7.2　幂的乘方与积的乘方 课件 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

第7章幂的运算 7.2　幂的乘方与积的乘方 第1课时　幂的乘方 初中数学苏科版（2024）七年级下册 学习目标 1.能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示.(重点) 2.正确运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据. (难点) 3.经历探索幂的乘方的运算性质过程，进一步体会幂的意义，从中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳能力. 课堂引入 试一试：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： ①(23)2＝23×23＝2； ②(32)3＝　　　×　　　×　　　＝3；  ③(a3)4＝　　　×　　　×　　　×　　　＝a.  课堂引入 想一想：这几道题有什么共同特点？从计算的结果你能发现什么规律？试猜想并填空： (am)n＝＝　　　　　，  所以(am)n＝　　　　　(m，n为正整数).  归纳：幂的乘方，　　　　　　　　　　　　　　. 一、 幂的乘方 问题　计算：(1)(m是正整数)；(2)(n是正整数)；(3)(m是正整数)；(4)(n是正整数). 从上面的计算中，你发现了什么？ 提示　(1)(10m)3＝10m·10m·10m＝10m+m+m＝103m. (2)(104)n＝＝1＝104n. (3)(am)3＝am·am·am＝am+m+m＝a3m. (4)(a4)n＝＝a4n. 知识梳理 对于任意的底数a，当m，n是正整数时， 于是，我们得到幂的乘方运算性质： 幂的乘方，底数　　　，指数　　　.  用符号表示为：(am)n＝amn(m，n是正整数). 不变 相乘 例1　(课本P9例1)计算： (1)(106)2； 解　(106)2＝106×2 ＝1012. 例1　(课本P9例1)计算： (2)(am)4(m是正整数)； 解　(am)4＝am×4 ＝a4m. 例1　(课本P9例1)计算： (3)－(y3)2； 解　－(y3)2＝－y3×2 ＝－y6. 例1　(课本P9例1)计算： (4)[(x－y)n]2(n是正整数). 解　[(x－y)n]2＝(x－y)n×2 ＝(x－y)2n. 跟踪训练1　(课本P9练习第1题)计算： (1)(104)3； 解　(104)3＝104×3 ＝1012. 跟踪训练1　(课本P9练习第1题)计算： (2)－(a2)5； 解　－(a2)5＝－a2×5 ＝－a10. 跟踪训练1　(课本P9练习第1题)计算： (3)(－103)12； 解　(－103)12＝103×12 ＝1036. 跟踪训练1　(课本P9练习第1题)计算： (4)－[(2a－b)4]2. 解　－[(2a－b)4]2＝－(2a－b)4×2 ＝－(2a－b)8. 例2　(课本P9例2)计算： (1)x2·x4＋； 解　x2·x4＋(x3)2＝x2+4＋x3×2 ＝x6＋x6＝2x6. 例2　(课本P9例2)计算： (2)·. 解　(a3)3·(a4)3＝a3×3·a4×3＝a9·a12 ＝a9+12＝a21. 跟踪训练2　(课本P10练习第3题)计算： (1)； 解　(x5)4＋(x10)2＝x5×4＋x10×2 ＝x20＋x20＝2x20. 跟踪训练2　(课本P10练习第3题)计算： (2)·. 解　(a3)5·(a2)2＝a3×5·a2×2 ＝a15·a4＝a15+4＝a19. 二、 拓展 例3　已知am＝2，求a3m的值. 解　因为am＝2， 所以a3m＝＝23＝8. 反思感悟 幂的乘方的逆运算：amn＝(m，n是正整数). 跟踪训练3　已知xa＝m，xb＝n，求x3a+2b的值. 解　因为xa＝m，xb＝n， 所以x3a+2b＝x3a·x2b＝·＝m3n2. 1.下列计算结果正确的是 A.a3·a3＝a9 B.＝a5 C.a2＋a3＝a5 D.＝a6 √ 解析　a3·a3＝a6≠a9，故选项A不符合题意； ＝a6≠a5，故选项B不符合题意； a2与a3不是同类项，不能合并，故选项C不符合题意； ＝a6，故选项D符合题意. 课堂练习 2.已知3m＝9n，则m，n满足的关系是 A.m＝2n B.m＝3n C.2m＝n D.3m＝n √ 解析　因为3m＝9n＝(32)n＝32n， 所以m＝2n. 课堂练习 3.计算：＝　　　.  x6 课堂练习 4.计算： (1)a2·a4＋(－a3)2； 解　a2·a4＋(－a3)2 ＝a6＋a6 ＝2a6. 课堂练习 4.计算： (2)(－a3)4·(－a2)3； 解　(－a3)4·(－a2)3 ＝a12· ＝－a18. 课堂练习 4.计算： (3)(x4)2＋(x2)4－x·(x2)2·x3－(－x)3·(－x2)2·(－x). 