bcosC+ccosB)=V3a, (1)求角A的大小： (2)若a=1,△ABC的周长为V5+1,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-ABC中，BC=BB,BC1∩B,C=O,AO⊥ 平面BB,CC, (1)求证：AB⊥BC; (2)若∠B,BC=60°，直线AB与平面BB,CC所成的角为45°，求平 面ABC与平面ABC所成锐二面角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、 频率 生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国 组距 0.025 0.020 影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港 澳台和海外票房)己超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球0.010 0.005 动画电影票房榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结 0102030405060年龄/岁 构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. 高二·数学第3页共4页 (1)求频率分布直方图中α的值以及计算第85百分位数： (2)若样本中年龄在[0,10)的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在[50,60)的观众年 龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数x和方差2； (3)为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组[40,50)， [50,60)的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在[40,50)的概率. 18.(本小题满分17分) 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只 有A,B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答 错得0分.已知学生甲答对A题的概率为p,答对B题的概率为q,其中0<p<1,0<q<1,学生乙 答对A题的概率为3，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A,B两题的结果互不影响。 4 赛后得5分的概率为。·得3分 ①求p,q的值； ②在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率. (2)记甲、乙总得分为5分的概率为P,甲、乙总得分为10分的概率P2,若p+q=1,试比较乃 与P2的大小. 19.(本小题满分17分) 如图所示，在直角梯形BCEF中，BF∥CE,∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上的点，且AD∥BC, ED=2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿AD向上翻折，连接BE,BF, CE,在翻折的过程中，设∠EDC=a(0<a<π)，记几何体EFABCD的体积为V. (1)求证：BF平面CDE; (2)若平面FBE⊥平面CBE. ①求证：BF⊥CE; ②当取得最大值时，求V的值. 高二·数学第4页共4页 泸州市三校联盟2025年高二上学期第一次联合考试 数 学 试 题 命题单位：四川省合江县中学校 命题人：王艳 审题人：鄢岚昆 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至2页，第II卷第3至4页，满分150分，考试时间共120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑。 3．填空题和解答题的作答：请用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1． 复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． 有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（ ） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 3． 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（ ） A． B． C． D． 4． 若圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5． 下列说法正确的是（ ） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．按比例进行分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 C．若，，…，的方差为4，则，，，…，的方差是16 D．若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 6． 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法错误的是（ ） A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 7． 如图，在斜四棱柱中，，，，则（ ） A． B． C． D． 8． 定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图）， 在棱长为2的正四面体中，则 （ ） A． B．4 C． D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9． 下列命题中正确的是（ ） A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有 B．若向量，，满足，则 C．空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底 D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中，，， 且），则P，A，B，C四点共面 10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内 一动点，则下列结论正确的为（ ） A．存在点P，使得平面 B．当P为中点时，过E，F，P三点的平面截正方体所得截面图形 的面积为 C．三棱锥的体积为 D．当P在棱上时，若为，三棱锥外接球表面积为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。 （2）本部分共8个小题，共92分。 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为_______________． 13．某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为_______________． 14．已知正三棱柱的底面边长为2，是的中点，若线段上有一点，使得 ，则侧棱长的取值范围是_______________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的周长为，求△ABC的面积． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，，， 平面． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为，求平 面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值以及计算第85百分位数； （2）若样本中年龄在［0，10）的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在［50，60）的观众年 龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差； （3）为进一步了解观众的年龄结构，现采用按比例分层随机抽样的方法从年龄位于分组［40，50），［50，60）的观众中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求2人年龄均在［40，50）的概率． 18．（本小题满分17分） 某校为了厚植文化自信、增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有A，B两道题目，比赛按先A题后B题的答题顺序各答1次，答对A题得2分，答对B题得3分，答 错得0分．已知学生甲答对A题的概率为，答对B题的概率为，其中，，学生乙 答对A题的概率为，答对B题的概率为，且甲、乙各自在答A，B两题的结果互不影响． （1）若甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为． ① 求，的值； ② 在此情况下，求比赛后甲、乙总得分不低于8分的概率． （2）记甲、乙总得分为5分的概率为，甲、乙总得分为10分的概率，若，试比较 与的大小． 19．（本小题满分17分） 如图所示，在直角梯形中，，，，分别是，上的点，且， ，（），，将四边形沿向上翻折，连接，，，在翻折的过程中，设（），记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ① 求证：； ② 当取得最大值时，求的值． ( 高二 · 数学 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $