江西九师联盟2026-2027学年高三上学期10月教学质量检测数学试卷

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由题意知，a≠a2一a,即a≠0，且a≠2.又0∈A,则a2一a=0,解得a=0(舍)，或a=1.故选C. 2.D由题意得x一1=0，y十3=0，解得x=1,y=-3,所以x十y=-2.故选D. 3.A由余弦定理知AC=AB+BC2-2AB·BCcos B,即BC-6BC+9=0,解得BC=3.故选A 4.A设切点为(xn,h),因为y=e+1,所以y' =e0+1=2,解得x=0,则%=3，即切点为(0,3)，代人y=e十 x一x x十a,得3=1十0十a,解得a=2.故选A. D取。警经，吾消足。>8但m吾-m号，放m®>mB不成立：取a=一受，g吾则m(一受）-厅， tam否-，满足amc>tanB,但不满足。>R综上，“a>g是“tam>tang的既不充分又不必要条件.故选 6C由g3+g9=g3.得a+2必=1.放名+号-2a20+号-兽+号+2≥2+2√巴×号=6，当且仅当 a a 合，即a=2b=2时等号成立.放选C 7BX的取值为1,23,4，PX-=D-音-合P(X=2》=号×号-品PX=3)-=号×号×是-亮PX=)=号× 号××号-0，所以EX0=号×1+×2+品×3+0×4=子放选B /1=k, 8.D由题意得 2=kX49 解得a=7,所以=丘；设投入A芯片生产的资金为x亿元(0<<30)，则投人B芯片生产 的资金为(30-x)亿元，由题意知，纯利润为L(x)=号+30一x-3,令1=√/30-x,则∈[0，√30]x=30-,所 以L(x)-30+1一3=-}+1+3=-号(-号广+子，所以当1=吾，即x=要=2875亿元时，L(x)取得最 5 大值故选D. 9.ABC由条件知2=3+3十名=5，A正确；名的共轭复数是2+3i,B正确：5刘一2x2=10一151-10=一15i是纯虚数，C 正确；2=10一15i在复平面内的对应点为(10，一15)，D错误.故选ABC. 10.ABD由题意得F(1,0),准线方程为x=一1，故A正确：设l的方程为x=my十1，A(,),B(x2,2),由 1y2=4x, 得y-my一4=0，所以为十=4m,=一4，所以西=0》-1，所以O.0成=石十n z=my+1 16 =1-4=-3,故B正确；分别过A,D作C的准线的垂线，垂足分别为A1,D,则|AD|十|AF=|AD|+|AA|≥ |DD,|,当且仅当D,A,D三点共线时等号成立，此时|DD,=3,故C错误；△OAB的面积S=号1OF1y一为 =号√十2)-4为=号√6m+I6,当m=0时，△0AB的面积取得最小值2，故D正确，故选ABD 11.AC设PA=x,PB=2x,PC=3x,由PA⊥平面ABC知PA⊥AB,PA⊥AC,所以AB=√3x,AC=2√2x,又∠BPC= 60,所以5=厅，在△ABC中，osA=AR ARC ACC-,则smA=,△ABC的面积为S=言AB· 2AB·AC ACnA=-52,三校锥P-ABC的体积为写S·PA=855=85,所以x=2,所以A正确：由PAL平面ABC 知∠BAC是二面角B-PA-C的平面角，因为∠BAC>∠BPC=60°，所以B错误；△PBC的面积为6√3，点A到平面 PC的距离d-85=-4压，所以C正确：设△ABC的外接圆半径为r,则2r=BC12二，=二，设三棱维 639 sinA√30 301 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 10/1JX P-A☆的外接球半径为R,则K=(公)：+F-号，球的表面积为红R=1,所以D错误.放选AC 5 12之法1：由奇函数定义域的对称性，知(x十a)(2一1)=0的两根互为相反数，所以-Q十之=0，解得a=宁·易验 证当a=2时，f(x)是奇函数，放a=之 1 法2：因为y=sinx,f(x)均为奇函数，所以y=(x十a)(2x-1)=22+(2a-1)x-a为偶函数，所以-2a-1=0, 4 1 故a=2 sin(-x) sin x 法3：由fx)是奇函数，得∫(-x)=一fx),即(-x干a)(-2x-D=一(x+a2x-D当sinx=0时，自然 有f(-x)=-f(x);当sinx≠0时，(x一a)(2x+1)=(x十a)(2x-1),化简得2(2a-1)x=0,所以2a一1=0， 故a= 13.-5二项式(2）广展开式的通项为T=CGx(-)=(-1)Cx,令5-5=0，解得r=1,所以二项式 (-) 的展开式中常数项为一C=-5. 142E+2记∠EAB=E(0,受).则∠FAC-登-Q所以AB=0AC= s(受-9)）im0:C-VAB干AC= 1 V0+mk0所以△ABC的周长为f(0)=点十 1 1 cos sin sin (cos =n0叶e00+1.设1=sin0+ sin Ocos 0 cos0.则1=2sin(0+平)∈1，w2],且sino0=≥，所以血t℃0 +1 sin Ocos ,片层 2,当1=√2，即0=牙时等号成立.故△ABC的周长的最小值为22+2. 15.解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数小于60的频率为(0.005十0.015)×20=0.4，…2分 所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.…4分 (2)由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为(0.020十0.010)×20×200=120，…6分 所以样本中分数不小于60的男生人数为120X号=60，… …8分 因为样本中有一半男生的分数不小于60，所以样本中男生为120人，女生为200一120=80，…10分 所以样本中男生和女生人数的比例为120：80=3：2，… 12分 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3：2.… …13分 16.解：(1)f(x)=2sinx(cosx-√5simx)=2 sin zcos-2/√3sin2x=sin2x-√3(1-cos2x) =sin2x+5cos2a-5=2sin(2x+号）-/5.… …3分 所以f(x)mm=-2-5.… …4分 令-吾+2x<2x+等<受+2x(∈Z),解得一晋+kx≤≤卺十x(∈ZD, 所以f(x)的单调递增区间为[一登十x,危十kx](k∈D。 …6分 (2)由题意得g(x)=f(x-9)=2sim2(x-g)+号」一5=2sin(2x+号-2g）-5, …8分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 10/1JX 因为g(x)的图象关于直线x=一卺对称， 所以2X(-音)十号-2g=受十x(k∈0，解得p=一吾经(k∈ZD.… 10分 又>0，当=一1时，得的最小值为。 当p=5时g(x)=2sin(2a-牙）-5， ……… 11分 若∈[0，受]，则2x一音的取值范围是足[-吾，]， sn(2:一吾)的取值范用是[号.1]， 13分 所以g(x)的取值范围是[一25,2-√5]， 所以g(x)在0，受上的值域为[-23,2-5]： … …15分 17.(1)解：因为a,十a+2=2a+1,所以a+2一at1=a+1一an,所以{an}是等差数列， …1分 设{an}的公差为d,由a5=a十4d,a1=1,a6=9,得d=2,所以an=1十2(n-1)=21-1.…3分 (2公证明：因为会+1=产十1，篇%+1，所以片十1=%+2=2(0十1）…5分 因为6=1所以2×名十1=2， …6分 所以数列{2名十1小即会+1是首项为2，公比为2的等比数列。 …7分 （3》解：2)奥27+1=2 所以b=(21-1)(2-1)=(21-1)·2-(21-1), … …8分 Sn=(2X1-1）·21+(2X2-1)·22+…+(21-1)·2m-(1+3+…十2n-1),…9分 令S=(2×1-1)·21+(2×2-1)·22+…+(21-1)·2", 则2S=(2×1一1)·22+(2×2-1)·23+…+(21-1)·2+1， 两式相减得-S=2十23十24十…十2+1一(21-1)·2+1 =-2+4-9）-(21-1D·2+1=-6+(3-20)·21, 1-2 12分 所以S=(2-3),2叶1十6,13分 又因为1十3十…十(21-1）=n0+多0-D=2,所以S.=(21-3)…21+6-.… 15分 2 18.解：(1)f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=lnx十1+2a-1=lnx十2a,…1分 令(x)>0,得x>e2a;令∫(x)<0,得0x<ea.…3分 所以∫(x)在(0，e)上单调递减，在(ea,+∞)上单调递增. …5分 (2)当a=-合时f)=nx-2x-号 由(1)得f(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十∞)上单调递增， 所以fx)m=f(e)=elne-2e-2--e-2 …7分 (3)由(1)知，f(x)mm=f(ea)=e2u(-2a)+(2a-1)eu+a=a-e如，…8分 因为xu∈(0，+o∞)f)>a(1-7a)-是ea+, 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 10/1JX 所以a-e>a(1-a）ea+, …9分 即yuE(0,十o),hd+e恒成立.… 10分 令g(a)=2a2+号e”,则g(a)=a-e0,令h(a)=a-e,则a)=1+2e>0, 所以h(a),即g'(a)在(0，十o∞)上单调递增， 11分 又()=}店<0，g1)=1>0,所以存在隆一的a∈（经1）小，使得ga)=0.即e=a,…13分 当a∈(0，a)时，g'(a)<0,当a∈(an,+c∞)时，g'(a)>0, 所以g(a)在(0，an)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，… …15分 所以ga=g)=a+e=d+3aw=号(a+）-安∈（，1）， 1 所以整数的最大值为0.…。 17分 Q()解：由题意，得了(x)三e, …1分 因为0为)的极值点，所以了(0=寻-1=0，解得a=1,… 2分 此时f()=e,令g)=了)=he,则g)=D心0， 所以g(x),即f(a)在(-1，十∞)上单调递减.… …4分 又f(0)=0,当x∈（一1,0）时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0，十∞)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 所以0为f(x)的极大值点，符合题意，所以a=1. …6分 (2)解：当a=-1时，fr)=h(x-1)-e+1,定义域为1，十o∞)，f(x)=e(x>1), 易知∫(x)在（们，十∞）上单调递减，…7分 因为∫（号）=8-e8>8-48=8-22>8-23=0,f(2)=1-e2<0, 所以存在唯一的m∈（号，2），使得f()=0. …8分 当x∈(1，m)时，'(x)>0:当x∈(n,+∞)时，f'(x)<0, 所以∫(x在(1，n)上单调递增，在(0，十0∞)上单调递减，… …9分 所以f(x)在[2,3]上单调递减，所以f(x)mx=f(2)=1-e2,f(x)mm=f(3)=ln2+1一e3.…10分 (3)证明：令h()=lnx-x+1,则()=-1=，(>0. 当0<x1时，h'(x)>0;当x>1时，h(x)<0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，…12分 所以x>0,h(x)≤h(1)=0,所以lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.…13分 所以ln(x十a)≤x十a-1,因为a≤2，所以x十a-1≤x+l,所以ln(x十a)≤x+1,当且仅当x=-1,a=2时等号成立. ……14分 令m(x)=e-x-1,则m'(x)=e-1,所以当x0时，m'(x)<0;当x>0时，m'(x)>0,所以m(x)在(-co,0)上单 调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以Vx∈R,m(x)≥m(0)=0,即e≥x十1，当且仅当x=0等号成立，…16分 所以ln(x十a)<e,所以f(x)<1.…17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 10/1JX高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：高考范围（侧重集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={a,a2一a},若0∈A,则a= A.0或1 B.0 C.1 D.2 2.已知平面向量a,b不共线，若(x一1)a+(y十3)b=0,则x+y= A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.在△ABC中，AB=2/3,AC=3,B=否，则BC- A.3 B√6 C.2 D.√2 4.已知直线y=2x十3是曲线y=e2十x十a的一条切线，则a= A.2 B.1 C.0 D.-1 5.已知a,3均为第一象限角，则“a>'是“tana>tan的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知正数Q,6满足g3+lg9=lg3,则子+号的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 7.一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次 摸1个球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)= A c n.号 【高三数学第1页（共4页）】 10/1JX 8.为打破美国芯片“卡脖子”问题，某企业研发的A,B两种芯片取得了成功，前期研发投人3亿元.现准备投 人生产，经市场调研预测，生产的A芯片毛利润（亿元）与投人资金x(亿元)满足列=号x;生产的B芯 片毛利润2（亿元）与投人资金x(亿元)满足2=.对于B芯片，投人1亿元时，毛利润为1亿元；投人 4亿元时，毛利润为2亿元.现在企业计划投入30亿元生产A,B两种芯片，记纯利润=A芯片的毛利润十 B芯片的毛利润一研发投入资金.若要该企业获得的纯利润最大，则投入A芯片的资金为 A.12亿元 B.15亿元 C.18亿元 D.23.75亿元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数1=2一3i在复平面内的对应点为A,复数x2在复平面内的对应点为B,且AB=(3,3),则 A.x2=5 B.1的共轭复数是2十3i C.5x1一2z2是纯虚数 D.复数12在复平面内的对应点位于第二象限 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，D(2,1),O为坐标原点，则 AC的准线方程为x=一1 B.OA·OB=-3 C.|AD|+|AF的最小值为2 D.△OAB的面积的最小值为2 11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BPC=60°，PA:PB:PC=1:2:3.若三棱锥P-ABC的 体积为8，则 A.PA=2 B.二面角B-PA-C的平面角小于60° C.点A到平面PBC的距离为4西 9 D.三棱锥P-ABC的外接球的表面积为47π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 sin x 12.已知f(x)-(c十a)2x-为奇函数，则实数a一 13.二项式(x一)°的展开式中常数项为 14.如图，已知直线1∥2，E,F分别为l1,2上的点，EF⊥，A为线段EF的中点，B为l1上的动点，作 AC⊥AB,交l2于点C.若EF=2,则△ABC周长的最小值为 【高三数学第2页（共4页）】 10/1JX 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 12月2日是全国交通安全日，为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知 识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数， 将数据分成4组：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，并整理得到如下频率分布直方图. (1)从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体 中男生和女生人数的比例. 频率 组距 0.020 0.015 0.010 0.005 可20406080100分 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=2sinx(cosx一√3sinx). (1)求f(x)的最小值和单调递增区间； (2)将f(x)的图象向右平移p(p>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线 x=一受对称，求p的最小值及？最小时g(x)在[0，受]上的值域。 17.(本小题满分15分) 设数列a,}清是a.十a:=2a,2-会+1，且=6=1，a=8 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列色+1是等比数列； la, (3)求数列{bn}的前n项和Sn 【高三数学第3页（共4页）】 10/1JX 18.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)=xlnx+(2a一1)x十a. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a=一之，求f(x)的最小值； (3)若Y,a∈(0，+o∞)，f(x)>a1-0)-号ea+,求整数的最大值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(x十a)-e十1(a∈R). (1)若0为f(x)的极值点，求a的值； (2)若a=一1，求f(x)在[2,3]上的最值； (3)当a≤2时，证明：∫(x)<1 【高三数学第4页（共4页）】 10/1JX