解　(x4)2＋(x2)4－x·(x2)2·x3－(－x)3·(－x2)2·(－x) ＝x8＋x8－x8－x8 ＝0. 课堂练习 1.(1)已知x3＝m，x5＝n，用m，n的式子表示x14； 迁移拓展 解　x14＝x9+5＝x9·x5＝(x3)3·x5＝m3n. (2)已知2n＝3，4n＝8，8k＝5，求8m+2n+k的值. 解　因为2m＝3，4n＝2，8k＝5，所以8m+2n+k＝8m×82n×8k＝(2m)3×(4n)3 ×8k＝33×23×5＝1 080. 2.比较3555，4444，5333的大小. 迁移拓展 解　3555＝＝243111；4444＝＝256111； 5333＝＝125111， 因为125<243<256， 所以5333<3555<4444. 3.若am＝an(a>0且a≠1)，则m＝n.利用上面结论解决下面的问题： (1)已知82x＝23x+3，求x的值； 迁移拓展 解　82x＝＝26x， 由题意得6x＝3x＋3， 解得x＝1， 所以x的值是1. 3.若am＝an(a>0且a≠1)，则m＝n.利用上面结论解决下面的问题： (2)若3x×9x×27x＝312，求x的值； 迁移拓展 解　因为3x×9x×27x＝3x×32x×33x ＝36x＝312， 所以6x＝12， 解得x＝2， 所以x的值是2. 3.若am＝an(a>0且a≠1)，则m＝n.利用上面结论解决下面的问题： (3)若x＝5m－3，y＝4－25m，用含x的代数式表示y. 迁移拓展 解　因为x＝5m－3， 所以5m＝x＋3， 因为y＝4－25m＝4－ ＝4－＝4－(x＋3)2， 整理，得y＝－x2－6x－5， 所以用含x的代数式表示y为y＝－x2－6x－5. [幂的乘方的运算性质] 符号语言：(am)n=amn(m、n是正整数)；[(am)n]p=amnp(m、n、p是正整数). 文字语言：幂的乘方，底数不变，指数相乘. [注意点] 指数相乘——千万不能把指数相加. [幂的乘方的运算性质的逆用] amn=(am)n(m、n是正整数). 课堂总结 第7章幂的运算 7.2　幂的乘方与积的乘方 第2课时　积的乘方 初中数学苏科版（2024）七年级下册 学习目标 1.了解积的乘方性质，理解用符号表示积的乘方运算性质的意义，体会模型思想，发展符号意识.(重点) 2.会正确运用积的乘方的运算性质进行运算，并知道每一步运算的依据.(难点) 3.经历探索积的乘方的运算性质的过程，从中感受类比、从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 课堂引入 复习：同底数幂的乘法法则：　　　　.  幂的乘方法则：　　　　.  思考：我们是如何探索得到幂的乘方运算性质的？ 一、 积的乘方 问题　计算下列各式： (1)(3×4)2＝　　　　，32×42＝　　　　；  (2)[2×(－5)]4＝　　　　，24×(－5)4＝　　　　；  (3)＝　　　　，×＝　　　　.  从上面的计算中，你发现了什么？ 提示　(1)(3×4)2＝144，32×42＝144. (2)[2×(－5)]4＝10 000，24×(－5)4＝10 000. (3)，×. 知识梳理 对于任意底数a，b，当m是正整数时， 于是，我们得到积的乘方运算性质： 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂　　　.  用符号表示为：(ab)m＝ambm(m是正整数). 注意点：积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要乘方. 相乘 例1　(课本P11例3)计算： (1)(－5m)3； 解　(－5m)3＝(－5)3·m3 ＝－125m3. 例1　(课本P11例3)计算： (2). 解　(xy2)3＝x3·(y2)3 ＝x3y6. 跟踪训练1　(课本P12练习第1题)计算： (1)(2×103)2； 解　(2×103)2＝22×(103)2 ＝4×106. 跟踪训练1　(课本P12练习第1题)计算： (2)(－2a3y4)3. 解　(－2a3y4)3＝(－2)3·(a3)3·(y4)3 ＝－8a9y12. 例2　计算： (1)(abc)m(m是正整数)； 解　(abc)m＝[(ab)·c]m＝(ab)mcm ＝ambmcm. 例2　计算： (2)(课本P11例4). 解　(－2ab3c2)4＝(－2)4·a4·(b3)4·(c2)4 ＝16a4b12c8. 跟踪训练2　(1)(课本P13习题第3题)计算： ①(－3a2b3c)3； 解　(－3a2b3c)3 ＝(－3)3·(a2)3·(b3)3·c3 ＝－27a6b9c3. 跟踪训练2　(1)(课本P13习题第3题)计算： ②－(－2x3y)4. 解　－(－2x3y)4 ＝－(－2)4·(x3)4·y4 ＝－16x12y4. (2)(课本P10问题)木星是太阳系中最大的行星.它可以近似看作半径为7.15 ×104 km的球体，它的体积约为多少(π取3.14)？ 解　木星的体积V＝πr3＝π×(7.15×104)3 ＝π×7.153×(104)3 ＝π×7.153×1012 ≈1.53×1015(km3). 所以木星的体积约为1.53×1015 km3. 二、 拓展 例3　(课本P11例4)计算：49×(－25)8. 解　49×(－25)8＝4×48×(－25)8 ＝4×[4×(－25)]8 ＝4×(－100)8 ＝4×1016. 反思感悟 积的乘方的逆运算：ambm＝(ab)m(m是正整数). 跟踪训练3　计算：314×. 解　314×＝(32)7× ＝97× ＝ ＝(－1)7 ＝－1. 1.计算的结果为 A.8m6 B.6m2 C.2m2 D.2m6 √ 课堂练习 2.计算×32 024的值是 A. B.－ C. D.－ √ 解析　×32 024＝××32 024 ＝× ＝－. 课堂练习 3.－＝　　　　　.  －9x4y6 解析　－ ＝－32(x2)2(y3)2 ＝－32x2×2y3×2 ＝－9x4y6. 课堂练习 4.计算：×＝　　　.  解析　×＝×× ＝×＝1× ＝. 课堂练习 5.计算： (1)a3·a3＋(a2)4＋(2a4)2； 解　a3·a3＋ ＝a6＋a8＋4a8 ＝a6＋5a8. 课堂练习 5.计算： (2)(－2x2)3＋x2·x4－(－3x3)2； 解　＋x2·x4－ ＝－8x6＋x6－9x6 ＝－16x6. 课堂练习 5.计算： (3)×(1.5)2 024×(－1)2 026. 解　原式＝×× ＝1××1 ＝. 课堂练习 1.计算：×. 迁移拓展 解　×＝×× ＝× ＝－. 2.求x，使x满足·. 迁移拓展 解　原等式可化为×， 即(22×3-2)2x＝3x×2-x×(23×3-3)x+2， 进一步化简为24x×3-4x＝3x×2-x×23x+6×3-3x-6， 右边合并同类项为2-x+3x+6×3x-3x-6＝22x+6×3-2x-6， 则有24x×3-4x＝22x+6×3-2x-6， 所以　解得x＝3. 3.定义：如果2m＝n(m，n为正数)，那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D(n). (1)根据D数的定义，填空：D(2)＝　　　　，D(16)＝　　　　；  迁移拓展 解　因为21＝2， 所以D＝1， 因为24＝16， 所以D＝4. 3.定义：如果2m＝n(m，n为正数)，那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D(n). (2)D数有如下运算性质：D(s·t)＝D(s)＋D(t)，D＝D(q)－D(p)，其中q>p. 根据运算性质，计算： ①若D(a)＝1，求D(a3)； 迁移拓展 解　因为21＝a， 所以a＝2， 所以D＝3. 3.定义：如果2m＝n(m，n为正数)，那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D(n). (2)D数有如下运算性质：D(s·t)＝D(s)＋D(t)，D＝D(q)－D(p)，其中q>p. 根据运算性质，计算： ②若已知D(3)＝2a－b，D(5)＝a＋c，试求D(15)，D，D(108)，D的值(用a，b，c表示). 迁移拓展 解　D＝D ＝D＋D ＝ ＝3a－b＋c； D＝D(5)－D(3) ＝(a＋c)－(2a－b)＝－a＋b＋c； 3.定义：如果2m＝n(m，n为正数)，那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D(n). (2)D数有如下运算性质：D(s·t)＝D(s)＋D(t)，D＝D(q)－D(p)，其中q>p. 根据运算性质，计算： ②若已知D(3)＝2a－b，D(5)＝a＋c，试求D(15)，D，D(108)，D的值(用a，b，c表示). 迁移拓展 解　D(108)＝D(3×3×3×2×2) ＝D(3)＋D(3)＋D(3)＋D(2)＋D(2) ＝3×D(3)＋2×D(2) ＝3×(2a－b)＋2×1 ＝6a－3b＋2； 3.定义：如果2m＝n(m，n为正数)，那么我们把m叫做n的D数，记作m＝D(n). (2)D数有如下运算性质：D(s·t)＝D(s)＋D(t)，D＝D(q)－D(p)，其中q>p. 根据运算性质，计算： ②若已知D(3)＝2a－b，D(5)＝a＋c，试求D(15)，D，D(108)，D的值(用a，b，c表示). 迁移拓展 解　D＝D－D＝D(3×3×3)－D(5×2×2) ＝D(3)＋D(3)＋D(3)－ ＝3×D(3)－[D(5)＋2×D(2)] ＝3×(2a－b)－(a＋c＋2×1) ＝6a－3b－a－c－2 ＝5a－3b－c－2. [积的乘方的运算性质] 符号语言：(ab)n=anbn(n是正整数)；(abc)n=anbncn(n是正整数). 文字语言：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. [注意点] 一定要把积的每一个因式分别乘方. [积的乘方的运算性质的逆用] anbn=(ab)n(n是正整数). 课堂总结 谢谢观看 $