上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（A卷）

复旦大学附属中学2025学年第一学期 高二年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 已知等差数列的前n项和为，，，则______． 2. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则______． 3. 已知双曲线的离心率为，则______． 4. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________. 5. 从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为______． 6. 已知等比数列满足：，，则公比______． 7. 已知数列满足：，，则数列的前383项和为______． 8. 已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______. 9. 某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 10. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆，其中的长轴AC为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为______． 11. 如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 12. 对于无穷数列，若对任意，，总存在，，使得，则称数列是“Q数列”．若等差数列是“Q数列”，设公差为（），则的取值集合为______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 函数在上（ ） A. 既无极大值也无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 有极大值无极小值 14. 已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（ ） A. 64个 B. 57个 C. 56个 D. 54个 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（ ）． A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确②不正确 D. ①不正确②正确 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知二项式，求： （1）二项展开式中第3项的系数； （2）二项展开式中项的系数． 18. 已知数列满足：，． （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 已知，其中． （1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a的值； （2）当时，求证：函数存在唯一零点． 20. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． （1）求b的值； （2）已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； （3）若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 21. 若函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数，则称函数为函数． （1）分别判断函数，与函数，是否为函数．直接写出结论，无需说明理由； （2）已知函数是函数，且曲线在点（t为常数）处的切线方程为，记集合，求集合； （3）已知函数与都是函数，且函数与的图象都是连续曲线．若存在条不同的直线与两条曲线及都相切，求证：曲线与曲线至少存在s个不同的公共点． 复旦大学附属中学2025学年第一学期 高二年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】2 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】18 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】296 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 由题意可知， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则； （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 当时，，， 设， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值， 则有且仅有1个零点0， 而， 当时，，， 所以函数存在唯一零点0. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1），是函数，，不是函数. （2） （3） 设这s条不同直线为，其中的方程为，且同时与函数和相切， 由于为严格递减函数，故不同直线对应的斜率必不相同， 不妨设， 记与的切点为，与的切点为， 所以， 由严格递减知，， 令， 若存在某个使得，则该点为和的公共点，以下讨论的情况， 由（2）知，对每条切线，有，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立 所以，， ， 令，则在区间上，满足， 因为函数与的图象都是连续曲线 所以，根据零点存在性定理，至少存在一点使得，即 下面证明区间互不相交. 由的单调性知，， 假设存在某个使得与相交，即，则， 考虑与的交点的横坐标， 则由凹函数的性质可知，，， 但由可知，的排序只能是或， 无论哪种，均导致（或），矛盾. 所以对所有的均成立，即区间互不相交. 综上，对每个内至少存在一个零点使得，且这些互不相同， 所以曲线与曲线至少存在s个不同的公共点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $